《离散数学》复习提纲.docx
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《离散数学》复习提纲
《离散数学》期末复习大纲
一、数理逻辑
[复习知识点]
1、命题与联结词（否定￢、析取∨、合取∧、蕴涵→、等价?
），复合命题
2、命题公式与赋值（成真、成假），真值表，公式类型（重言、矛盾、可满足），
公式的基本等值式
3、范式：
析取范式、合取范式，极大（小）项，主析取范式、主合取范式
4、公式类型的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）
5、命题逻辑的推理理论
6、谓词、量词、个体词（一阶逻辑3要素）、个体域、变元（约束出现与自由出
现）
7、命题符号化、谓词公式赋值与解释，谓词公式的类型（永真、永假、可满足）
8、谓词公式的等值式（代换实例、消去量词、量词否定和量词辖域收与扩、量
词分配）和置换规则（置换规则、换名规则）
9、一阶逻辑前束范式（定义、求法）
本章重点内容：
命题与联结词、公式与解释、（主）析取范式与（主）合取范式、
公式类型的判定、命题逻辑的推理、谓词与量词、命题符号化、谓词公式赋值与
解释、求前束范式。
[复习要求]
1、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方
法。
2、理解公式与赋值的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等值式化简
其它公式，公式在解释下的真值。
3、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）
范式的概念；掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。
4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公
式等价方法。
5、掌握命题逻辑的推理理论。
6、理解谓词、量词、个体词、个体域、变元的概念；理解用谓词、量词、逻辑
1
联结词描述一个简单命题；掌握命题的符号化。
7、理解公式与解释的概念；掌握在有限个体域下消去公式量词，求公式在给定
解释下真值的方法；了解谓词公式的类型。
8、掌握求一阶逻辑前束范式的方法。
二、集合
[复习知识点]
1、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂
集
2、集合的交、并、差、补以及对称差等运算及有穷集的计数（文氏（Venn）图、
包含排斥原理）
3、集合恒等式（幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律、矛盾律、德摩根
律等）及应用
本章重点内容：
集合的概念、集合的运算性质、集合恒等式的证明。
[复习要求]
1、理解集合、元素、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集等基本概念。
2、掌握集合的表示法和集合的交、并、差、补、对称差等基本运算。
3、掌握集合运算基本规律，证明集合等式的方法。
三、二元关系
[复习知识点]
1、序偶、迪卡儿积，迪卡儿积的性质及运算。
2、二元关系（定义、空关系、全域关系、恒等关系）、关系表达式、关系矩阵与
关系图
3、关系的定义域、值域、限制、像、复合关系（右复合）与逆关系
4、关系的性质（自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性）
5、关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包）
6、等价关系与等价类、商集、划分
7、偏序关系与哈斯图、极大/小元、最大/小元
2
本章重点内容：
二元关系的概念、关系的性质、关系的闭包、等价关系及划分、
偏序关系和哈斯图
[复习要求]
1、了解序偶与迪卡儿积的概念，掌握迪卡儿积的运算。
2、理解关系的概念：
二元关系、空关系、全域关系、恒等关系；掌握关系的集
合表示、关系矩阵和关系图、关系的运算。
3、掌握求复合关系与逆关系的方法。
