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数列极限的几种求解方法
数列极限的几种求解方法
张宇
（渤海大学数学系辽宁锦州121000中国）
摘要在髙等数学中极限是一个重要的基本概念。
高等数学中其他的一些重要概念，如微分、积分、级数等都是用极限来定义的。
本文主要研究了求极限问题的若干种方法。
在纷繁众多的求极限方法中，同学们往往在求解极限时不知如何下手。
文章内容包括对求解简单极限问题的各种常用方法的总结：
利用迫敛性：
利用单调有界定理；利用柯西准则证明数列极限：
这些方法对解决一般数列极限问题都很适用。
还包括在此基础上探索出来的解决各种复杂极限问题的特姝方法，例如：
利用数列的构造和性质求数列的极限：
利用定积分定义求数列极限以及利用压缩映射原理等特殊方法求数列极限，这些特殊方法对解决复杂极限有很重要的意义，而且还比较方便。
在实际求解过程中，要灵活运用以上各种方法。
关键词：
数列，极限，槪念，泄理。
Solutionofthelimit
Abstract:
Inthehighermathematicslimitisanimportantbasicconcepts・Inthehighermathematics,someimportantconceptsofother,suchasthedifferentialandintegration.seriesareusedtodefinethelimit.Thispapermainlystudiestheproblemofseverallimit.Inthenumerousandnumerouslimitmethod.studentsofteninsolvinglimitdoesn'tknowhowtostart.Tliecontentsincludethelimitforsolvingallkindsofsimplemethodusingthesummary:
popularizesforcedconvergenceproperty.MonotonehavedefinedDaniel,Usingtheproofofcauchycriterionsequencelimit.Thesemethodsofsolvingproblemsaregenerallysequencelimit.Alsoincludedonthebasisofexploringtheproblemsolvingcomplexlimitmethods,suchasspecialstnicturesandpropertiesofinvariable;thesequencelimit,Usingtheintegraldefinitionforsequencelimitandusethebanachcotractionprincipleasaspecialmethod.thesespecialmethodsequencelimittosolvecomplexlimitisimportant,butalsomoreconvenient.Intheactualsolvingprocess,usingvariousabovemethods・
Keywords:
Series,limit,theconcept,thetheorem.
引言
极限的概念与运算贯穿了高等数学的始终。
因此，掌握好求极限
的方法对学好高等数学是十分重要的。
下面简单介绍一下求极限的几种方法，不仅具有教材建设的现实意义而且具有深刻的理论意义。
一、数列极限的基本概念及基本理论
（一）、数列极限的定义①
设仏｝是一个数列，若存在确定的数d,对V>0,3>0,使当时，都有lo”-alV£,则称数列曲｝收敛,即为liman=a,否则称数列仏｝不收敛（或称发散数列）。
对数列极限定义我们应注意如下问题，（i）£的任意性；（ii）N的相应性，最重要的是N的存在性；（iii）收敛于。
的数列｛©｝,在d的任何领域内含有&｝几乎全体的项，此问题可以从这句话“使得当n>N时,都有应一a]vw”看出。
（二）、数列极限的性质
1、唯一性若数列仏｝收敛，则它只有一个极限。
2、有界性若数列仏｝收敛，则存在正数M,使
Ianl3、保号性若limq严°>0（或V0）,则对任意一个满足不等式d>R>0,（或0>R>“）的都存在正数N,使当n>N时，an>a（或an4^若liman=a,limbn=b,且anNQ）9贝a*华东师范大学数学系編•g数学分析》上册，第三版.23贞，定义1。
5n迫敛性（两边夹）设limafJ=limbn=a9且anNQ）9则limcn=ao
“TOO
（3）、数列极限的四则运算
1.若liman=a,limhtt=b9则limCan±hrl）=a±b9liinanbn=abo
H/r—>30>00
2^liman=a>KJlim—=—o
HfgHTOC>Xbb
（四）、常用公式
1、有理式比
他•当加彳,
b
恤巧+%叮+••…・+即+绳」
Hl
0,当mbkn+bk^n+.+Z?
