青岛版五四制四下数学总复习.docx
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青岛版五四制四下数学总复习
青岛版五四制四下数学
一 走进动物园——简易方程
一、方程
1.用字母表示数。
在数学中,可以用字母表示任何一个数,用字母表示数可以简明运算律或表达问题中的数量关系,还可以用字母表示未知数。
如用a、b、c分别表示三个数,则运算律表示为:
加法交换律:
a+b=b+a
加法结合律:
（a+b）+c=a+（b+c）
乘法交换律:
a×b=b×a
乘法结合律:
（a×b）×c=a×（b×c）
乘法分配律（a+b）×c=a×c+b×c
2.方程。
含有未知数的等式叫作方程。
方程必须具备两个条件:
①含有未知数;②必须是等式。
如20+x=50、3x=27、5x+9=54、a÷9=8等都是方程。
30+x、3x+1>5、x-12.5<5、3+6.5=9.5等不是方程。
3.看图列方程的方法。
（1）弄清已知数和未知数之间的关系;
（2）找出题中的等量关系,列出方程。
二、利用等式的性质解方程
（一）
1.等式的性质1。
等式两边同时加上或减去同一个数,等式仍然成立。
如x=50→x+20=50+20;a=b→a-c=b-c。
2.方程的解及解方程。
使方程左右两边相等的未知数的值,叫作方程的解。
求方程的解的过程叫解方程。
3.利用等式的性质1解方程。
例:
x+20=100
解:
x+20-20=100-20（方程两边同时减20）
x=80
检验:
方程左边=x+20
=80+20
=100
=方程右边
所以,x=80是方程x+20=100的解。
三、利用等式的性质解方程
（二）
1.等式的性质2。
等式两边同时乘或除以同一个数（0不作除数）,等式仍然成立。
如x=50→x×2=50×2;50=4a→50÷4=4a÷4。
2.利用等式的性质2解方程。
例:
3x-2=4
解:
3x-2+2=4+2（方程两边同时加2）
3x=6
3x÷3=6÷3（方程两边同时除以3）
x=2
检验:
方程左边=3x-2
=3×2-2
=4
=方程右边
所以,x=2是方程3x-2=4的解。
四、列方程解应用题
1.列方程解应用题的方法和步骤。
（1）审题（弄清已知数和未知数之间的关系）;
（2）写出等量关系式,可以借助线段图分析;
（3）找出等量关系式中的未知数;
（4）根据等量关系式列出方程;
（5）解方程;
（6）检验并写出答案。
2.列方程常用的数量关系式。
（1）速度×时间=路程、路程÷速度=时间、路程÷时间=速度
（2）单价×数量=总价、总价÷单价=数量、总价÷数量=单价
（3）工作效率×工作时间=工作总量、工作总量÷工作效率=工作时间、工作总量÷工作时间=工作效率
3.列方程与算术方法解应用题对比。
列方程解应用题是一种不同于算术解法的新的解题方法,两者解法的不同点:
列方程解应用题:
（1）未知数用字母表示,参与列式;
（2）根据题意找出等量关系,列出含有未知数的等式,也就是方程。
用算术方法解应用题:
（1）未知数不参与列式;
（2）根据已知数和未知数之间的关系,确定解题步骤,再列式计算。
列方程解应用题的优越性体现在可以使未知数直接参与运算。
等式包含方程,方程也属于等式,方程是特殊的等式。
等式的性质1可简记为同加同减。
检验的过程就是把求出的未知数的值代入原方程,看左右两边是否相等。
等式的性质2可简记为同乘同除。
设未知数的方法有两种:
一种是直接设未知数,即求什么就设什么;
另一种是间接设未知数,当直接设未知数不易列出方程时,就设与要求相关的间接未知数。
易错警示:
（1）列方程解应用题,设未知数时一定要带上单位名称。
（2）方程的解不要带单位名称。
（3）在答句中要把单位名称写清楚。
二 生活中的多边形——多边形的面积
一、平行四边形的面积
1.用割补法求平行四边形的面积。
方法一:
用剪刀过平行四边形的一个顶点,沿着平行四边形底边上的高剪开,剪成一个三角形和一个直角梯形,把三角形拼在直角梯形的右边,使平行四边形变成一个长方形。
