导数与函数.docx

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导数与函数

导数与函数

1．函数的平均变化率

已知函数y＝f（x），我们把比值

＝

＝

，

称为函数f（x）从x1到x2的平均变化率

2．函数的瞬时变化率与函数的导数

函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率

是

＝

.瞬时变化率

就是函数y＝f（x）在x＝x0处导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）＝y′|x＝x0＝

＝

.

3．导数的物理意义

S＝S（t）是位移函数，则表示物体在t＝t0时刻的．

V＝V（t）是速度函数，则表示物体在t＝t0时刻的．

4．导数的几何意义

函数y＝f（x）在点x0处的导数f′（x0），

就是曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处的．曲线在点P处的切线方程为．

5．常用函数导数基本公式

（1）若f（x）＝C，则；

（2）若f（x）＝xn，（n∈Q*），则；

（3）若f（x）＝sinx，则；

（4）若f（x）＝cosx，则；

（5）若f（x）＝ex，则；

（6）若f（x）＝ax，则；

（7）若f（x）＝lnx，则f′（x）＝

；

（8）若f（x）＝logax，则f′（x）＝

.

6．导数运算法则

（1）和差的导数　[f（x）±g（x）]′＝；

（2）积的导数　[f（x）·g（x）]′＝；

（3）商的导数　[

]′＝

（g（x）≠0）．

1．（2010·惠州二模）曲线y＝lnx在点M（e,1）处切线的方程为________．

2．（2010·全国Ⅱ，7）若曲线y＝x2＋ax＋b在点（0，b）处的切线方程是x－y＋1＝0，则（　　）

A．a＝1，b＝1　　　　　　B．a＝－1，b＝1

C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1

3．设P为曲线C：

y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，

]，则点P横坐标的取值范围为（　　）

A．[－1，－

]B．[－1,0]

C．[0,1]D．[

，1]

4．已知曲线C：

y＝x3－2x2＋6x－3.

（1）求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；

（改编自人教A版22，习题1.2A组第6题）

已知函数y＝xlnx＋x2

（1）求这个函数的导数；

（2）求这个函数在点x＝1处的切线方程

巩固练习1

一、选择题

1．（2010·课标，4）曲线y＝x3－2x＋1在点（1,0）处的切线方程为（　　）

A．y＝x－1B．y＝－x＋1

C．y＝2x－2D．y＝－2x＋2

2．若函数f（x）＝x2＋bx＋c的图象的顶点在第四象限，则函数f′（x）的图象是（　　）

3．曲线y＝

x3＋x在点（1，

）处的切线与坐标轴围成的三角形面积是（　　）

A.

B.

C.

D.

4．若曲线y＝2x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则切线l的方程为（　　）

A．4x－y－2＝0B．x＋4y－9＝0

C．4x－y＋3＝0D．x＋4y＋3＝0

5．正弦曲线y＝sinx上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是（　　）

A．[0,

]∪[

，π）B．[0，π）

C．[

，

]D．[0，

]∪[

，

]

6．（2008·江苏）直线y＝

x＋b是曲线y＝lnx（x＞0）的一条切线，则实数b＝________.

7．（2009·福建）若曲线f（x）＝ax3＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是________．

8．（2008·海南、宁夏）设函数f（x）＝ax－

，曲线y＝f（x）在点（2，f

（2））处的切线方程为7x－4y－12＝0.

（1）求y＝f（x）的解析式

利用导数研究函数的单调性

1.函数单调的一个充分条件

设函数y＝f（x）在某个区间内可导，

2．函数单调的必要条件

设函数y＝f（x）在某个区间内可导，如果f（x）在该区间内，则在该区间内．

3．求函数单调区间的一般步骤

1．设f（x）、g（x）是R上的可导函数，f′（x）、g′（x）分别为f（x）、g（x）的导函数，且f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）＜0，则当a＜x＜b时，有（　　）

A．f（x）g（b）＞f（b）g（x）　　　

B．f（x）g（a）＞f（a）g（x）

C．f（x）g（x）＞f（b）g（b）

D．f（x）g（x）＞f（a）g（a）

2．（2009·广东卷）函数f（x）＝（x－3）ex的单调递增区间是

（　　）

A．（－∞，2）B．（0,3）

C．（1,4）D．（2，＋∞）

例1：

导函数图像与原函数图像的关系

已知函数y＝xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数）．下面四个图象中y＝f（x）的图象大致是（　　）

巩固练习2

一、选择题

1．函数f（x）＝1－xex的单调递增区间是（　　）

A．（－∞，－1）B．（－1,0）

C．（0,1）D．（－1，＋∞）

2．函数f（x）＝x3＋ax－3在区间（1，＋∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（　　）

A．[3，＋∞）B．[－3，＋∞）

C．（－3，＋∞）D．（－∞，－3）

3．函数y＝f（x）的图象过原点且它的导函数y＝f′（x）的图象如图所示的一条直线，则y＝f（x）图象的顶点在（　　）

A．第Ⅰ象限B．第Ⅱ象限

C．第Ⅲ象限D．第Ⅳ象限

4．已知f（x）＝x3－ax在[1，＋∞）上是单调增函数，则a的最大值是（　　）

A．0B．1

C．2D．3

5．f′（x）是f（x）＝

x3＋2x＋1的导函数，则f′（－1）的值是________．

6．函数f（x）＝xlnx（x＞0）的单调递增区间是________．

7．若函数f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为[－1,2]，则b＝________，c＝________.