1n+Z?
0
8,当?
W>R・
2、limq11=Q9其中\qI<1o
"TOO
3、lim（l+-r=6>flo
"TOOff
4>limnsin—=1o
"TOOfl
（五）、充要条件
1、柯西准则②数列仏｝收敛的充要条件是：
对*>0,总存在自然数N,使当n,m>N,都有Ian-aIH1<£o
2、子数列法则数列匕｝收敛的充要条件是它的任一子列都收敛于同一极限。
（六）、单调数列
任何有界的单调数列一定有极限。
且单调递增有界数列的极限为其上确界。
单调递减有界数列的极限为其下确界。
②华东师范大学数学系編，《数学分析》上册，第三版，38贞，定理2.10.
二、求数列极限的方法
（一）求数列极限的基本方法
（1）、利用定义求数列极限
例1设数列&“}收敛于°,证明lin/严…+兀="。
n-xefi
分析：
欲证山訐+花+•••+£=4,考虑
”*n
|X1+X2+•••+"”_°冃丙一“+花一4+...+£-2|
nn
-~{|xi_£7I+Ix2"6ZI+・・・+丨兀厂al}
n
由于limx”=a。
当"充分大时，|x”-a|就充分小，上述和式的构n->»
成项|曲-4|,区-"I，…，IE-"中后面的绝大部分项充分小，而前面不充分小的项则仅有少数几项，被分母〃除后亦会充分小。
证明因为1面兀=0。
&”}是有界数列。
ZI-KO
{x,-a}也是有界数列，即存在正数M>0,使得巾=1,2,...,皆有\xt,-a\0,训>0,使得心您时，|兀-a|v]于是当">M时，£|忑-a|二丈|无-a|+力忑-（/|<榊+（〃-愆）彳
■I
N]\,n>N时，必有|—-a\<£
4=1A=l*=A*|+I上
只要取N=闷耳乎此即证得
注I、证明过程中其实采用了-种分段技术，性质不同的对象以不同的方法处理。
2、为了简化证明的书写，不妨先设°=0,而对一般情形，
可以做平移变换兀；=兀-_即等价转换为0=0的命题。
d=+S或Y时，相应结论应成立，但证明须作一定修改,
主要体现在对I-Yxj应作反向的缩小。
（2）、利用迫敛性求数列极限
我们常说的迫敛性或夹逼定理。
当我们而对一个数列仏｝难以直接处理时，不妨尝试适当的放缩技术，去伪存真，去细存粗，抓住主
例2求极限lim
耍矛盾，使问题得以解决。
+1n2+n+2n2+n+n
即得产儿当“T+S时，上式左.右两端各趋于0和1,似乎无法利
用迫敛性，原因在于放缩太过粗糙，应寻求更精致的放缩。
解对f—各项的分母进行放缩，而同时分子保持不变。
t^rr+n+k
就得如下不等关系:
川+1k、k_皿2+1）
2（n+2）幺"幺"'+舁+12（/?