方法二:
用剪刀沿平行四边形的一条高剪开,剪成两个直角梯形,平移后拼合,使平行四边形变成一个长方形。
观察拼出的长方形和原来的平行四边形,发现平行四边形的底等于长方形的长,平行四边形的高等于长方形的宽,平行四边形的面积等于长方形的面积。
2.平行四边形的面积公式。
平行四边形的面积=底×高
↓ ↓↓
长方形的面积=长×宽
用S表示平行四边形的面积,a表示底,h表示高,则平行四边形的面积公式为S=ah。
二、三角形的面积
1.求三角形的面积。
方法一:
完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。
观察拼成的平行四边形和原来的三角形,三角形的底和高分别是平行四边形的底和高,三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。
方法二:
用剪刀沿三角形两边中点的连线剪开,也可以拼成一个平行四边形。
观察拼成的平行四边形和原来的三角形,三角形的面积等于平行四边形的面积。
2.三角形的面积公式。
由上面的拼接可知,三角形的面积=底×高÷2。
如果用S表示三角形的面积,a表示三角形的底,h表示三角形的高,那么三角形的面积计算公式为S=ah÷2。
三、梯形的面积
1.求梯形的面积。
（1）两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形。
梯形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半。
（2）用剪刀沿梯形两腰中点的连线剪开,也可以拼成一个平行四边形。
梯形的面积等于拼成的平行四边形的面积。
2.梯形的面积公式。
由上面的拼接可知,梯形的面积=（上底+下底）×高÷2。
如果用S表示梯形的面积,a表示梯形的上底,b表示梯形的下底,h表示梯形的高,那么梯形的面积计算公式为S=（a+b）h÷2。
四、组合图形的面积。
1.计算组合图形面积的方法。
（1）分割法:
将组合图形分成几个基本图形,求几个基本图形面积的和。
（2）添补法:
将组合图形补成一个基本图形,求大小两个基本图形面积的差。
（3）割补法:
将组合图形的一部分剪割下来,拼补成一个基本图形,直接求基本图形的面积。
五、公顷、平方千米
（1）除公顷与平方米外,相邻面积单位之间的进率是100。
1平方米=100平方分米 1m2=100dm2
1平方分米=100平方厘米 1dm2=100cm2
1平方厘米=100平方毫米 1cm2=100mm2
1平方千米=100公顷 1km2=100hm2
（2）边长是100米的正方形,面积是1公顷。
1公顷=10000平方米
1平方千米=1000000平方米=100公顷
把长方形框架拉成平行四边形,周长不变,面积变小。
平行四边形的面积公式中,底和高必须是对应的。
三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。
当圆木、钢管等堆成的形状横截面是梯形时,计算圆木、钢管等的根数:
（顶层根数+底层根数）×层数÷2。
求组合图形的面积时,可以把组合图形分成几个基本图形,再把这几个基本图形的面积加起来;或者从一个基本图形面积里减去另外一个或几个基本图形的面积,所得的差就是这个组合图形的面积。
高级单位换算成低级单位,乘进率;低级单位换算成高级单位,除以进率。
三 团体操表演——因数与倍数
一、因数与倍数
1.因数与倍数的意义。
如果a×b=c（a、b、c都是不为0的整数）,我们就说a和b都是c的因数,c是a和b的倍数。
2.找因数和倍数的方法。
（1）找一个数的因数,可以利用积与因数的关系一对一对地找。
如12的因数有1、12、2、6、3、4。
也可从最小的因数1找起,一直找到它本身。
如12的因数有1、2、3、4、6、12,共6个。
（2）找一个数的倍数,可以用这个数分别乘自然数1、2、3……如2的倍数有2×1=2,2×2=4,2×3=6……
