华师大版第二十二章复习一元二次方程综合复习.docx
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华师大版第二十二章复习一元二次方程综合复习
第二十二章复习一元二次方程综合复习
【本章知识框架】
【本章重点】
1•一元二次方程的定义
一元二次方程有三个特点：
（1）只含有一个未知数；
（2）未知数的最高次数是2;（3）是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理.如果能整理为ax2bxc0（a工0）的形式，则这个方程就为一元二次方程.
2.
0（a工0）叫做一元二次方程的一般形式，特别注意二次即一元二次方程可以
2
xbx0（a工0）都
一元二次方程的一般形式
我们把ax2bxc
项系数一定不为0,b、c可以为任意实数，包括可以为0，
没有一次项，常数项.ax20（a工0），ax2c0（a工0），为一元二次方程.
3.—元二次方程的解法
一元二次方程的解法有四种：
（1）直接开平方法；
（2）因式分解法；（3）配方法；（4）公式法.要根据方程的特点灵活选择方法，其中公式法是通法，可以解任何一个一元二次方程.
4.一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式为b24ac.
△>0方程有两个不相等的实数根.
△=0方程有两个相等的实数根.
△<0方程没有实数根.
上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边.
5.—元二次方程根与系数的关系
如果一元二次方程ax2bxc0（a工0）的两个根是Xi、x2，那么
bc
xiX2-，xiX2-
aa.
6.解应用题的步骤
⑴分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；
（2）设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数;
（3）找出相等关系，并用它列出方程；
⑷解方程求出题中未知数的值；
（5）检验所求的答数是否符合题意，并做答.
【解题思想】
1.转化思想
转化思想是初中数学最常见的一种思想方法.
运用转化的思想可将未知数的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为
简单的问题.在本章中，将解一元二次方程转化为求平方根问题，将二次方程利用因式分解转化为一次方程等.
2.从特殊到一般的思想
从特殊到一般是我们认识世界的普遍规律，通过对特殊现象的研究得出一般结论，如从用直接开平方法解特殊的问题到配方法到公式法，再如探索一元二次方程根与系数的关系等.
3.分类讨论的思想
一元二次方程根的判别式体现了分类讨论的思想.
【经典例题精讲】
1.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽
视二次项系数不为0.
2.解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用
直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法.
3.一元二次方程ax2bxc0（a工0）的根的判别式正反都成立.利用其可以
（1）不解方程判定方程根的情况；
（2）根据参系数的性质确定根的范围；（3）解与根有关的证明题.
4.一元二次方程根与系数的应用很多：
（1）已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；
（2）已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；（3）已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程.
【中考热点】
本章的应用性较强，本章内容一直是命题的热点，填空题、选择题有，解答题也有，单独出现或和其他内容结合出现.
2.
3.
4.
【历届中考题目】
一、填空题
1.（2003•吉林）方程X22x30的解是
X2X1
（2002•江苏泰州）如果X1,X2是方程X24X30的两根，那么X1x2
32—X
（2002•杭州）已知2是关于X的方程2
值为
（2003•大连）某房屋开发公司经过几年的不懈努力，开发建设住宅面积
2a0
的一个解，贝U2a-1的
由2000年4万平方米，到2002年的7万平方米.设这两年该房屋开发公司建设
住宅面积的年平均增长率为X，则可列方程为.
2
5.（2003•四川）已知关于X的一元二次方程8X（m1）xm70有两个
负数根，那么实数m的取值范围是.
6.（2003•青岛）九年义务教育三年制初级中学教科书《代数》第三册第
页的例2是这样的：
“解方程X4
52
50”.这是一个一元四次方程，根据
242
y，那么xy,于是原方程可变为
1,y25.当y=1时，X21X=±
恵.所以原方程有四个根：
X3賦X4罷
（1）在由原方程得方程①的过程中，利用
体现了转化的数学思想.
222
⑵解方程（Xx）4（xx）120，若设yx
6x2
该方程的特点，它的解法通常是：
设x
y6y50①，解这个方程得：
y1
1;当y=5时，X25,•••x
X11X2
X4
法达到降次的目的,
x，则原方程可化为
22
7.（2003•泰安）已知实数X、y满足x4xy4y
的值为.
8.（2003•泰安）如图22-1,是2002年8月北京第24届国际数学家大会
会标，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52
和4，则直角三角形的两条直角边的长分别为.
X2y60，则X+2y
9.（2003•济宁）关于X的二次方程X2k2x4k30的两个实数根为
X1、X2，如果（Xl1）（X2D1，那么k=.