2+/7+1）
令”T+oo时，上式左、右两端各趋于寸，得
lim..r
心叭ir+n+1n"+/1+2
12n
H；+...+—；
•ir+n+n
例3求证^F=°
证因为2"=（1+1）”=C；+C：
+C：
+・・+C；
由于数列的分子是“的一次幕，所以可以把上式右边的第三项
C：
保留，其余全部甩掉以实现对分母的缩小，达到使整个分数放大
的目的,即:
用这种放大法下列极限为0,对所有的自然撤，有帆卜。
，只要将2"的二项式展开的第k+1项保留，其余甩掉，以实现整个数列的放大，找到一个无穷小“来控制它。
进一步，对所有的自然数*和所有
的实数d>l，lini=0o宀a
例4设limxn=%0①limx；：
=a.②lim和7=1o
n->xv
证明由极限的不等式性质可知，存在N>0,使当n>N时，有
12
令"TOO,上述两个结论成立
用夹逼定理对数列进行放大和缩小时要注意“正确”和“适当”,
也就是说一方面要进行正确的不等式运算，另一方而无论是放大还是缩小都要适当，即要使放大和缩小所得数列都有相同的极限。
（3）、利用单调有界定理求数列极限
在实数系中，有界的单调数列必有极限。
不妨设｛“”｝为有上界的递增数列，由确界原理，数列｛“”｝有上确界，记«=sup｛./„）,事实上,任给£>0。
按上确界的定义，存在数列｛©｝中某一项仏，使得
a-£又由｛"”｝的递增性，当nhN时有a-s是｛©｝的一个上界，故对于一切心都有心+所以当"N时有a-s也必有极限，且其极限为它的下确界。
因而有界的数列必有极限。
用
这个知识，我们就可先判断极限的存在然后求解它。
例5设Ovcvlq冷,％=#+¥，证明：
匕｝收敛，并求其极限。
厶乙乙
证明先用数学归纳法可证
0=1,2,3）①
再用数学归纳法证明
%肿勺（”=1,2,3......）②
显然a2>5，归纳假设ak>兔t,则
你+1一绞=£S-«'-!
）=+%）丫o
从而②成立。
由①，②知仏｝单调递增有上界，
/.lima=1（存在）
n-»oc
.•./=*+?
注意到/Vl,
・a.liman=l=\—71—co
n—wc
（4）、利用极限的四则运算性质求极限
例6求limf—,其中心-1。
—xan+1
解若“=1,则显然有=
宀a1'+12
若\a1<1,则由liman=O得
“fg
『lima11
lim=——=0;
“a11+1lima1+1
若ldl>l,则
lim———心00。
+1
lim、亘_已
T*y/fl+2一J/2
恤（J”+1—俪）（Jn+1+、5）（+2+侖）“y（y/n+2-y[n）（yln+2+y/n）（y/n+\+>/n）
丄
2
注意：
用运算法则时，要求各等式号右边的极限都存在。
（5）、利用Cauchy收敛准则
单调有界定理只是数列收敛的充分条件，而在实数系中，Cauchy
收敛准则是数列收敛的充分必要条件。
它的内容：
数列｛©.｝收敛的充要条件是，对于任给的£>0,总存在某一个自然数N,使得当心“>N时
有何_£」<£•
柯西收敛准则求极限与定义不同，最大的区别是不用事先知道极限的存在.这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在问题，它反映这样的事实：
收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈是接近，以至充分后而的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数。
因而用C"眦切收敛准则可先判断或证明数列的收敛性，然后在求出其极限，并且我们知道在实数完备性的六个基木定理：
确界原理，单调有界定理，区间套定理，有限覆盖定理，聚点定理，柯西（Cauchy）收敛准则中任意知道一个可以推出其他五个命题的。
因而它在求解数列极限方式上和单调有界定理是类同的，都要确定数列的极限是存在的然后求解它，当然所有的数列首先必须有极限我们才能想办法求出它，对于一些极限不是很明显看出存在的数列,我们当然就要先确定它的极限存在性了。
