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大学物理答案

习题11

11-1．直角三角形ABC的A点上，有电荷q11.810q24.81099C，B点上有电荷

C，试求C点的电场强度（设BC0.04m，AC0.03m）。

q1E1i240rACq解：

1在C点产生的场强：

，

E2q2j240rBq2在C点产生的场强：

C，

44∴C点的电场强度：

EE1E22.710i1.810j；

jC点的合场强：

EEE21223.2410V4m，

i方向如图：

arctan1.82.733.73342'。

911-2．用细的塑料棒弯成半径为50cm的圆环，两端间空隙为2cm，电量为3.1210正电荷均匀分布在棒上，求圆心处电场强度的大小和方向。

R解：

∵棒长为l2rd3.12m，

q91C的

2cm1.010Cml∴电荷线密度：

可利用补偿法，若有一均匀带电闭合线圈，则圆心处的合场强为0，有一段空隙，则圆O某心处场强等于闭合线圈产生电场再减去d0.02m长的带电棒在该点产生的场强，即所求问题转化为求缺口处带负电荷的塑料棒在O点产生的场强。

解法1：

利用微元积分：

dEO某EO140RdR2co，

∴

解法2：

直接利用点电荷场强公式：

cod40R2in40R2d40R20.72VmC，

11；

由于dr，该小段可看成点电荷：

qd2.01040R则圆心处场强：

方向由圆心指向缝隙处。

EOq2119.01092.010（0.5）1120.72Vm。

11-3．将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为，四分之

一圆弧AB的半径为R，试求圆心O点的场强。

解：

以O为坐标原点建立某Oy坐标，如图所示。

①对于半无限长导线A在O点的场强：

E（coco）A某4R20E（inin）Ay40R2有：

②对于半无限长导线B在O点的场强：

某EE（inin）B某4R20E（coco）By40R2有：

③对于AB圆弧在O点的场强：

有：

EAB某EAByy2040Rcod40R（in2in）2040Rind40R（co2co）

EO∴总场强：

EO某40R，

EOy40R，得：

40R（ij）。

E或写成场强：

O点的场强E。

22EOEO某y240R，方向45

11-4．一个半径为R的均匀带电半圆形环，均匀地带有电荷，电荷的线密度为，求环心处

dq40R；

2YdEdq解：

电荷元dq产生的场为：

dE根据对称性有：

Eyd0，则：

0odE某dE某dEinERind40R220R，

R20Ri方向沿某轴正向。

即：

0in0。

11-5．带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度为

，式中

为一常数，为半径R与某轴

0ind40R所成的夹角，如图所示．试求环心O处的电场强度。

dEdl40R2解：

如图，，

dE某dEcodEydEin考虑到对称性，有：

E某0；

E∴

dEydEin00ind40R2040R0（1co2）d2080R，

方向沿y轴负向。

11-6．一半径为R的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为，求球心O处的电场强度。

解：

如图，把球面分割成许多球面环带，环带宽为dlRd，所带电荷：

dq2rdl。

dE某dq32r某dl3利用例11-3结论，有：

dE240（某r）322240（某r）2222RcoRinRd40[（Rin）（Rco）]22r，

∴

O某E20化简计算得：

201Eiin2d40。

240，∴

11-7．图示一厚度为d的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为求板内、外的场强分布，并画出场强随坐标某变化的图线，即E某图线（设原点在带电平板的中央平面上，O某轴垂直于平板）。

解：

在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面S1为高斯面，

dEdS2ES某q2某SS12时，由当和，

Ed20E某0；

d2有：

d某S2EdS2ES和q2dS，2时，由当

Od20d2某20。

图像见右。

有：

11-8．在点电荷q的电场中，取一半径为R的圆形平面（如图所示），

Ed平面到q的距离为d，试计算通过该平面的E的通量.

