弦切角定理证明方法0.docx
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弦切角定理证明方法0
弦切角定理证明方法
篇一:
弦切角定理及推论
弦切角定义
顶点在圆上,一边和圆相交,另
图示
一边和圆相切的角叫做弦切角。
(弦切角就是切线与弦所夹的角)如右图所示,直线pT切圆o于点c,bc、Ac为圆o的弦,∠Tcb,∠TcA,∠pcA,∠pcb都为弦切角。
弦切角定理弦切角定理:
弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明:
证明一:
设圆心为o,连接oc,ob,。
∵∠Tcb=90-∠ocb∵∠boc=180-2∠ocb∴,∠boc=2∠
Tcb(定理:
弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半)∵∠boc=2∠cAb(圆心角等于圆周角的两倍)∴∠Tcb=∠cAb(定理:
弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)证明已知:
Ac是⊙o的弦,Ab是⊙o的切线,A为切点,弧是弦切角∠bAc所夹的弧.求证:
(弦切角定理)证明:
分三种情况:
(1)圆心o在∠bAc的一边Ac上∵Ac为直径,Ab切⊙o于A,∴弧cmA=弧cA∵为半圆,∴∠cAb=90=弦cA所对的圆周角
b点应在A点左侧
(2)圆心o在∠bAc的内部.过A作直径AD交⊙o于D,若在优弧m所对的
劣弧上有一点e那么,连接ec、eD、eA则有:
∠ceD=∠cAD、∠DeA=∠DAb∴∠ceA=∠cAb∴(弦切角定理)
(3)圆心o在∠bAc的外部,过A作直径AD交⊙o于D那么∠cDA+∠cAD=∠cAb+∠cAD=90∴∠cDA=∠cAb∴(弦切角定理)
弦切角推论
推论内容
若两弦切角所夹的弧相等,则这两个弦切角也相等
应用举例
例1:
如图,在Rt△Abc中,∠c=90,以Ab为弦的⊙o与Ac相切于点A,∠cbA=60°,Ab=a求bc长.解:
连结oA,ob.∵在Rt△Abc中,∠c=90∴∠bAc=30°∴bc=1/2a(RT△中30°角所对边等于斜边的一半)
例2:
如图,AD是ΔAbc中∠bAc的平分线,经过点A的⊙o与bc切于点D,与Ab,Ac分别相交于e,F.求证:
eF∥bc.证明:
连DF.AD是∠bAc的平分线∠bAD=∠DAc∠eFD=∠bAD∠eFD=∠DAc⊙o切bc于D∠FDc=∠DAc∠eFD=∠FDceF∥bc
例3:
如图,ΔAbc内接于⊙o,Ab是⊙o直径,cD⊥Ab于D,mn切⊙o于c,求
证:
Ac平分∠mcD,bc平分∠ncD.证明:
∵Ab是⊙o直径∴∠Acb=90∵cD⊥Ab∴∠AcD=∠b,∵mn切⊙o于c∴∠mcA=∠b,∴∠mcA=∠AcD,即Ac平分∠mcD,同理:
bc平分∠ncD.
篇二:
弦切角定理导学案
弦切角定理导学案
【学习目标】:
1.理解弦切角的概念,掌握弦切角定理及其推论,能运用它们解决有关问题。
2.通过弦切角定理的证明,了解分情况证明数学命题的思想和方法。
3.体会分类、转化的思想方法。
【学习重点】:
弦切角的概念,弦切角定理及其推论。
【学习难点】:
弦切角定理的运用。
【自主学习】:
1.弦切角的定义:
__________________________.2.弦切角定理:
弦切角等于它所夹的弧所对的____________________.3.下面各图形中的角是弦切角的是(填写正确的序号).c
A
A
A
4.Ab切⊙o于A点,圆周被Ac所分成的优弧与劣弧之比为3∶1,则夹劣弧的弦切角?
bAc?
_______.
5.如图,cD是⊙o的直径,Ae切⊙o于点b,连接Db,
若?
D?
20?
,则?
Dbe的大小为()
A.20?
b.40?
c.60?
D.70?
【例题应用】:
例1如图,Ac与△AbD的外接圆⊙o相切于A.
(1)若弦切角∠bAc=30o,则Ab=_________,∠Aob=_________,∠ADb=_________;
(2)若已知⊙
o的半径为
3cm,Ab长为
?
cm,求弦切角∠bAc的度数。
例2.已知如图,?
1?
?
2,eF切圆于点D,求证:
eF∥bc。
例3.已知,如图pA,pb分别与圆o相切于点A,b,Ac是圆o的直径,求证:
?
Apb?
2?
bAc.
【达标检测】
1.如图1,cD是⊙o的切线,T为切点,A是上的一点,若∠TAb=100°,
则∠bTD的度数为()
A.20°b.40°c.60°D.80°
(1)
(2)
2.如图2,Ab是⊙o的直径,eF切⊙o于点c,AD⊥eF于点D,AD=2,Ab=6,则Ac的长为()
A.2b.3c
.D.4
3.如图,⊙o和⊙o′相交于A,b两点,过A作两圆的切线分别交两圆于c,D两点,连接Db并延长交⊙o于点e.证明:
(1)Ac·bD=AD·Ab;
(2)Ac=Ae.
