二次函数知识点及其应用的总结.docx

二次函数知识点及其应用的总结.docx

《二次函数知识点及其应用的总结.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二次函数知识点及其应用的总结.docx（6页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

二次函数知识点总结

知识结构框图

一、二次函数的概念

形如（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，其中，是自变量，分别是函数表达式的二次项系数，一次项系数和常数项。

这里需要强调：

和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．X可以取全体实数．

二、二次函数的一般表达式

1、一般式：

（，，为常数，）；

2、顶点式：

（，，为常数，）其中；

3、两根式：

注意：

任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

三、二次函数的图像性质（轴对称图形）

1.当时，抛物线开口向上，

对称轴为，顶点坐标为．

当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；

当时，有最小值．

2.当时，抛物线开口向下，

对称轴为，顶点坐标为．

当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；

当时，有最大值．

四、二次函数的图像与各项系数之间的关系

1.二次项系数

二次函数中，作为二次项系数，显然．

⑴当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；

⑵当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．

总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．

2.一次项系数

在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．

⑴在的前提下，

当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；

当时，，即抛物线的对称轴就是轴；

当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．

⑵在的前提下，结论刚好与上述相反，即

当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；

当时，，即抛物线的对称轴就是轴；

当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．

总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．

3.常数项

⑴当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；

⑵当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；

⑶当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．

总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．

总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

五、二次函数与一元二次方程：

1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：

一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.

图像与轴的交点个数：

①当时，图像与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．

和的一半恰好是对称轴的横坐标.

②当时，图像与轴只有一个交点；

③当时，图像与轴没有交点.

当时，图像落在轴的上方，无论为任何实数，都有；

当时，图像落在轴的下方，无论为任何实数，都有．

2.抛物线的图像与轴一定相交，交点坐标为，；

3.二次函数常用解题方法总结：

⑴求二次函数的图像与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；或者依据函数特点确定自变量能使函数取得最大值的值，并将其带入到表达式中求出最值；

⑶根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；

（4）二次函数与一次函数的交点，可通过联立方程求解，从而求出交点坐标。

六、二次函数的几个特殊的基本形式

1.二次函数基本形式：

的性质：

结论：

a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

总结：

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

向上

轴

时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

轴

时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

3.的性质：

结论：

上加下减。

总结：

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

向上

轴

时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

轴

时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

4.的性质：

结论：

左加右减。

总结：

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

向上

X=h

时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

X=h

时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

4.的性质：

总结：

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

向上

X=h

时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

X=h

时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

七、二次函数图象的平移

1.平移步骤：

⑴将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；

2.平移规律

在原有函数的基础上““左加右减，上加下减”．

6