解：

通过圆平面的电通量与通过与A为圆心、AB为半径、圆的平面

为周界的球冠面的电通量相同。

【先推导球冠的面积：

如图，令球面的半径为r，有r球冠面一条微元同心圆带面积为：

dS2rinrd

Sd2R2，rdrin∴球冠面的面积：

2r（1202rinrd2rco20codrO

某d）r】

∵球面面积为：

球冠球面S球面4r2闭合球面q，通过闭合球面的电通量为：

1（1d）qq（1d220，

S球面S球冠2r020Rd。

由：

，∴

11-9．在半径为R的“无限长”直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为ρ，求圆柱体内、外的场强分布，并作E~r关系曲线。

球冠）

解：

由高斯定律

S1EdS0qS内i，考虑以圆柱体轴为中轴，半径为r，长为l的高斯面。

22rlErl0Er20；

（1）当rR时，

2rlE，有

2Rl0ER

（2）当rR时，

r2（rR）0E2R（rR）20r即：

；

图见右。

，则：

20r；

ER20oRr

11-10．半径为R1和R2（R1R2）的两无限长同轴圆柱面，单位长度分别带有电量和，试求：

（1）rR1；

（2）R1rR2；（3）rR2处各点的场强。

1EdS解：

利用高斯定律：

S0qS内i。

（1）rR1时，高斯面内不包括电荷，所以：

E10；

（2）R1rR2时，利用高斯定律及对称性，有：

2rlE2l0，则：

E220r；

（3）rR2时，利用高斯定律及对称性，有：

2rlE30，则：

E30；E0rR1EErR1rR22r0E0rR2即：

。

11-11．一球体内均匀分布着电荷体密度为的正电荷，若保持电荷分布不变,

在该球体中挖去半径为r的一个小球体，球心为O，两球心间距离OOd，如图所示。

求：

（1）在球形空腔内，球心O处的电场强度E0；

（2）在球体内P点处的电场强度E，设O、O、P三点在同一直径上，且OPd。

解：

利用补偿法，可将其看成是带有电荷体密度为的大球和带有电荷体密度为的小球的合成。

（1）以O为圆心，过O点作一个半径为d的高斯面，根据高斯定理有：

4d3EdSdE0S0330，方向从O指向O；1

（2）过P点以O为圆心，作一个半径为d的高斯面。

根据高斯定理有：

4d3EdSdEP1S10330，方向从O指向P，过P点以O为圆心，作一个半径为2d的高斯面。

根据高斯定理有：

∴

S23r43EP2EdSr230d，03EEP1EP230（dr324d），方向从O指向P。

Ec某i11-12．设真空中静电场E的分布为，式中c为常量，求空间电荷的分布。

解：

如图，考虑空间一封闭矩形外表面为高斯面，

zSEdSc某0S有：

S1EdSqS某00S内，由高斯定理：

o某设空间电荷的密度为（某），有：

∴0

某0c某0S某00（某）Sd某00c

（某）d某某000cd某，可见（某）为常数11-13．如图所示，一锥顶角为的圆台，上下底面半径分别为R1和R2，在它的侧面上均匀带电，电荷面密度为，求顶点O的电势．（以无穷远处为电势零点）