注意:
①一个数的因数中,最小的因数是1,最大的因数是它本身,所以它的因数的个数是有限的。
②一个数的倍数的个数是无限的,最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。
③因数与倍数是相互依存的,不能单独地说某个数是倍数,某个数是因数。
二、2、3、5的倍数的特征
1.2、5的倍数的特征。
（1）个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。
（2）个位上是0或5的数都是5的倍数。
（3）是2的倍数的数叫作偶数,不是2的倍数的数叫作奇数。
偶数的个位上是0、2、4、6、8,奇数的个位上是1、3、5、7、9。
0是最小的偶数,1是最小的奇数。
2.3的倍数的特征。
一个数各个数位上数的和是3的倍数,这个数就是3的倍数。
三、质数与合数
1.质数与合数的意义。
（1）一个数,只有1和它本身两个因数,这样的数叫质数（或素数）。
如3、7、13等都是质数。
（2）一个数,除了1和它本身外还有其他的因数,这样的数叫合数。
如4、9、12等都是合数。
（3）1只有一个因数,它既不是质数,也不是合数。
2.判断一个数是质数还是合数的方法。
先找各数的因数,再根据质数和合数的意义去判断。
如果只有1和它本身两个因数,它就是质数;如果有三个或三个以上的因数,它就是合数。
质数与奇数是本质不同的两个概念,一是从能否被2整除来断定某数是否为奇数;一是从含有因数个数来断定某数是否为质数。
因此,奇数不一定是质数,质数也不一定是奇数。
合数与偶数也是两个不同的概念,分析原理同上,牢记2是唯一的偶质数。
3.质因数、分解质因数。
（1）质因数的意义:
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,其中每个质数都是这个合数的因数,叫作这个合数的质因数。
（2）分解质因数:
把一个合数用质数相乘的形式表示出来,叫作分解质因数。
如6=2×3,24=2×2×2×3。
（3）分解质因数的方法。
①逐步分解法:
先把合数分解成较小数的乘积,再把其中的合数进行分解,直到所有因数都是质数为止。
②分解质因数时,通常用短除法。
先用一个能整除这个合数的质数去除（一般从最小的开始）,如果得出的商是质数,就把除数和商写成相乘的形式;如果得出的商是合数,就继续除下去,直到得出的商是质数为止;再把各个除数和最后的商写成连乘的形式。
例:
只有在因数和积都是整数的情况下,才能讨论因数和倍数的概念。
为了避免一些不必要的麻烦,研究因数和倍数的时候,一般将0排除在外。
注意:
0也是偶数。
最小的合数是4;最小的质数是2,它也是唯一的偶质数。
没有最大的质数和合数,质数和合数的个数是无限的。
按因数个数把自然数分为质数、合数和1;按能否被2整除的特征把自然数分为奇数和偶数。
分解质因数时不能有1,因为1不是质数。
用短除法分解质因数时,一定要除到所得的商为质数为止。
四 中国的热极——认识负数
一、正、负数的认识
1.零上温度、零下温度。
零上温度和零下温度以0℃为分界线,比0℃高的温度是零上温度,比0℃低的温度是零下温度。
例如:
零上5℃就是比0℃高5℃;零下5℃就是比0℃低5℃。
因此,“零上温度”与“零下温度”是具有相反意义的两个量。
2.正数和负数的意义。
为了表示具有相反意义的量,我们把一种意义的量规定为正,如用10、1.2、17……来表示,像这样的数叫作正数,它们都比0大,正数前面有时也可以写上“+”（正号）;把另一种意义相反的量规定为负,并在数的前面写上“-”（负号）来表示,如-3、-5等,这样的数是负数。
0刻度线以上表示的是零上温度,离0刻度线的距离越近,温度越低;距离越远,温度越高。
零下温度离0刻度线的距离越近,温度越高;距离越远,温度越低。
正数都大于0,负数都小于0,正数都大于负数。
负数小于0和正数;正数大于0和负数;0是正、负数的分界线。