4、理解关系的性质（自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性），掌握其
判别方法（定义、图）。
5、掌握求关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包）的方法。
6、理解等价关系和划分、掌握等价类和划分的求法
7、理解偏序关系的概念，掌握画哈斯图的方法，极大/小元、最大/小元的求法。
四、函数
[复习知识点]
1、理解函数概念：
函数、函数相等、A到B的函数。
2、理解单射、满射、双射等概念，掌握其判别方法。
3、函数的复合与反函数
本章重点内容：
函数的定义及判别方法、函数的三大性质、函数的复合与反函数。
[复习要求]
1、掌握函数及从A到B的函数的判别方法。
2、理解函数的像与原像。
3、掌握函数的单射、满射、双射的判别方法。
4、掌握求函数的复合与反函数的方法。
五、图论
[复习知识点]
1、图的基本概念：
无向图与有向图、顶点与边的关联关系、顶点（边）与顶点
3
（边）之间邻接关系、简单图与多重图、顶点度数（度）与握手定理、图的同构、
完全图、子（补）图。
2、通路与回路、简单通（回）路与初级通（回）路；连通图与非连通图、连通分支、点割集、边割集、点（边）连通度；强连通图、单向连通图与弱连通图；二部图。
3、图的矩阵表示：
关联矩阵、邻接矩阵、可达矩阵。
4、欧拉通（回）路、（半）欧拉图；哈密尔顿通（回）路、（半）哈密尔顿图；
5、无向树、生成树、带权树、最小生成树。
6、有向树、树根、有序树、二叉树、最优二叉树、前缀码、最佳前缀码、霍夫曼（Huffman）算法、二叉树的周游及应用。
本章重点内容：
握手定理、点（边）割集、通路与回路、特殊图（欧拉图与哈
密顿图、无（有）向树）、最优二叉树、最佳前缀码、霍夫曼（Huffman）算法。
[复习要求]
1、理解图的有关概念：
图、完全图、简单图、子图、母图、生成子图等。
2、深刻理解握手定理及其推论的内容，并能熟练地应用它们。
3、能判断两个图是否同构。
4、理解连通度、点割集、边割集、割边和割点。
5、能判断图是否为强连通图、单向连通图与弱连通图。
6、理解图的矩阵表示（关联矩阵、相邻矩阵）和性质以及熟练掌握用有向图的
邻接矩阵及各次幂求图中通路与回路数的方法。
4、理解欧拉图、哈密顿图的定义及判别定理。
在无向图中找出一条欧拉通路或
欧拉回路、哈密顿通路或哈密顿回路。
5、理解无向树的定义，熟练掌握无向树的主要性质，并能灵活应用它们。
6、理解生成树的有关概念与性质。
7、理解有向树、根树、二叉树和前缀码的有关概念；掌握用霍夫曼（Huffman）算法求带权图的最优二分树，掌握求最佳前缀码方法，二叉树的中序和前序行遍法。
4
考试说明
一、考核方式
1）期末笔试为100分钟的闭卷考试，占总评成绩的70％。
2）平时成绩来自作业、考勤和课堂考核，占总评成绩30％。
二、各部分比例（大概为讲授学时*2.5）
1）数理逻辑：
35分
2）集合论：
40分
3）图论：
25分
三、考题类型
1）单选题：
20题，每题1分，共20分
2）判断题：
20题，每题1分，共20分
3）填空题：
10题，每题2分，共20分
4）综合题：
5题，每题8分，共40分
四、常见综合题
1.用等值演算法证明等值式。
2.在自然推理系统P中构造证明推理（多种方法）
3.用等值演算法求解主析取范式或主合取范式，计算分析
4.集合恒等式的证明或化简（1-2例题或练习）
5.集合的运算，有穷集的计数（文氏图、包含排斥原理）
6.求二元关系导出的划分（1-2例题或作业）
7.给定一个偏序集，画出哈斯图并求极大、极小元素、求最大、最小元素、上界、最小上界、下界、最大下界、上确界和下确界。
8.图的集合表示、图形表示、矩阵表示，以及相互之间的转换。
9.利用握手定理，无向树中的顶点数、边数、度数、叶子数，知道其中部分数据，求其余部分数据。
10.用Huffman算法求最优二叉树产生的最佳前缀码（根树的应用）。
5
《离散数学》试卷结构及样题
一、单选题（20小题，每题1分，共20分）
1.设M（x）：
x是人，P（x）：
x犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为（
）
A.
x（M（x）
P（x））
B.（x（M（x）
P（x）））
C.