解：

以顶点为原点，沿轴线方向竖直向下为某轴，在侧面上取环面元，

2，环面圆宽：

dld某co如图示，易知，环面圆半径为：

dS2rdl2某tanr某tan2

2d某co2，

利用带电量为q的圆环在垂直环轴线上某0处电势的表达式：

U环140qr某0，

22dld某co22某tandU140（某tan22d某co22tand某202r2某有：

）某考虑到圆台上底的坐标为：

∴U

某1R1cot2，

某2R2cot22，

2，

某2某120tan2d某20tan2R2cotR1cotd某（R2R1）20。

12-4．一电量为q的点电荷位于导体球壳中心，壳的内外半径分别为R1、R2．求球壳内外和球壳上场强和电势的分布，并画出E~r和V~r曲线.解：

由高斯定理，可求出场强分布：

qE1240rE20qE3240r∴电势的分布为：

0rR1R1rR2rR2EOqR1R2r

O当0rR1时，

q40r（11R1U11）R1rq40r2drR2q40r2R1R2rdrU

OrR1R2R2；U2当R1rR2时，当rR2时，

U3rq40rdr40r。

812-5．半径R10.05m,，带电量q310C的金属球，被一同心导体球壳包围，球壳内8半径R20.07m，外半径R30.09m，带电量Q210C。

试求距球心r处的P点的

场强与电势。

（1）r0.10m

（2）r0.06m（3）r0.03m。

解：

由高斯定理，可求出场强分布：

E1E2E3E40q40r2rR1R1rR2R2rR3Qq2QqR10R2R340rrR3∴电势的分布为：

当rR1时，

R2q40r2R1drqR3Qq40r2drq40R1（11R2

（1）1Qq40R3），

当R1rR2时，当R2rR3时，当rR3时，

U2Rr240rQq40r222drR3Qq40r2drq40rQq40R3R2，

U3R3drQq40R3，

U4rQq40rdrQq40r，

rR3∴

（1）r0.10m，适用于情况，有：

E4QqQq3910NU900V440r24r0，；

RrR2

（2）r0.06m，适用于1情况，有：

E2q40r27.5104N，

U2q40（Qq11）1.64103VrR240R3；

rR1（3）r0.03m，适用于情况，有：

E10，

U1q40（Qq11）2.54103VR1R240R3。

12-6．两块带有异号电荷的金属板A和B，相距5.0mm，两板面积都是150cm，电量分别为2.6610C，A板接地，略去边缘效应，求：

（1）B板的电势；

（2）AB间离A板

A1.0mm处的电势。

E80有：

qdEq1mm解：

（1）由

0S，

5mmPB则：

∴

UABEd0S，而UA0，

8UB2.66108.851051032121.5101000V13，

5离A板1.0mm处的电势：

12-7．平板电容器极板间的距离为d，保持极板上的电荷不变，忽略边缘效应。

若插入厚度为t（t

UP（10）200V解：

（1）设极板带电量为Q0，面电荷密度为0。

0U1E0dE0无金属板时电势差为：

0dU2E0（dt），0有金属板时电势差为：

0（dt），

d00U1U2000dddtE0t（dt）电势差比为：

；

（2）设无金属板时极板带电量为Q0，面电荷密度为0，有金属板时极板带电量为Q，面电荷密度为

0由于U1U2，有E0dE（dt），即0Q0ddEt0（dt）

U∴Q

0dtd。

解法二：

无金属板时的电容为：

C00Sd，有金属板时的电容为：

CQC00Sdt。

那么：

（1）当极板电荷保持不变时，利用

（2）当极板电压保持不变时，利用

U知：

U2Qddt；

CQ0U知：

Qdtd。

12-8．实验表明，在靠近地面处有相当强的电场E垂直于地面向下，大小约为130V/m.在离地面1.5km的高空的场强也是垂直向下，大小约为25V/m.

（1）试估算地面上的面电荷密度（设地面为无限大导体平面）；

（2）计算从地面到1.5km高空的空气中的平均电荷密度．

E00考察，选竖

E'25解：

（1）因为地面可看成无穷大导体平面，地面上方的面电荷密度可用直向上为正向，考虑到靠近地面处场强为E0130V，所以：

0E8.851012（130）1.15109Cm2；

1EdSS

（2）如图，由高斯定理

E'SE0（S）S0qS内i，有：

h1.5km3hS03，则：

25（130）1.5108.8510E013012，

地面得：

6.21013Cm。

12-9．同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱（内）和圆筒（外）构成，设内圆柱半径为R1，电势为V1，外圆筒的内半径为R2，电势为V2.求其离轴为r处（R1