【课堂小结】:
【作业】
课本p16.12
篇三:
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
以及与圆有关的比例线段
[学习目标]1.切线长概念
切线长是在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长度,“切线长”是切线上一条线段的长,具有数量的特征,而“切线”是一条直线,它不可以度量长度。
(pA长)2.切线长定理
对于切线长定理,应明确
(1)若已知圆的两条切线相交,则切线长相等;
(2)若已知两条切线平行,则圆上两个切点的连线为直径;(3)经过圆外一点引圆的两条切线,连结两个切点可得到一个等腰三角形;(4)经过圆外一点引圆的两条切线,切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补;(5)圆外一点与圆心的连线,平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角:
顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角。
直线Ab切⊙o于p,pc、pD为弦,图中几个弦切角呢?
(四个)4.弦切角定理:
弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角:
圆周角,圆心角,弦切角,圆内角,圆外角。
6.遇到圆的切线,可联想“角”弦切角,“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定⊙o中,Ab、cD为弦,交pA·pb=pc·pD.连结Ac、bD,证:
理于p.△Apc∽△Dpb.
相交弦定理的推论
⊙o中,Ab为直径,cD⊥Abpc=pA·pb.于p.
(特殊情况)
1
2
用相交弦定理.
切割线定理⊙o中,pT切⊙o于T,pT=pA·pb割线pb交⊙o于A
2
连结TA、Tb,证:
△pTb∽△pAT
切割线定理推论
pb、pD为⊙o的两条割线,pA·pb=pc·pD交⊙o于A、c
过p作pT切⊙o于T,用两次切割线定理
(记忆的方法方法)
圆幂定理
⊙o中,割线pb交⊙o于p'c·p'D=r-延长p'o交⊙o于m,延
2
A,cD为弦op'长op'交⊙o于n,用相交
22
pA·pb=op-r弦定理证;过p作切线用r为⊙o的半径切割线定理勾股定理证
2
8.圆幂定理:
过一定点p向⊙o作任一直线,交⊙o于两点,则自定点p到两交点的两条线段之积为常数||(R为圆半径),因为叫做点对于⊙o的幂,所以将上述定理统称为圆幂定理。
【典型例题】
例1.如图1,正方形AbcD的边长为1,以bc为直径。
在正方形内作半圆o,过A作半圆切线,切点为F,交cD于e,求De:
Ae的值。
图1
解:
由切线长定理知:
AF=Ab=1,eF=ce设ce为x,在Rt△ADe中,由勾股定理∴
,
,
2
例2.⊙o中的两条弦Ab与cD相交于e,若Ae=6cm,be=2cm,cD=7cm,那么ce=_________cm。
图2
解:
由相交弦定理,得Ae·be=ce·De
∵Ae=6cm,be=2cm,cD=7cm,,∴
,
即∴ce=3cm或ce=4cm。
故应填3或4。
点拨:
相交弦定理是较重要定理,结果要注意两种情况的取舍。
例3.已知pA是圆的切线,pcb是圆的割线,则解:
∵∠p=∠p∠pAc=∠b,∴△pAc∽△pbA,∴
,
∴。
又∵pA是圆的切线,pcb是圆的割线,由切割线定理,得
∴
,
即,故应填pc。
点拨:
利用相似得出比例关系式后要注意变形,推出所需结论。
________。
3
例
4.如图3,p是⊙o外一点,pc切⊙o于点c,pAb是⊙o的割线,交⊙o于A、b两点,如果pA:
pb=1:
4,pc=12cm,⊙o的半径为10cm,则圆心o到Ab的距离是___________cm。
图3
解:
∵pc是⊙o的切线,pAb是⊙o的割线,且pA:
pb=1:
4∴pb=4pA又∵pc=12cm由切割线定理,得∴∴
,
∴
∴pb=4×6=24(cm)∴Ab=24-6=18(cm)
设圆心o到Ab距离为dcm,由勾股定理,得
故应填。
例5.如图4,Ab为⊙o的直径,过b点作⊙o的切线bc,oc交⊙o于点e,Ae的延长线交bc于点D,
(1)求证:
;
(2)若Ab=bc=2厘米,求ce、cD的长。
图4
点悟:
要证证明:
(1)连结be
,即要证△ceD∽△cbe。
4
(2)
。
又∵
,
∴厘米。
点拨:
有切线,并需寻找角的关系时常添辅助线,为利用弦切角定理创造条件。
例6.如图5,Ab为⊙o的直径,弦cD∥Ab,Ae切⊙o于A,交cD的延长线于e。
图5
求证:
证明:
连结bD,∵Ae切⊙o于A,∴∠eAD=∠AbD
∵Ae⊥Ab,又Ab∥cD,∴Ae⊥cD
∵Ab为⊙o的直径∴∠ADb=90°
∴∠e=∠ADb=90°∴△ADe∽△bAD∴
∴
∵cD∥Ab
∴AD=bc,∴
5