3.正数和负数的读法、写法。
（1）读法:
一个数前面的“+”“-”叫作它们的符号。
有“+”时,读作“正几”,省略“+”时,“几”读作“几”,如+3读作“正三”,3读作“三”;有“-”时,读作“负几”,不能省略“-”来读,如-3读作“负三”。
（2）写法:
①写正数时,要在数的前面加上“+”,也可以省去不写。
通常写正数时,“+”省略。
②写负数时,要在所写数的前面加上“-”,负数的“-”不能省略不写。
二、0的意义
（1）0既不是正数,也不是负数,0没有符号。
0是正数与负数的分界线。
（2）0不仅表示“没有”,还可以表示其他意义。
如0℃是一个确定的温度,海拔0米表示海平面的平均高度。
三、正数、负数表示具有相反意义的量在实际生活中的应用
描述具有相反意义的数量,可以用正、负数表示。
如果规定其中一种量为正,那么另一种量就为负。
若题目中没有指明哪种意义的数量用正数表示、哪种意义的数量用负数表示,则通常根据习惯把表示“前进、上升、收入、零上、增加、超额、多出”的数量用正数表示,而把相反意义的数量用负数表示。
四、负数的作用
1.负数是在人为规定正方向的前提下出现的。
2.负数常用来表示和正数意义相反的量。
3.在选择用正数还是负数表示时,首先看是否规定了正方向。
通常写温度时,零上温度前加“+”,零下温度前加“-”。
无论是温度还是海拔高度,都要先确定0分界线,然后依据相反意义来分析分界线的零上和零下所表示的具体含义。
小数和分数也可以分为正、负数。
它们的读法是先读“正”或“负”,再按照小数或分数的读法来读。
0是一个特殊的数,还可以表示“起点”。
相反意义的量:
如“上升”和“下降”,“高于”和“低于”,“得到”和“失去”,“收入”和“支出”……
生活中许多地方都用到了负数,如记账时,如果收入150元,记作+150元,那么支出70元,应记作-70元。
五 校园艺术节——分数的意义和性质
一、分数的意义和性质
1.单位“1”。
一个物体、一个计量单位或由许多物体组成的一个整体,可以用自然数1来表示,通常把它叫作单位“1”。
2.分数。
把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数,叫作分数。
确定分数时,用单位“1”平均分成的份数作分母,取的份数作分子。
3.分数单位的意义。
把单位“1”平均分成若干份,表示其中一份的数,叫作这个分数的分数单位。
总结:
（1）一个分数的分母是几,这个分数的分数单位就是几分之一。
（2）一个分数的分子是几,它就有几个这样的分数单位。
比如,
的分数单位是
它有3个这样的分数单位。
二、真分数、假分数和带分数
分数可以分成:
真分数,假分数,带分数。
1.真分数。
分子比分母小的分数叫作真分数。
真分数小于1。
真分数取的份数小于分成的份数,即取的部分小于单位“1”。
如
、
、
等都是真分数,它们都小于1。
2.假分数。
分子比分母大或分子和分母相等的分数,叫作假分数。
假分数的分数值大于1或等于1,即取的份数大于或等于单位“1”（分成的份数）。
判断一个分数是真分数还是假分数的方法:
方法一:
根据真分数与假分数的意义进行判断。
分子小于分母的分数是真分数,分子大于或等于分母的分数是假分数。
方法二:
根据真分数与假分数的特征判断（即根据分数值的大小进行判断）。
3.带分数。
分子不是分母倍数的假分数还可以写成整数与真分数合成的数,通常叫作带分数。
形式为整数+真分数。
如:
（1）带分数的写法。
先写整数部分,再写分数部分。
分数部分的分数线与整数的中间对齐。
（2）带分数的读法。
先读带分数的整数部分,再读分数部分。
整数部分和分数部分的中间要加个“又”字。
如:
2
读作:
二又五分之三。
（3）带分数的分数单位。
一个带分数的分数部分的分母是几,这个分数的分数单位就是几分之一。
带分数的分数单位只与分数部分的分母有关。
4.分数的大小比较。
（1）分母相同时,分子大则分数大。
分母相同也就是单位“1”被平均分成的份数相同;分子大表示取的份数多。