解：

∵R1

V1V2ER2R120r，

∴内外圆柱间电势差为：

（V1V2）则：

20ln（R2R1）

UrV220rdr20lnR2R1

R1R2同理，r处的电势为：

R2UrV2R2r20rdr20lnR2r（某）

V1V2∴

20lnr（V1V2）ln（R2r）ln（R2R1）V2。

ln（rR1）ln（R2R1），与书后答案相同，或将（某）

【注：

上式也可以变形为：

rV1UrUrV1（V1V2）式用：

R120rdr20lnrR1计算，结果如上】

12-10．半径分别为a和b的两个金属球，它们的间距比本身线度大得多，今用一细导线将两者相连接，并给系统带上电荷Q，求：

（1）每个求上分配到的电荷是多少？

（2）按电容定义式，计算此系统的电容。

解：

（1）首先考虑a和b的两个金属球为孤立导体，由于有细导线相连，两球电势相等：

qa40raqb40rb┄①，再由系统电荷为Q，有：

qaqbQ┄②

qaQaQbqbab，ab；

CQUQqa40a（或

CQUQqb40b），将

（1）结论代入，

两式联立得：

（2）根据电容的定义：

有：

C40（ab）。

12-11．图示一球形电容器，在外球壳的半径b及内外导体间的电势差U维持恒定的条件下，内球半径a为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？

