七年级数学上31一元一次方程及其解法教案沪科版.docx
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七年级数学上31一元一次方程及其解法教案沪科版
2017年七年级数学上3.1一元一次方程及其解法教案（沪科版）
第3章 一次方程与方程组
3．1 一元一次方程及其解法
第1课时 一元一次方程
1．理解一元一次方程的概念．
2．掌握等式的基本性质，并会灵活运用等式的性质解一元一次方程．
3．体会数学问题源于实际生活，会从实际情境中建立等量关系．
重点
对一元一次方程概念的理解，会运用等式的基本性质解简单的一元一次方程．
难点
对等式基本性质的理解与运用．
一、创设情境，导入新知
问题：
一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同一方向行驶，客车的行驶速度是70km/h，卡车的行驶速度是60km/h，客车比卡车早1h经过B地，A，B两地间的路程是多少？
1．若用算术方法解决应怎样列算式？
2．如果设A，B两地相距xkm，那么客车从A地到B地的行驶时间为______，货车从A地到B地的行驶时间为______．
3．客车与货车行驶时间的关系是________．
4．根据上述关系，可列方程为________．
5．对于上面的问题，你还能列出其他方程吗？
如果能，你依据的是哪个相等关系？
二、自主合作，感受新知
阅读课文并结合生活实际，完成《》“预习导学”部分．
三、师生互动，理解新知
问题1：
在参加2008年北京奥运会的中国代表队中，羽毛球运动员有19人，比跳水运动员的2倍少1人．参加奥运会的跳水运动员有多少人？
解析：
此题可能有学生在小学的基础上列出算式得出，如（19＋1）÷2.当然上述学生比较少，因为这个算式的建立是不容易的．这样大部分学生的方法是用在小学学过的简易方程，他们也会设出x，建立方程．
解：
设跳水运动员有x人，则依据题意，得
2x－1＝注意：
此处为了不分散主题，暂不分析这个方程得来的思路．
问题2：
王玲今年12岁，王玲的爸爸今年36岁，问再过几年，她爸爸的年龄是她年龄的2倍？
解析：
一般情况下，我们是问什么设什么，我们这儿设过x年后她爸爸的年龄是她年龄的2倍．这样用这儿的两倍关系建立等式，即x年后她爸爸的年龄＝x年后王玲的年龄×2.
解：
设过x年后她爸爸的年龄是她年龄的2倍，则依题意，得
36＋x＝2（12＋x）．
此处可引导学生将父女两人x年后的年龄表示出来，以加强互动．
探究点一：
一元一次方程的有关概念
观察以上两个方程，找出其特点：
（1）有几个未知数？
（2）未知数的次数是几？
教师在学生回答的基础上，归纳一元一次方程的概念：
只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程．
回顾一元一次方程的解：
使得一元一次方程两边都相等的未知数的值叫做方程的解；一元方程的解，也可叫做方程的根．
探究点二：
等式的基本性质
为了能对方程进行求解，我们必须有依据，什么是依据呢？
这就是等式的性质．（方程是一个等式）
等式的性质：
（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．即
如果a＝b，那么a＋c＝b＋c，a－c＝b－c.
（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式．即
如果a＝b，那么ac＝bc，ac＝bc（c≠0）．
（3）（对称性）如果a＝b，那么b＝a.
（4）（传递性）如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
四、应用迁移，运用新知
1．一元一次方程的辨别
例1 下列方程中是一元一次方程的是（ ）
A．x＋3＝y＋2
B．1－3（1－2x）＝－2（5－3x）
C．x－1＝1x
D.y3－2＝2y－7
解析：
A.含有两个未知数，不是一元一次方程，错误；B.化简后含有未知数的项可以消去，不是方程，错误；C.分母中含有字母，不是一元一次方程，错误；D.符合一元一次方程的定义，正确．
方法总结：
判断一元一次方程需满足三个条件：
（1）只含有一个未知数；
（2）未知数的次数是1；（3）是整式方程．
2．利用一元一次方程的概念求字母次数的值
例2 方程（m＋1）x|m|＋1＝0是关于x的一元一次方程，则（ ）
A．m＝±1 B．m＝1
C．m＝－1D．m≠－1
解析：
由一元一次方程的概念，一元一次方程必须满足未知数的次数为1且系数不等于0，所以|m|＝1，m＋1≠0，解得m＝1.