补充一句并不是利用收敛准则判断收敛的数列的极限值都能求岀来的，因为有的数列的极限值可能难求出具体的数值,但用收敛准则我们起码判断其收敛或发散性。
知道其极限存在与否。
如：
例8应用柯西准则证明｛%｝收敛…”=1+籟+加…+丄。
证明对Vw>0,取”=日'则对N,有
匕_讣亠+亠+.,丄
（加+1）~（m+2yrr
m（m+1）（m+1+2）（n-1）n
112=———v—mnm
而由加〉二知—<£>故Ian-am1<£■o£m
由柯西收敛准则知k｝收敛。
（二）、求数列极限的特殊方法
（1）、利用斯托兹（s/o/z）定理求极限
斯托兹定理与洛比达法则是数学分析中处理型及（目型极限的两个重要工具，它们分别适用于变量为“离散的”和“连续的”情形。
1、F型］设仏｝是趋于零的数列，｛仇｝是递减趋于零的数列，则当lim""一"曲存在或为+8时，lim色•也存在或为+8,且2杆叽-b曲5“
或为+s时，则lim—也存在或为+8,且lim—-lim—―。
〃卄®十"心乜b讪
例9令西已（0,1］x卄］=心（1-兀Xn=12・・），试证:
limnxn=1
证明好（O,l）,X2=*l-州），则说明｛兀｝为单调递减的，
而且是有下界数列，因此根据单调有界定理可知lim心存在,
woo
设lim£=x在xn+i=xn（1-兀J两边取”t+oc的极限，n-H<»
可得到X=X（1-A-）则可得X=0。
所以lim兀=0设心=丄，〃=12・・・则lim仇=+s,有
，卄X”
4V化+劝=1'2,...）
所以利用定理2,有：
limnxn=lim=lim斗巴~~；=lim
Xn
而
b卜一I1_11_1-1+“_1
心”和捡兀（1一兀）心"（1一暫）1—兀°
所以
limnxn=liin（1-x）=1
3.（工型斯托兹51C定理的推广）：
设T为正常数，若
O0
g（%）,/（%）,"[&,+<«）满足:
（1）g（x+T）>e（6Z,+oo];
（2）linig（x）=+oo,/（a）,g（x）在[d,+s）的任意子区间上有界；
（3）1曲少+牛农=/,
—g（x+T）_g（x）
则lim44=I。
ig（x）
4、（9型斯托兹（恥々）定理的推广）：
设T为正常数，若函数0
g（x）,/（Qxe[a,403）满足：
（1）o（2）limg（x）=0,lim/（x）=0;x->»
则lin^=/，|/n（x）-2|<|0
例]0设£（x）=e^fn=1,2,...）,数列｛yn｝满足：
⑴x=c>0,
（2）£"fn[x）dx=y„（n=1,2...）,求塑屮。
解由条件
（2）\'fn（x）dx=yn,所以料严-1=yn,
=hll1+_7，1，令£=讣耳+严In（1+xn\yn=nxn,
因为X]=）[=c>0,则尤2=ln（l+xl）>0,x3=ln（l+x2）>0,...,>0,
当x>0时，ln（l+x）vx,则x”+i=ln（l+）设lima;=a在X”］=In（1+兀J两边取”too时的极限
a=In（l+a）,
所以a=0,即&”｝是严格递减的且趋于0
♦
所以、丄『是严格递增且趋于无穷的。
由定理limyn=limnxn=lim芈,
HfX“TOC1
=皿（严）==亦"（15（1+0f牙_ln（l+x）f—1zx
"7+T
=]iJ+ln（l+x）+l=2。
D1
（2）、利用压缩映像原理求数列极限
压缩映像原理设0（2）I-A\那么数列&”｝必收敛。
在
（2）条款之下,limxn=Ao
推论1：
设m）是［“］上的压缩映射且则/⑴在［",b］上存在唯一的不动点C。
推论2:
设/（大）在［a,b］±.连续，在仏b）内可导，且存在0<^<1,对Vxe（t/,Z?
）使得\f'（x^J/（x）是[d,b]上的压缩映射。
例11设出，数列&”｝由如下递推公式定义：
X-1
Xo=1,兀屮=/（兀）,（〃=0,1,2...）o求证：
limXn=y[2o
〃一>oc
证明=_=1+—!
—X1,（〃=0,1,2...）①
冷+1冷+1
I广⑴曰―詁（当宀1）。
••」畑-冷曰/UJ-/U-l）l=lfG）l•IXn-Xn_,I
<^\xn-xn_xI
则数列&”｝为压缩数列,•••!
