所以当x=|时,f（x）取极大值f（|）=20000万元
因为f（x）在区间（0,1）上只有一个极大值，所以它是最大值,所以当
x三时,本年度的年利润最大，最大利润为20000万元.
9
吧迁移与应用
1.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品定价为P元，则销售量Q（单位:
件）与定价P（单位:
元）有如下关系：
Q=8300-170P-P2则该商场定价为元时，毛利润L最大.
2•某工厂生产某种产品,已知该产品的月产量x（吨）与每吨产品的
价格P（元/吨）之间的关系为P二24200寺?
且生产x吨的成本为R二50
000+200X元•问该产品每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?
最大利润是多少?
（利润二收入■成本）
障
利用导数解决生活中的最优化问题的一般步骤：
第一步，分析实际问题中各个量之间的关系,列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y=f（x）.
第二步，求函数的导数f（x）,解方程f（x）=O.
第三步，比较函数在区间端点和使f（x）=O的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值.
二、费用最省问题
S3活动与探究
匸二例2如图所示,设铁路AB=50,B,C之间距离为10,现将货物从A运往C,已知单位距离铁路费用为2,公路费用为4,问在AB上何处修筑公路至C,可使运费由A至C最省？
MB
解:
设MB二x,于是AM上的运费为2（50-x）,MC上的运费为
4“102+x2,则由A到C的总运费为p（x）=2（50-x）+4V100+x2（0WxW50）.
P'（x）=2+石語倉令pg=o,解得X1=J=,X2~（舍去）.
当XV詈时,p*（x）<0;当x>詈时,p（x）>0,所以当X二詈时,取得最小值.故在离B点距离为罟的点M处筑公路至C时，由A至C的货物
运费最省.
ES迁移与应用
某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x（x$10）层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位:
元）•为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注:
平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，
平均购地费用=
购地总费用
建筑总面积
解:
设楼房每平方米的平均综合费用为f（x）元，则
=560+48x+1—°-（x^10,xw
X
令几x）=o,得*15,或*・15（舍去），当兀>15时/（x）>0;
当10Wxvl5时/（x）<0,因此当*15时金）取最小值曲5）=2000.
故为了楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层.
老師修障
（1）求实际问题的最大（小）值时,一定要从问题的实际意义去考虑,不符合实际意义的理论值应舍去；
（2）在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f（x）=O的情形，如果函数在这点有极大（小）值,那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值；
（3）在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示,还应确定函数关系式中自变量的取值范围，即函数的定义域.
三、面积（体积）最大问题
E2活动与探究
1•面积、体积问题一般为几何问题,而求最值问题又是代数问题，由此,解决此类问题的常用方法是什么？
2.周长一定的矩形面积有何特点?
表面积一定的长方体，体积有何特点？
问题导学
例3如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r,短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x,梯形面积为S.
（1）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域;
（2）求面积S的最大值.
解：
（1）依题意，以AB的中点O为原点建
立平面直角坐标系（如图所示），则点C的横坐
2
标为X，点C的纵坐标为y,满足方程筈+
r乙
存i（y>o），
解得y=2Jr2-x2（0（2）记f（x）=4（x+r）2（r2-x2）,0则f（x）=8（x+r）2（r-2x）.
令f（x）=O,得x二扣或x=i•（舍去）.
因为当0O;^|r大值.
因此当x=|r时,S也取得最大值，最大值为=竽己即梯形面积S的最大值为竽己
S3迁移与应用
1.有一道长为16加的篱笆,要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积是・
2•用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5加,那么高为多少时容器的容积最大?
并求出它的最大容积.
••当xe（o,l）时，Vg>O,V（x）为增函数；当xe（i,i.6）时,V（x）vO,V（x）为减函数，在x丘（0,1・6）时取极大值V（l）=1.8,这个极大值就是V在xe（0,1.6）时的最大值，即V,”ax=1.8.这时容器的高为1.2m.
••首高为1.2m时，容器的容积最大，最大值为1.8m3.
名師❾障
（1）求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题，解决这
类问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围,利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数，然后利用导数的方法来解.
（2）必要时，可选择建立适当的坐标系，利用点的坐标建立函数关系或曲线方程，以利于解决问题.
问题导学
1・一个箱子的容积与底面边长X的关系为V（X）二X
箱子的容积最大时,X的值为（）
2•以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为
（）
A.10BA5C.25D.50
3•把长100cm的铁丝分为两段,各围成正方形，使两个正方形的面积之
和最小，则两段的长分别为
4•已知某生产厂家的年利润y（单位:
万元）与年产量x（单位:
万件）的函数关系式为y=-ix3+81x-234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为.万件.
5•—艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为10W/1时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，为使行驶每千米的费用总和最小，则此轮船的航行速度为
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