（x（M（x）
P（x）））
D.（x（M（x）
P（x）））
2.
设A={x,y},B={y,z}则A×B为（
）
A.
{（x,y）,（x,
z）,（y,y）,（
y,z）
}
B.
{
（y,x）,（x,z）,（
y,
y）,（
y,
z）
}
C.{（x,y）,（z,
x）,（y,y）,（
y,z）
}
D.
{（x,y）,（x,z）,（
y,
y）,（
z,
y）
}
3.
设集合A={1,2,3},A上的关系R＝{（1,1）,（2,2）,（2,3）,（3,3）,（3,1）},
则R具有
（
）
A.反自反性
B.传递性
C.对称性
D.以上答案都不对
4.
关于整数集Z上的“＜”关系
R，以下描述不正确的是（
）
A.R的自反闭包是“≤”关系
B.R的对称闭包是“≠”关系
C.R的传递闭包是它本身
D.R的反自反闭包是“＞”
5.
下列图中（
）是欧拉图
⋯⋯
二、判断题（20小题，每题1分，共20分）
1.
公式（
xF（x）
yG（y））
yG（y）是可满足式。
（
）
2.
（AB）
（B
C）（A
C）
这个定律叫做假言三段论。
（
）
3.设A=｛a，b，c，d｝，R是A上的一个二元关系，R={,,,<
c,c>}是自反的，是反对称的，是传递的。
（
）
4.
在每个图中，所有顶点的度数之和等于边数的两倍。
（
）
5.
树是不包含回路的连通图，在（n，m）树中必有m=n+1（
）。
6
⋯⋯
三、填空题（10小题，每题2分，共20分）
1.
已知命题公式G（PQ）
R，则G的析取范式为
。
2.
设A={2,3,4,5}
，若A上的关系为R={|（x-y）/2
是整数}，则
R=
。
3.R是集合X上的一个关系，如果R是自反的，对称的，传递的，则R称
为
。
4.
无向完全图K的边数为
。
n
5.
在一个图中，不与任何一个顶点相邻接的点叫做
。
⋯⋯
四、综合题（5小题，每题8分，共40分）
1．用等值演算法证明等值式（p→q）∧（p→r）（p→（q∧r））。
2．对偏序集（{3，5，6，15，24，30}，|）上的整除关系，画出哈斯图并回答
下列问题：
1）求极大、极小元素；
2）求最大、最小元素；
3）找出{3，5}的所有上界，如果存在的话求出最小上界；
4）找出{15，30}的所有下界，如果存在的话求出最大下界。
⋯⋯
7
《离散数学》复习题
一、选择题
1.
下述句子中哪一个不是命题（
）
A.5是有理数
B.2020年元旦下大雪
C.我正在说假话
D.ln1是整数
2.
在自然推理系统P中，推理规则通常不包括（
）
A.直接证明法
B.前提引入规则
C.置换规则
D.结论引入规则
3.
命题xy（x2
y2
1）的意义是（
）
A.对任何x均存在y使得x2+y2=1
B.对任何y均存在x使得x2+y2=1
C.存在y对任何x均使得x2+y2=1
D.存在x对任何y均使得x2+y2=1
4.
下述句子中哪一个是命题（
）
A.海南岛的天气好热啊！
B.我知道我什么都不知道
C.开会时请关闭手机D.明天天气晴朗
5.
判断推理是否正确的方法通常不包括（
）
A.真值表法
B.归纳法
C.等值演算法
D.主析取范式法
6.
在自然推理系统P中,联结词符号不包括（
）
A.
B.
C.
D.
7.
在自然推理系统P中，构造证明的方法通常不包括（
）
A.直接证明法
B.附加前提证明法
C.归纳法
D.归谬法
8.
对于集合的表示法，下列表示错误的是（
）
A.{x|x是实数?
x21=0}B.{x|x2
1=0，其中x是自然数}
C.{-1,1}
D.{x是实数并且x2
1=0}
9.