、选择题
2
1.（2002•泰州）k为实数，则关于x的方程x况是（）
A.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
2.（2002•杭州）用配方法将二次三项式
A.（a2）21
C.（a2）21
（2k1）xk10的根的情
B.
a2
有两个相等的实数根
D.无法确定
4a5变形的结果是（）
B.（a2）21
D.（a2）21
2
3.（2002•桂林）如果方程x2xm0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（）
A.m<1B.m>1
C.m<-1D.m>—1
4.（2003•重庆）下列一元二次方程中，没有实数根的是
B.
2
A.x2x10
C.x242x10
5.（2003•威海）对于一元二次方程x
（）
A.若c=0，则方程必有一个根为0
B.若c<0,则方程必有两个正数根
C.若c>0，bvO,则方程必有两个正数根
D.若b>c+1,则方程有一个根大于—1,一个根小于—1
0
D.
bxc
2
6.（2003•青岛）已知
10,21
P的值为（）
A.2
C.—1
X22422
3x24x2
0，下面的结论错误的是
且aMp，贝Uap+a+
B.—2
D.0
三、解答题
2
x的方程（k1）x
等的实数根X1、x2.
（1）求k的取值范围.
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数?
解：
（1）根据题意，得
（2k3）24（k1）（k1）
4k212k94k24
=—12k+13>0，
1.（2003•潍坊）已知关于
（2k
3）xk10有两个不相
k13所以，12.
k13
所以，当12时，方程有两个不相等的实数根.
⑵存在.
如果方程的两个实数根互为相反数，则
2k3C
x1x20
k1，
k2
解得2，
检验知：
0
的解.
2k3
k1
k3
方程的两实数根X1与X2互为相反数.
所以，2时，
当你读了上面的解答过程后，请判断是否有错误？
如果有，请指出错误之处，并直接写出正确的答案.
22
2.（2003•菏泽）已知方程x（2m1）xm20的两个实数根的平方和
等于11,求m的值.
n
y—
3.（2003•滨州）设（a，b）是一次函数y=（k—2）x+m与反比例函数x的
图象的交点，且a，b是关于x的一元二次方程kx2（k3）x（k3）0的两个
不相等的实数根，其中k为非负数，mn为常数.
（1）求k的值；
⑵求一次函数与反比例函数的解析式.
4.（2003•淄博）下面是一位同学做的一道练习题.
（2）这道题还可以怎样解？
请写出你的解法.
参考答案
【历届中考题目】
1.X13,X21
10
2.T
3.5
4.4（1X）27
5.m>7
2
6.换元法，y4y120
7.—3或2
8.4,6
9.—3
1.A2.A3.A4.C5.C6.B
1.
（1）中忽视k—1^0的情况，当k—1=0时，方程为一元一次方程，只有一个实数根.
正确答案为：
当k罟,
k
（2）中的实数k不存在，当
应为：
且kM1时，方程有两个不相等的实数根.
3
2时，判别式△=—5<0,方程没有实数根.
2.
不存在实数k,使方程的两个实数根互为相反数解：
设方程的两根为X1,X2,由韦达定理，得
2
X1X2（2m1）,X1X2m
22
又X1X2
2
（x1X2）2x1x2[（2m
22
1）]22（m22）11
2
整理，得m2m3
解之，得m13m2
由二次方程有两个实数根，
（2m1）24（m22）4m90
3•解：
（1）V关于
9m—解之，得4.
故n=—3不合题意应舍去.
取m=1,即m=1为所求.
2
X的方程kX2（k3）X（k3）
0有两个不相等的实数根,
4（k3）24k（k3）
解得k<3,且k工0.
又V—次函数y=（k—2）x+m存在且
二k=1.
⑵Vk=1,
•••原方程可变形为X24x20.
•••a+b=4,ab=—2.
又当k=1时，一次函数y=—x+m过点（a,b）,
•-a+b=m
••m=4.
同理可得n=—2.
k为非负整数,
2
y—故所求的一次函数与反比例函数的解析式分别为y=—X+4与X.
4.答：
（1）该同学的解法存在问题.
问题出在没有把求出的解代入根的判别式进行检验.
P
因为，当q
1
2时，方程
而当
1
2
2时，方程
x2
所以，P、
0
0时，方程X20，此时△=0；
x2
0，此时△>0,符合题意.
，此时△>0,
P0P
q的值只能取q0；q
与方程有等根不符.
1
2
（2）解：
由根与系数的关系，得
P
pq
P
解得q
分别对P,
q的两组值对应的方程判别式检验，知这两组值符合题意要求.
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