方法总结：
若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1且系数不为0，则这个方程是一元一次方程．
3．一元一次方程的解
例3 检验下列各数是不是方程5x－2＝7＋2x的解，并写出检验过程．
（1）x＝2;
（2）x＝3.
解析：
将未知数的值代入方程，看左边是否等于右边，即可判断是不是方程5x－2＝7＋2x的解．
解：
（1）将x＝2代入方程，左边＝8，右边＝11，左边≠右边，故x＝2不是方程5x－2＝7＋2x的解；
（2）将x＝3代入方程，左边＝13，右边＝13，左边＝右边，故x＝3是方程5x－2＝7＋2x的解．
方法总结：
检验一个数是否是方程的解，就是要看它能不能使方程的左、右两边相等．
4．等式的基本性质
例4 已知mx＝my，下列结论错误的是（ ）
A．x＝yB．a＋mx＝a＋．mx－y＝my－yD．amx＝amy
解析：
A.等式的两边都除以m，依据是等式的基本性质2，而A选项没有说明m≠0，故A错误；B.符合等式的基本性质1，正确；C.符合等式的基本性质1，正确；D.符合等式的基本性质2，正确．
方法总结：
在等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立，这里的数或字母没有条件限制，但是在等式的两边同时除以同一个数或字母时，这里的数或字母必须不为0.
5．利用等式的基本性质解方程
例5 见课本P86例1.
方法总结：
解方程时，一般先将方程变形为ax＝b的形式，然后再变形为x＝c的形式．
五、尝试练习，掌握新知
课本P87练习第1、2题．
《》“随堂演练”部分．
六、课堂小结，梳理新知
引导学生回答如下问题：
本节课学习了哪些基本内容？
学习了什么数学思想方法？
应注意什么问题？
本节课我们学习了一元一次方程的概念，知道了什么是一元一次方程，它需要两个基本条件：
一是只含一个未知数，二是未知数的次数只能是一次．同时我们学习了解方程的依据，即等式性质，这个性质中，我们要特别注意第二条，同除的数不可以是0，三是我们学会了利用等式性质对方程进行求解．
七、深化练习，巩固新知
课本P90习题3.1第1、2题．
《》“课时作业”部分．
第2课时 移项解一元一次方程
1．理解移项的意义，掌握移项变号的基本原则．
2．会利用移项解一元一次方程．
重点
理解移项的意义，掌握移项变号的基本原则，会利用移项解一元一次方程．
难点
理解移项的意义，掌握移项变号的基本原则，会利用移项解一元一次方程．
一、复习旧知，导入新知
上节课学习了一元一次方程，它们都有这样的特点：
一边是含有未知数的项，一边是常数项．这样的方程我们可以用合并同类项的方法解答．
问题引入：
（1）解方程：
2x－52x＝6－8.
（2）观察下列一元一次方程，与上题的类型有什么区别？
2x＋7＝32－2x
怎样才能使它向x＝a（a为常数）的形式转化呢？
二、自主合作，感受新知
回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《》“预习导学”部分．
三、师生互动，理解新知
探究点：
移项解一元一次方程
观察P86例1解答过程中的第1步：
2x－1＝19 ①
2x＝19＋1 ②
由方程①到方程②，这个变形相当于把①中的“－1”这一项从方程的左边移到了方程的右边．
“－1”这项移动后，发生了什么变化？
（改变了符号）
总结：
根据等式性质1的变形，其实就是把方程的一项改变符号，从一边移到另一边，这种变形我们把它叫做移项．
一般地，把所有含有未知数的项移到方程的左边，把所有常数项移到方程的右边，使得一元一次方程更接近“x＝a”的形式．
移项，一般都习惯把含未知数的项移到等式左边．
四、应用迁移，运用新知
1．移项
例1 通过移项将下列方程变形，正确的是（ ）
A．由5x－7＝2，得5x＝2－7
B．由6x－3＝x＋4，得3－6x＝4＋x
C．由8－x＝x－5，得－x－x＝－5－8
D．由x＋9＝3x－1，得3x－x＝－1＋9
解析：
A.由5x－7＝2，得5x＝2＋7，故错误；B.由6x－3＝x＋4，得6x－x＝3＋4，故错误；C.正确；D.由x＋9＝3x－1，得3x－x＝9＋1，故错误．
方法总结：
（1）所移动的是方程中的项，并且是从方程的一边移到另一边，而不是在这个方程的一边变换两项的位置；
（2）移项时要变号，不变号不能移项．
2．用移项解一元一次方程
例2 见课本P87例2.