下列命题中错误的是（
）
A.{1}
{1,{1}}
B.{1}
{1,{1}}
C.{1}
{1,{1}}
D.1
{{1}}
10.
下列集合的基数互不相等的是（
）
A.{
{
}}和{1,2}
B.
和{
}
C.{
{
}}和{1,{1,2}}
D.{1，1,{1,2,3}}和{1,{1,2}}
11.
设M（x）:
x是人，P（x）:
x犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为（
）
8
A.x（M（x）P（x））
B.
x（M（x）
P（x））
C.
x（M（x）
P（x））
D.
x（M（x）
P（x））
12.
设
、是谓词公式，
P
是谓词，＝
xP（x）
H＝
xP（x）
则谓词公式G
H
GH
G
是（
）
A.永真的
B.永假的
C.可满足的
D.矛盾的
13.
对于集合的表示法，下列表示正确的是（
）
A.（-1,0,1）
B.{x|x2
1=0?
x是自然数}
C.[-1,0,1]
D.{x是实数并且x2
1=0}
14.
设a、b、c各不相同，对于下列选项中的两个集合，相等的是（
）
A.{{a,b},c}和{c,{a,b}}
B.{a,b,c}和{a,b,{c}}
C.{{a},b,c}和{a,b,c}
D.{{a,b}}和{a,b}
15.
设A、B、C为集合，下列命题中错误的是（
）
A.（AB）BB
B.A-B=AB=
C.A-B=
AB
D.AB=BAB=A
16.
设A={1,2,3},B={1,2},
那么下列不是从A
到B
的二元关系的是（
）
A.{<1,2>,<1,3>}
B.A×B
C.
D.{<1,1>,<2,1>,<3,1>}
17.
设R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,1>},
则domR和ranR分别是（
）
A.{1,2,4}和{2,3,4}
B.{1,2,4}和{1,2,3,4}
C.{1,2,3,4}和{1,2,3}
D.{1,2,3}和{1,2,3,4}
18.
设R={<1,2>,<1,4>,<2,2>,
<2,3>},S={<1,1>,<1,3>,<2,3>,
<3,
2>,
<3,3>}，则RS是（
）
A.{<1,3>}
B.{<1,3>,
<2,3>}
C.{<1,3>,
<2,3>,
<2,2>}
D.{<1,3>,
<2,1>,<2,3>}
19.
设R={<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<3,1>,<3,2>}，则R[{2}]是（
）
A.{<1,2>,<2,2>,<3,2>}
B.{<2,2>,<2,4>}
C.{1,2,3}
D.{2,4}
20.
列集合的基数互为相等的是（
）
A.{
{}}和{1,{，1,2}}
B.
和{}
9
C.{,{
}}和{1,{1,2},3}
D.{1,1,{1,2,3}}和{1,{1,2},3}
21.
设X={
}，Y=P（,{
}），下列命题为假的是（
）
A.XY
B.X=Y
C.{X}
Y
D.{X}
Y
22.
设A={1,2,3},B={1,2},
那么下列不是从
A到B的二元关系的是（
）
A.{<1,2>,<1,3>}
B.A×B
C.
D.{<1,1>,<2,1>,<3,1>}
23.
设R={,,,},
则domR和ranR分别是（
）
A.{a,b,c}和{b,c,d}
B.{a,b,d}和{b,c,d}
C.{a,b,c}和{b,c}
D.{a,b,d}和{b,c}
24.
下列关系中哪个能构成函数？
（
）
A.{|x,y∈N,x+y<10}
B.{|x,y∈N,x+y=20}
C.{|x,y∈R,|x|=y}
D.{|x,y∈Z,x=|y|}
25.设无向图如图所示，则（）是一条哈密顿回路
A．gabcdefgB．abcdefgC．cfabcdegD．efgabcd
26.