坐兀严/,则由①得
/=竺,即/2=2,
/+1
・・・/=、◎或/=一血（舍去），此即UinXrl=41o
”TOC
例12设XA=y[a,x2=Jd+丽,…兀+]=y]a+xn...2卜试证数列｛兀｝收敛并求极限。
解考察函数/（x）=yja+x,xe[0,+oo）,且在[0,+s]上有，
因此/⑴在[o，+s）是压缩的。
A-j=^6/e[0,+oc）,A-/i+l=f（xjo由压缩映射原理，数列氐｝收敛且极限为方程x=的解，解之得：
1=J1+4"
呻”=―2—。
（3）、求形如柿严/伉）数列的极限
例13设g严亠，其中《与比为正数，则数列｛暫｝收敛于
1+心
A-2+x=k的正根。
解因为和"0,所以对一切"有0
（l+xjl+x^）
由于（1+兀X1+和）>]+兀（1+和）=1+*,故
1兀+1一暫1<£|-%一如匕・・<|£；1吃_和
fl和-如1收敛，从而数列｛兀｝收敛，由于兀>0,则11»^=^0>0,在/r=l
等式不田=—J两边取极限，得x^+xQ=k,故兀0是方程x2+x=k的止根。
1+X.・
（4）、根据递推关系写出通项公式，进而求数列极限
求liinxno
“TOO
例14设旺=G,X]=b,兀田=.5±3_—
2n
解由递推关系
=-=（-ir2n.2（J-l）...2（X>-Xo）
=甲*F
于是有
一“HLhr）
"XnV1，7
（-If*1（、
龙”-"冇时（g°）吃_召=_*（坷_勺）
州一勺=为一观
可得
lb’£+1_a=£（—1）'A•£0_a）=e右0_d）"角2k!
故limxn=a+e2（h-a）
/r->»
（5）、利用定积分定义求数列极限
由定积分的定义我们知道，定积分是某一个和式的极限。
如果
关于n的某一和数可以表示一积分和形式，则可利用定积分的值求出这一和数的极限值，而要利用定积分求极限，其关键在于将和数化成某一积分和的形式。
例15求lim
“T30
111
!
F...+\n+\n+2
111+.・・+n+1n+2n+n
+・・・+
11
1+—1+—
-nn=y_1.丄k=l\+-11n
令他怙0X1,则由定积分定义知
（6）、利用级数收敛的必要条件求极限
若级数收敛，则当n无限增大时，它的一般项心必趋
«=0
近于零：
linwrO。
所以，若把所求之数列视为一个级数的通项，如果能判别此级数收敛，则此数列之极限必为零。
例16试证数列暫=斗磐二3啤（〃=1,2,3......）有极限并求
2•5-8（3畀—1）
此极限
证明当心6时，可证匕上<1。
3/7一1
故｛兀｝当”>6时为单调减小，且有下界大于0,故lin“存在。
再考虑正项级数£兀，因为lim电=恤斗=|<1,
行“Toor.门-^3〃+23
由此可知级数工£收敛，所以linix^Oo
；t=i
（7）、利用砧+丄］”=e来求数列极限”沁n）
用这种方法有一定的局限性，因为它要求所求数列和这种形式有
一定的形似性。
一般对于广型的数列（1+丄丫（"—8）的极限求法，或
推广成求数列极限耙』+呛佛。
仍有很大的方便性。
1
In-\）
1
lim
n—
（2）设an=1——7则>0,lim=1>0
=lim1+亠
ir
（8）、利用函数的归结原则来求数列的不定式极限
对于数列的不定式极限，可利用函数极限的归结原则，通过先求相应形式的函数极限而得到结果。
归结原则有时称海涅定理，它是说:
设/在6/°（x0;J）内有定义，lim/⑴存在的充要条件是：
对任何含于
X—>x（）
且以心为极限的数列｛aJ,极限lim/亿）都存在且相等。
n->oc
例18求数列极限曲+卜制。
!
取对数后的极限为
解先求函数极限Um1+丄+丄
YT叫X0）
Um胡1+丄+丄卜lim1血+"汁1山
2x4-12
=liml+x+：
一=lim“•=1,I杠1X-+x+\
—~5"
JC
所以由归结原则可得
lim1+丄+丄
Intr
“TO
=limI1+丄+Ax卄ixx-
A-HOC
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