例3 解下列方程：
（1）－x－4＝3x；
（2）5x－1＝9；
（3）－4x－8＝4； （4）0.5x－0.7＝6.5－1.3x.
解析：
通过移项、合并、系数化为1的方法解答即可．
解：
（1）移项得－x－3x＝4，合并同类项得－4x＝4，系数化成1得x＝－1；
（2）移项得5x＝9＋1，合并同类项得5x＝10，系数化成1得x＝2；
（3）移项得－4x＝4＋8，合并同类项得－4x＝12，系数化成1得x＝－3；
（4）移项得1.3x＋0.5x＝0.7＋6.5，合并同类项得1.8x＝7.2，系数化成1得x＝4.
方法总结：
将所有含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，然后合并同类项，最后将未知数的系数化为1.特别注意移项要变号．
五、尝试练习，掌握新知
课本P88练习第1、2题．
《》“随堂演练”部分．
六、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？
本节课学习掌握了移项变号的基本原则，会利用移项解一元一次方程．
七、深化练习，巩固新知
课本P91习题3.1第3、4
（1）
（2）、8题．
《》“课时作业”部分．
第3课时 去括号解一元一次方程
1．会用分配律去括号解含括号的一元一次方程．
2．经历探索用去括号的方法解方程的过程，进一步熟悉方程的变形，弄清楚每步变形的依据．
重点
运用去括号法则解带有括号的方程．
难点
解一元一次方程的步骤，去括号注意事项．
一、创设情境，导入新知
一艘船从甲码头到乙码头顺水行驶用了2小时，从乙码头返回甲码头逆水行驶用了2.5小时，水流速度是3千米/时，求船在静水中的速度．
（1）题目中的等量关系是__________．
（2）根据题意可列方程为__________．
你能解这个方程吗？
二、自主合作，感受新知
回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《》“预习导学”部分．
三、师生互动，理解新知
探究点：
去括号解一元一次方程
问题：
小明家来客人了，爸爸给了小明10元钱，让他买1听果奶饮料和4听可乐．从商店回来后，小明交给爸爸3元钱．如果我们知道1听可乐比1听果奶饮料多0.5元，能不能求出1听果奶饮料是多少钱呢？
设置问题串：
（1）小明买东西共用去多少元？
（2）如何用未知数x表示1听果奶饮料或者1听可乐的价钱？
（3）这个问题中有怎样的等量关系？
小组充分讨论交流后回答：
（1）买东西用去10－3＝7（元）．
（2）若设1听果奶饮料为x元时，则1听可乐为（x＋0.5）元；若设1听可乐为x元时，则1听果奶饮料为（x－0.5）元．
（3）如：
买可乐的钱＋买果奶饮料的钱＝用去的钱．（学生的思路很广泛，也可列成其他形式，只要合理即可）
教师在学生回答的基础上，确定出一个方程：
设1听果奶饮料x元，则方程为4（x＋0.5）＋x＝10－3.