设G为n阶m条边的无向连通图，则下列
（
）是不可能的。
AmBm=n-1
Cm=n
Dm=n+1
27.
设A={1,2,3,4}，定义在A上的关系R={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<3,4>},则关系
R具有性质（
）
A.自反的
B.对称的
C.传递的
D.以上均不对
28.
设A={1,2,3}，定义在A上的关系R={<1,1>,<2,1>,<1,3>}，则R的对称闭
包是（
）
A.{<1,1>,<2,1>,<2,2>,<1,3>,<3,1>,<3,3>}
B.{<1,1>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<1,2>}
C.{<1,1>,<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,2>,<3,3>}
D.以上均不对
10
29.下列（）是满2元树
30.下列给出的符号串集合（
）不是前缀码。
A.{1,11,101,001,0011}
B.{1,01,001,000}
C.{0,10,110,1111}
D.{b,c,dd,dc,aba,abb,abc}
二、判断题
1.设R是集合A上的关系，若R1,R2是对称的，则R1R2也是对称的。
（）
2.设A=｛a，b，c，d｝，R是A上的一个二元关系，R={,,,<
c,c>}是自反的，是反对称的，是传递的。
（）
3.自然数集N上的关系“≤”（小于等于）是偏序关系，也是全序关系，同
时也是良序关系。
（）
4.
设R是整数集Z上的一个关系，如果R是拟序，则R是反对称的。
（
）
5.
在每个图中，所有顶点的度数等于边数的两倍。
（
）
6.
树是不包含回路的连通图，在（n，m）树中必有m=n+1（
）。
7.公式p?
q为重言式。
（）
8.
如果推理正确，则结论一定正确。
（
）
9.
若明天有超强台风，则明天放假。
明天不放假，
所以明天没有超强台风。
（
）
10.
在公式
x（F（x,y）
G（x,z））中，x为指导变元，F（x,y）
G（x,z）为x的辖域。
（
）
11.
公式（
xF（x）
yG（y））yG（y）是可满足式。
（
）
12.
设a、b各不相同，{{a},{b}}={{a,b}}。
（
）
13.
空集是所有集合的子集。
（
）
14.设R为二元关系，则R既可能不是对称的，也可能不是反对称的。
（）
15.
函数f:
NN,f（x）=（x）mod3,x除以3的余数,是满射，不是单射
（
）
16.
设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。
（
）
17.如果函数f:
X→Y是满射函数，而且是一对一函数，那么f:
X→Y一定存在逆函数。
（）
11
18.如果函数f:
X→Y是一一对应函数，那么f:
X→Y一定存在逆函数。
（）
19.设R是整数集Z上的一个关系，R={|x-y是偶数}，则R是等价关系。
（）
20.自然数集N上的关系“≤”（小于等于）是偏序关系，也是全序关系，同时也是良序关系。
（）
21.自然数集N上的关系“<”（小于）是偏序关系，也是全序关系，同时也是良序关系。
（）
22.自然数集N上的关系“整除”是偏序关系，也是全序关系，同时也是良序关系。
（）
23.
设R是整数集Z上的一个关系，如果R是拟序，则R是反对称的。
（
）
24.
在每个图中，所有顶点的度数等于边数的两倍。
（
）
25.
在任何有向图中，所以顶点的入度之和等于所有顶点出度之和。
（
）
三、填空题
1.
公式
（q→
p）∧
p的主合取范式为
。
2.
根据假言推理定律，（
AB）A
。
3.设M（x）:
x是男生,F（y）:
y女生,H（x,y）:
x比y力气大，则命题“不是所有的
男生都比所有的女生力气大”符合号形式为
。
4.
在一阶逻辑中将命题符号化时，若没有指明个体域，则使用
。
5.
公式
x（M（x）F（x））的前束范式是
。
6.
量词辖域收缩与扩张等值式x（A（x）B）
。
7.
设A={
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