8．已知函数f（x）是R上的偶函数，且在（0，＋∞）上有f′（x）＞0，若f（－1）＝0，那么关于x的不等式xf（x）＜0的解集是________．

9．（2009·北京）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋3bx＋c（b≠0），且g（x）＝f（x）－2是奇函数．

（1）求a，c的值；

利用导数去研究函数的极值与最值

1．函数极值的定义

一般地，设函数f（x）在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是，x0叫做．

如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说，x0叫做．极大值与极小值统称为极值．

2．判别f（x0）是极大、极小值的方法：

若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）的符号在x0两侧满足“”，则x0是，f（x0）是；如果f′（x）在x0两侧满足“”，则x0是的极小值点，f（x0）是．

3．求函数y＝f（x）极值的步骤：

（1）求导数；

（2）解方程；（3）检查f′（x）在方程f′（x）＝0的根的，．

4．求函数y＝f（x）在区间[a，b]上的最值的步骤：

（1）求y＝f（x）在（a，b）内的．

（2）将y＝f（x）的各极值与端点处的函数值f（a）、f（b）比较，其中，

1．函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则a，b的值是（　　）

A．a＝－11，b＝4

B．a＝－4，b＝11

C．a＝11，b＝－4

D．a＝4，b＝－11

2．（2009·天津）设函数f（x）＝

x－lnx（x＞0），则y＝f（x）（　　）

A．在区间（

，1），（1，e）内均有零点

B．在区间（

，1），（1，e）内均无零点

C．在区间（

，1）内有零点，在区间（1，e）内无零点

D．在区间（

，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点

3．已知函数f（x）＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M、m，则M－m＝________.

题型1：

利用导数求最值

例1：

求函数y＝

x3－4x＋4的极值．

例2：

已知a为实数，f（x）＝（x2－4）（x－a），若f（x）在x＝－1处取得极值，求f（x）在[－2,2]上的最大值和最小值．

例3：

已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f（x）在点x＝1处的切线为l：

3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f（x）有极值．

（1）求a，b，c的值；

（2）求y＝f（x）在[－3,1]上的最大值和最小值．

题型2：

导函数的综合运用

　（2009·北京文）设函数f（x）＝x3－3ax＋b（a≠0）．

（1）若曲线y＝f（x）在点（2，f（x））处与直线y＝8相切，求a，b的值；

（2）求函数f（x）的单调区间与极值点．

（2010·广州一模）已知函数f（x）＝－x3＋ax2＋bx＋c在（－∞，0）上是减函数，在（0,1）上是增函数，函数f（x）在R上有三个零点，且1是其中一个零点．

（1）求b的值；

（2）求f

（2）的取值范围；

（3）试探究直线y＝x－1与函数y＝f（x）的图象交点个数的情况，并说明理理．

巩固练习3

一、选择题

1．函数f（x）＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是（　　）

A．－2B．0

C．2D．4

2．已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为（b，c）则ad等于（　　）

A．2B．1

C．－1D．－2

3．已知函数f（x）＝x3－px2－qx的图象与x轴切于（1,0）点，则f（x）的极值为（　　）

A．极大值为

，极小值为0

B．极大值为0，极小值为－

C．极小值为－

，极大值为0

D．极小值为0，极大值为

4．设f（x）＝xlnx，若f′（x0）＝2，则x0＝（　　）

A．e2B．e

C.

D．ln2

5．（2008·广东）设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则（　　）

A．a＜－1B．a＞－1

C．a＞－

D．a＜－

6．如果函数y＝f（x）的图象如下图，那么导函数y＝f′（x）的图象可能是（　　）

二、填空题

7．（2009·辽宁）若函数f（x）＝

在x＝1处取极值，则a＝________.

8．已知函数y＝f（x）＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f（x）极大值与极小值之差为________．

10．（2010·江苏，8）函数y＝x2（x＞0）的图象在点（ak，ak2）处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．

三、解答题

11．（2008·全国Ⅱ）设a∈R，函数f（x）＝ax3－3x2.

（1）若x＝2是函数y＝f（x）的极值点，求a的值；

（2）若函数g（x）＝f（x）＋f′（x），x∈[0,2]，在x＝0处取得最大值，求a的取值范围．

12．（2010·全国Ⅱ，21）已知函数f（x）＝x3－3ax2＋3x＋1.

（1）设a＝2，求f（x）的单调区间；

（2）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围．