问题串：
（1）这个方程与上节课解过的方程在形式上有什么不同？
它们有什么联系？
（2）它的主要特点是什么？
怎样解这个方程？
学生可以讨论出以下结论：
方程中含有括号，如果去掉括号，就可以利用移项法则进行解方程了，关键步骤就是去括号．
回顾去括号法则：
⑴括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项都不变符号．⑵括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号．
学生自主学习课本P88例3，让学生体验去括号解方程的过程与方法，深化对解方程过程的认识．
注意：
（1）方程中有带括号的式子时，根据乘法分配律和去括号法则化简．
（2）去括号时不要漏乘括号内的任何一项．
（3）若括号前面是“－”号，记住去括号后括号内各项都变号．
（4）－x＝10不是方程的解，必须把x的系数化为1，才算完成解方程的过程．
四、应用迁移，运用新知
1．用去括号的方法解方程
例1 解下列方程：
（1）4x－3（5－x）＝6；
（2）5（x＋8）－5＝6（2x－7）．
解析：
先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1即可求得答案．
解：
（1）4x－3（5－x）＝6，去括号得4x－15＋3x＝6，移项合并同类项得7x＝21，系数化为1得x＝3；
（2）去括号得5x＋40－5＝12x－42，移项、合并同类项得－7x＝－77，系数化为1得x＝方法总结：
解一元一次方程的步骤是去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
2．根据已知方程的解求字母系数的值
例2 已知关于x的方程3（a－x3）＝x2＋3的解为2，求代数式（－a）2－2a＋1的值．
解析：
此题可将x＝2代入方程，得出关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值，再把a的值代入所求代数式计算即可．
解：
因为x＝2是方程3（a－x3）＝x2＋3的解，
所以3（a－23）＝1＋3，解得a＝2，
所以原式＝a2－2a＋1＝22－2×2＋1＝1.
方法总结：
此题考查方程解的意义及代数式的求值．将未知数x的值代入方程，求出a的值，然后将a的值代入整式即可解决此类问题．
3．应用方程思想求值
例3 当x为何值时，代数式2（x2－1）－x2的值比代数式x2＋3x－2的值大6?
解析：
先列出方程，然后根据一元一次方程的解法，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解．
解：
依题意得2（x2－1）－x2－（x2＋3x－2）＝6，
去括号得2x2－2－x2－x2－3x＋2＝6，
移项、合并同类项得－3x＝6，
系数化为1得x＝－2.
方法总结：
先按要求列出方程，然后去括号，移项（把含未知数的项移到方程左边，不含未知数的项移到方程右边），合并同类项，最后把未知数的系数化为1得到原方程的解．
五、尝试练习，掌握新知
课本P89练习第1、2题．
《》“随堂演练”部分．
六、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？
本节课学习了解了去括号解一元一次方程的步骤：
（1）去括号；
（2）移项；（3）合并同类项；（4）系数化为1.
七、深化练习，巩固新知
课本P91习题3.1第4（3）（4）、6、9、10题．
《》“课时作业”部分．
第4课时 去分母解一元一次方程
1．掌握含有以常数为分母的一元一次方程的解法．
2．加深学生对一元一次方程概念的理解，并总结出解一元一次方程的一般步骤．
重点
用去分母的方法解方程．
难点
去分母时，不漏乘不含分母的项（即整数项）；正确理解分数线的作用，去分母后注意给分子添加括号．
一、复习旧知，导入新知
1．等式的基本性质2是怎样叙述的呢？
2．求下列几组数的最小公倍数：
（1）2，3；
（2）2，4，．通过上几节课的探讨，总结一下解一元一次方程的一般步骤是什么？
4．如果未知数的系数是分数时，怎样来解这种类型的方程呢？
那么这一节课我们来共同解决这样的问题．
二、自主合作，感受新知
回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《》“预习导学”部分．
三、师生互动，理解新知
探究点：
去分母解一元一次方程
1．探索去分母解方程的方法
问题：
刺绣一件作品，甲单独绣需要15天完成，乙单独绣需要12天完成，现在甲先单独绣1天，接着乙又单独绣4天，剩下的工作由甲、乙两人合绣，问再合绣多少天可以完成这件作品？
学生活动：
观察问题情境，弄清题意，分析问题中的等量关系．
教师活动：
（1）指定一名学生说出问题中的等量关系；
（2）引导学生分析，建立方程模型．
师生共同分析：
（1）题中的等量关系是：
甲完成的工作量＋乙完成的工作量＝工作总量．
（2）设工作总量为1，剩下的工作两人合做需x天完成，则115（x＋1）＋112（x＋4）＝1.
提出问题：
如何解方程115（x＋1）＋112（x＋4）＝1?
（1）鼓励学生尝试解这个方程，指定两名学生到黑板演示．
（2）巡视学生，对不同的解法，只要合理，都给予肯定．
（3）给出两种不同的解法．
解法一：
去括号，得115x＋115＋112x＋412＝1.
移项，得：
115x＋112x＝1－115－412.
