二次函数和一次函数知识点Word下载.docx
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在3种形式的互相转化中，有如下关系:
h=-b/2ak=（4ac-b^2;
）/4ax1,x2=（-b±
√b^2;
-4ac）/2a
III.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²
的图像，
可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线
x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为
P[-b/2a，（4ac-b^2;
）/4a]。
当-b/2a=0时，P在y轴上；
当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。
二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；
当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
6.抛物线与x轴交点个数
Δ=b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。
V.二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2;
+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），
即ax^2;
+bx+c=0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
画抛物线y＝ax2时，应先列表，再描点，最后连线。
列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。
二次函数解析式的几种形式
（1）一般式：
y＝ax2+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）.
（2）顶点式：
y＝a（x-h）2+k（a,h,k为常数，a≠0）.
（3）两根式：
y＝a（x-x1）（x-x2），其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.
说明：
（1）任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a（x-h）2+k，抛物线的顶点坐标是（h,k），h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；
当k＝0时，抛物线a（x-h）2的顶点在x轴上；
当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点
如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax^2；
如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax^2+k
定义与定义表达式
y=ax^2+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>
0时，开口方向向下。
还可以决定开口大小,越大开口就越小,越小开口就越大。
）
x是自变量，y是x的函数
二次函数的三种表达式
①一般式：
y=ax^2+bx+c（a,b,c为常数,a≠0）
②顶点式[抛物线的顶点P（h，k）]：
y=a（x-h）^2+k
③交点式[仅限于与x轴有交点A（x1,0）和B（x2,0）的抛物线]：
y=a（x-x1）（x-x2）
以上3种形式可进行如下转化：
①一般式和顶点式的关系
对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为（-b/2a,（4ac-b^2）/4a），即
h=-b/2a=（x1+x2）/2
k=（4ac-b^2）/4a
②一般式和交点式的关系
x1,x2=[-b±
√（b^2-4ac）]/2a（即一元二次方程求根公式）
函数性质：
的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为为常数. 即：
y=kx+b（k，b为常数，k≠0）， ∵当x增加m，k（x+m）+b=y+km,km/m=k。
2.当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为（0，b）。
3当b=0时（即y=kx），一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。
4.在两个一次函数表达式中：
当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合；
当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行；
当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交；
当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。
若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b（k,b为常数，k不等于0）则称y是x的一次函数
y=kx+b时：
当k>
0,b>
0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限；
0,b<
0,这时此函数的图象经过第一、三、四象限；
当k<
0,这时此函数的图象经过第一、二、四象限；
0,这时此函数的图象经过第二、三、四象限；
当b>
0时，直线必通过第一、二象限；
当b<
0时，直线必通过第三、四象限。
1、正比例函数
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
2、正比例函数图象和性质
一般地，正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是一条经过原点和（1,k）的一条直线，我们称它为直线y=kx.当k>
0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大，y也增大；
当k<
0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小.
3、正比例函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=kx（k≠0）中的常数k，其基本步骤是：
（1）设出含有待定系数的函数解析式y=kx（k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程；
（3）解方程，求出待定系数k；
（4）将求得的待定系数的值代回解析式.
4、一次函数
一般地，形如y=kx＋b（k,b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
5、一次函数的图象
（1）一次函数y=kx＋b（k≠0）的图象是经过（0，b）和两点的一条直线，因此一次函数y=kx＋b的图象也称为直线y=kx＋b.
（2）一次函数y=kx＋b的图象的画法.
根据几何知识：
经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：
是先选取它与两坐标轴的交点：
（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.
6、正比例函数与一次函数图象之间的关系
一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>
0时，向上平移；
0时，向下平移）.
7、直线y=kx＋b的图象和性质与k、b的关系如下表所示：
k>
0经过第一、二、三象限
k>
0经过第一、三、四象限
0,b=0经过第一、三象限k>
0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大
k<
0b>
0经过第一、二、四象限
0经过第二、三、四象限
K,0,b=0经过第二、四象限
k<
0图象从左到右下降，y随x的增大而减小
8、直线y1=kx＋b与y2=kx图象的位置关系：
（1）当b>
0时，将y2=kx图象向x轴上方平移b个单位，就得到y1=kx＋b的图象．
（2）当b<
0时，将y2=kx图象向x轴下方平移－b个单位，就得到了y1=kx＋b的图象．
9、直线l1：
y1=k1x＋b1与l2：
y2=k2x＋b2的位置关系可由其解析式中的比例系数和常数来确定：
当k1≠k2时，l1与l2相交，交点是（0，b）．
10、直线y=kx＋b（k≠0）与坐标轴的交点．
（1）直线y=kx与x轴、y轴的交点都是（0，0）；
（2）直线y=kx＋b与x轴交点坐标为（，0）与y轴交点坐标为（0，b）．
一、选择题
1、如图4，直线l1和l2的交点坐标为（）
A.（4,-2）B.（2,-4）C.（-4,2）D.（3,-1）
2、一次函数的图象大致是（）
3、一次函数的图象不经过（）
A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限
4、一次函数不经过的象限是（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5、如果点M在直线上，则M点的坐标可以是（）
A．（－1，0）B．（0，1）C．（1，0）D．（1，－1）
6、如图，直线对应的函数表达式是（）
A．B．
C．D．
8、已知反比例函数=（≠0）的图象，在每一象限内，的值随值的增大而减少，则一次函数=-+的图象不经过（）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
9、一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（）
A．B．C．D．
11、一次函数（是常数，）的图象如图2所示，
则不等式的解集是（）
12、在平面直角坐标系中，直线经过（）
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限
13、一次函数y=kx+b中，k<
0.那么它的图像不经过
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
15、已知：
一次函数的图象如图1所示，那么，a的取值范围是
A.B.C.D.
16、如图，直线y1=与y2=-x+3相交于点A，若y1<
y2，那么（）
>
2<
2>
1<
1
0经过第一、二、三象限
0,b=0经过第一、三象限k>
0b>
0经过第一、二、四象限
0图象从左到右下降，y随x的增大而减小
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