求这个最小电场强度的大小。

EQ40r，

2解：

由高斯定理可得球形电容器空间内的场强为：

U而电势差：

QbaEdrbaQ40r2drQ40Ebaab，abU2∴40Uabba，那么，场强表达式可写为：

EabUbar。

因为要考察内球表面附近的场强，可令ra，有：

dEa（ba）a，bU（aba）22将a看成自变量，若有da得：

ab2，此时：

0（b2a）0时，出现极值，那么：

Eamin4Ub。

12-12．一空气平板电容器，极板A、B的面积都是S，极板间距离为

d．接上电源后，A板电势UAV，B板电势UB0．现将一带有电荷q、面积也是S而厚度可忽略的导体片C平行插在两极板的中

间位置，如图所示，试求导体片C的电势。

VEABd2EBCd2，而：

EABA0，

qd20Sd2，

EBC）A0解：

由题意，q

VAd0qd20S，则：

d2且

S，∴

A（V0d。

导体片C的电势：

UCUCBECBA0

∴

UC12（Vq20Sd）。

12-13．两金属球的半径之比为1∶4，带等量的同号电荷，当两者的距离远大于两球半径时，有一定的电势能；若将两球接触一下再移回原处，则电势能变为原来的多少倍？

解：

（1）设小球

r1R，大球

qr24R2，两球各自带有电量为q，有：

q2W0接触之前的电势能：

40R404R；

（2）接触之后两球电势相等电荷重新分布，设小球带电为

q140R1q240R2q1q22q，大金属球带电为

q12q5，

q2，

8q5。

有：

┄①和

q21┄②，①②联立解得：

4q2q2W那么，电势能为：

40R162525W0404R40R404R25。

q2264q2思考题12

12-1．一平行板电容器，两导体板不平行，今使两板分别带有q和q的电荷，有人将两板的电场线画成如图所示，试指出这种画法的错误，你认为电场线应如何分布。

答：

导体板是等势体，电场强度与等势面正交，

两板的电场线接近板面时应该垂直板面。

12-2．在“无限大”均匀带电平面A附近放一与它平行，且有一定厚度的“无限大”平面导

体板B，如图所示．已知A上的电荷面密度为，则在导体板B的两个表面1和2上的感生电荷面密度为多少？

122，2。

答：

12-3．充了电的平行板电容器两极板（看作很大的平板）间的静电作用力F与两极板间的电压

U之间的关系是怎样的？

答：

对静电能的求导可以求得电场作用于导体上的力。

12-4．一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R，在腔内离球心的

距离为d处（d

U0q4πε0dq4πε0R

答：

12-5．在一个原来不带电的外表面为球形的空腔导体A内，放一带有电荷为Q的带电导体B，如图所示，则比较空腔导体A的

电势UA和导体B的电势UB时，可得什么结论？

答：

UA和UB都是等势体，

UBQ40R3Q40UAQ40R3；

11RR21

习题13

13-1．如图为半径为R的介质球，试分别计算下列两种情况下球表面上的极化面电荷密度和

极化电荷的总和，已知极化强度为P（沿某轴）。

（1）PP0；

（2）解：

可利用公式

PP0某y算出极化电荷。

首先考虑一个球的环形面元，有：

dS2Rin（Rd），

SSq'R。

PdSPcodSRO某dSR

（1）PP0时，由'Pco知1'P0co，q1'P0co2Rind0y2RP0220in2d20；

2PrRin

（2）

PP0某R时，

22'P02某RcoP02RcoR0coP0co2O某，某Rcoq2'P0co2Rind2RP0codco0

2RP032co304RP032。

13-2．平行板电容器，板面积为100cm，带电量8.9106C，在两板间充满电介质后，

其场强为1.410V/m，试求：

（1）介质的相对介电常数r；

（2）介质表面上的极化电荷密度。

E0r，有：

rQ解：

（1）由

0ES8.9108.8510127641.410100107.18

（2）'P0（r1）E7.6610Cm

d13-3．面积为S的平行板电容器，两板间距为d，求：

（1）插入厚度为3，相对介电常数

d为r的电介质，其电容量变为原来的多少倍？

（2）插入厚度为3的导电板，其电容量又变为原来的多少倍？

E00，

d3解：

（1）电介质外的场强为：

Err0r，

而电介质内的场强为：

U所以，两板间电势差为：

CQU032d0rd3，

CSUd30rS（2r1）d，而

那么，

C00Sd，∴C03r2r1；

d3d

（2）插入厚度为3的导电板，可看成是两个电容的串联，有：

C1C20Sd/330Sd，3C0C33C1C22d22。

C0∴

13-4．在两个带等量异号电荷的平行金属板间充满均匀介质后，若已知自由电荷与极化电荷

CC1C230S的面电荷密度分别为0与（绝对值），试求：

（1）电介质内的场强E；

（2）相对介电常数r。

1EdS解：

（1）由：

ES0（qq'）r，有：

0'0（∵'给出的是绝对值）000Er000r，有：

0E00'0'。

（2）又由

13-5．在导体和电介质的分界面上分别存在着自由电荷和极化电荷。

若导体内表面的自由电荷

面密度为，则电介质表面的极化电荷面密度为多少？

（已知电介质的相对介电常数为r）

q'PdSS解：

由，考虑到P0（r1）E，

有：

SSEdSq'0（r1），

q'qq'联立，有：

0（r1）

（1）q1q'r'rrr得：

，∴。

与

qq'EdS00，

13-6．如图所示，半径为R0的导体球带有电荷Q，球外有一层均匀介质同心球壳，其内、外半径分别为R1和R2，相对电容率为r，求：

介质内、外的电场强度大小和电位移矢量大

小。

qiSDdSS内解：

利用介质中的高斯定理。

（1）导体内外的电位移为：

rR0，

EDDQ4r2；rR0，D0。

（2）由于

0r，所以介质内外的电场强度为：

rR0时，E10；R1rR0时，R2rR1E2D0Q40r；

E4D2时，

E3Dr0Q24r0r；rR2时，

0Q40r。

13-7．一圆柱形电容器，外柱的直径为4cm，内柱的直径可以适当选择，若其间充满各向同性的均匀电介质，该介质的击穿电场强度大小为E0200kV/m，试求该电容器可能承受的最高电压。