化简，得：
320x＝两边同除以320，得x＝4.
教师：
该方程与前面解过的方程有什么不同？
学生：
以前学过的方程的系数都为整数，而这一题出现了分数．
教师：
能否把分数系数化为整数？
学生：
我们可以根据等式性质2，在方程两边同时乘上一个既是15又是12的倍数60，就可以去掉分母，把分数化为整数．这样使解方程避免计算“分数”的复杂性，使解方程过程简单．
解法二：
去分母，得4（x＋1）＋5（x＋4）＝60.
去括号，得4x＋4＋5x＋20＝60.
移项，得标准形式：
9x＝方程两边同除以9，得x＝4.
教师：
去分母，方程两边同乘以一个什么数合适呢？
学生分组讨论，合作交流得出结论：
方程两边都乘以所有分母的最小公倍数，从而去掉分母．于是，解方程的基本程序又多了一步“去分母”．
（4）引导学生比较两种解法，得出解法二更简便．
2．探索解一元一次方程的具体步骤
学生自主学习课本P89例4，让学生体验去括号解方程的过程与方法，深化对解方程过程的认识．
问题：
你能总结一下解一元一次方程都有哪些步骤吗？
（学生回顾总结，小组可以讨论交流．）
归纳：
（1）去分母——方程两边同乘以各分母的最小公倍数．注意不可漏乘某一项，特别是不含分母的项，分子是代数式要加括号．
（2）去括号——应用分配律、去括号法则，注意不漏乘括号内各项，括号前“－”号，括号内各项要变号．
（3）移项——一般把含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，注意移项要变号．
（4）化简——一类代数式的加减，要注意只是系数相加减，字母及其指数不变．
（5）标准形式的化简——同除以未知数前面的系数，即ax＝b⇒x＝ba.
四、应用迁移，运用新知
利用去分母解一元一次方程
例1 解方程：
（1）x－x－25＝2x－53－3；
（2）x－32－x＋13＝解析：
（1）首先方程两边同时乘以分母的最小公倍数15去分母，方程变为15x－3（x－2）＝5（2x－5）－45，再去括号，移项、合并同类项、化系数为1解方程；
（2）先方程两边同时乘以分母的最小公倍数6去分母，方程变为3（x－3）－2（x＋1）＝6，再去括号，移项、合并同类项、化系数为1解方程．
解：
（1）去分母得15x－3（x－2）＝5（2x－5）－45，
去括号得15x－3x＋6＝10x－25－45，
移项得15x－3x－10x＝－25－45－6，
合并同类项得2x＝－76，
把x的系数化为1得x＝－38；
（2）去分母得3（x－3）－2（x＋1）＝1，
去括号得3x－9－2x－2＝1，
移项得3x－2x＝1＋9＋2，
合并同类项得x＝12.
方法总结：
解方程应注意以下两点：
①去分母，方程两边同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．②去括号，移项时要注意符号的变化．
例2
（1）当k取何值时，代数式k＋13的值比3k＋12的值小1?
（2）当k取何值时，代数式k＋13与3k＋12的值互为相反数？
解析：
根据题意列出方程，然后解方程即可．
解：
（1）根据题意可得3k＋12－k＋13＝1，
去分母得3（3k＋1）－2（k＋1）＝6，
去括号得9k＋3－2k－2＝6，
移项得9k－2k＝6＋2－3，
合并得7k＝5，
系数化为1得k＝57；
（2）根据题意可得k＋13＋3k＋12＝0，
去分母得2（k＋1）＋3（3k＋1）＝0，
去括号得2k＋2＋9k＋3＝0，
移项得2k＋9k＝－3－2，
合并得11k＝－5，
系数化为1得k＝－方法总结：
先按要求列出方程，然后按照去分母解一元一次方程的步骤解题．
五、尝试练习，掌握新知
课本P90练习第1～3题．
《》“随堂演练”部分．
六、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？
本节课学习了解含有分母的一元一次方程的步骤：
（1）去分母；
（2）去括号；（3）移项，合并同类项；（4）系数化为1.注意去分母时，不要漏乘不含分母的项，分子是多项式时，去掉分母要加括号．
七、深化练习，巩固新知
课本P91习题3.1第5、7题．
《》“课时作业”部分．
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