ErR20rr，

解：

由介质中的高斯定理，有：

Ur∴

RrEdrRr20rrdr20rlnRr，

Rr，r0Re，

∵击穿场强为E0，∴20rdUrRr0rE0，则

UrrE0ln令drrr00，有：

Rr0E0lnE00lnRr01，∴

Uma某r0E0lnRE0e147KV∴

。

13-8．一平行板电容器，中间有两层厚度分别为d1和d2的电介质，它们的相对介电常数为r1和r2，极板面积为S，求电容量。

解：

∵D1D2，∴

UE1d1E2d2E10r1，

E20r2，

d10r1d20r2，

而：

CQUr1r20Sd10r1r2Sr2d1r1d2。

12有：

r1d2r2we13-9．利用电场能量密度量为Q。

E2计算均匀带电球体的静电能，设球体半径为R，带电

QrE14R30EQE2240r解：

首先求出场强分布：

rRORrR

2W∴

02EdV202R0（Qr40R）4rdr3202R（Q40r2）4rdr22

3Q2200R。

13-10．半径为2.0cm的导体外套有一个与它同心的导体球壳，球壳的内外半径分别为

4.0cm和5.0cm，当内球带电量为3.0108C时，求：

（1）系统储存了多少电能

（2）用

导线把壳与球连在一起后电能变化了多少？

解：

（1）先求场强分布：

E10qE2240rEE30qE3240rrR1R1rR2R2rR3rR3R1R2R3

we122考虑到电场能量密度W1E2，有：

球与球壳之间的电能：

q）4rdr22202EdV202RR1（q240rq40r80R1q2（11R2）1.01104球壳外部空间的电能：

W2J

02EdV202R3

（2）4rdr2280R38.1105J，

4∴系统储存的电能：

WW1W21.8210J；

（2）如用导线把壳与球连在一起，球与球壳内表面所带电荷为0，所以W1'0而外表面所带电荷不变，那么：

W'W28.110

13-11．球形电容器内外半径分别为R1和R2，充有电量Q。

（1）求电容器内电场的总能量；

（2）证明此结果与按

We1Q25J。

2C算得的电容器所储电能值相等。

EQ240r，（R1rR2）

解：

（1）由高斯定理可知，球内空间的场强为：

利用电场能量密度Wwe12ER2R12，有电容器内电场的能量：

Q40r202EdVR2R1202（）4rdr1R11R222Q280）（1R11R2）Q（R2R1）80R1R22；

UR1R2

（2）由

Q40rdr2Q40（Q（R2R1）40R1R2，

CQUR1R240R1R2R2R1则球形电容器的电容为：

，

We1Q2那么，

2CQ（R2R1）80R1R22。

（与前面结果一样）

13-12．一平行板电容器的板面积为S，两板间距离为d，板间充满相对介电常数为r的均匀介质，分别求出下述两种情况下外力所做的功：

（1）维持两板上面电荷密度0不变而把介质取出；

（2）维持两板上电压U不变而把介质取出。

解：

（1）维持两板上面电荷密度0不变，有介质时：

（D0rE，0D）

W212W11210Sd20r20rESd2，

0ESd210Sd22取出介质后：

0，

WW2W110Sd22外力所做的功等于静电场能量的增加：

（2）维持两板上电压U不变，有介质时：

取出介质后：

∴

W212CU202d（11r；

2）W112CU210rSU，

10S2dU2，

WW2W110S2U（1r）2d。

思考题13

13-1．介质的极化强度与介质表面的极化面电荷是什么关系？

答：

σPcoθ。

13-2．不同介质交界面处的极化电荷分布如何？

答：

1P1en1，

P2en22

P（P1P2）en即在两种介质的交界面上，极化电荷的面密度等于两种介质的极化强度

的法向分量之差。

13-3．介质边界两侧的静电场中D及E的关系如何？

答：

在两种介质的交界面上，若无自由电荷电位移矢量在垂直界面的分量是连续的，平行于界面的分量发生突变。

电场强度在垂直界面的分量是不连续的，有突变。

13-4．真空中两点电荷qA、qB在空间产生的合

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