（2）分子相同,分母小则分数大。
分子相同即取的份数相同;分母小表示单位“1”被平均分成的份数少,分的份数越少,每一份就越多。
（3）整数部分不同的带分数,整数部分大的带分数就大。
5.用直线上的点表示分数。
分数可以用直线上的点表示,直线上0和1之间的线段表示单位“1”。
把表示单位“1”的线段平均分成几份,从0开始的第一个点就表示几分之一;第二个点就表示几分之二;第三个点就表示几分之三……依此类推。
当取的份数大于或等于0~1被平均分的份数时,要用假分数或带分数表示。
如图所示:
三、分数与除法的关系
1.分数与除法的关系。
两个整数相除,可以用分数表示商,即用分数与除法之间的关系表示:
被除数÷除数=
如果用a表示被除数,b表示除数（b≠0）,则分数与除法之间的关系为a÷b=
（b≠0）。
反过来说,也可以把分数看作两个数相除,分数的分子相当于被除数,分母相当于除数,分数线相当于除号,分数值相当于商。
分数与除法的联系与区别
联系
区别
分数
分子
分数线
分母（不能为0）
分数值
分数是一种数
除法
被除数
除号
除数（不能为0）
商
除法是一种运算
2.假分数化带分数。
（1）把假分数化成整数:
用假分数的分子除以分母,能整除的,所得的商就是整数。
（2）把假分数化成带分数:
用假分数的分子除以分母,所得的整数为带分数左边的整数部分,余数作分子,分母不变。
拓展:
（1）将带分数化为假分数:
分母不变,用整数部分与分母的乘积再加原分子的和作为分子。
（2）能化成整数的假分数,它们的分子都是分母的倍数。
反过来,分子是分母的倍数的假分数都能化成整数。
非0自然数能化成分母是1、2、3……的假分数,也可以看成分母是1的假分数。
除法算式中除数不能为0,在分数中分母也不能为0。
四、分数的基本性质
1.分数的基本性质。
分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外）,分数的大小不变。
这是分数的基本性质。
2.分数的基本性质与商不变的性质的联系。
除法里的被除数相当于分数的分子,除号相当于分数中的分数线,除数相当于分数中的分母,因为被除数和除数同时乘或除以相同数（0除外）,商不变,所以分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外）,分数的大小不变。
3.异分母分数比较大小的方法。
异分母分数比较大小时,要先利用分数的基本性质,把分数转化成分母相同或分子相同的分数,再比较大小。
用分数表示阴影部分
（1）
把6个△看作单位“1”,被平均分成了6份,阴影部分占其中的2份,用分数表示:
。
（2）
把6个△看作单位“1”,被平均分成了3份,阴影部分占其中的1份,用分数表示:
。
记忆口诀:
单位“1”很重要,平均分要做到,若干份作分母,取的份数作分子。
易错警示
分子为0的时候不是真分数。
例如,
虽然0小于3,但
不是真分数。
原因是只有将单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数才叫分数。
易错警示
带分数是由一个大于0的整数和一个真分数组成的。
带分数的分数部分必须是真分数,整数部分不能为0,并不是由整数和任意分数组成的数都是带分数。
带分数也是假分数的一种表示形式。
读数时一定要写汉字,不能写阿拉伯数字。
巧记:
分数大小的比较
几个分数比大小,
分子分母要看好。
分母相同看分子,
分子大的分数大;
分子相同看分母,
分母大的分数小。
用直线上的点表示分数时,表示真分数的点在直线0~1这一段上,表示假分数或带分数的点在1和大于1的那一段上。
分数的意义与除法的意义
①
的分数意义:
把单位“1”平均分成了4份,取了其中的3份。
②
的除法意义:
把3平均分成了4份,取了其中的1份。
巧记:
①假分数化带分数,
分子分母去相除,
商为整数余分子,
分母不变要记住。
②带分数化假分数,
分母整数相乘积,
和原分子加一起,
和为分子母不变。
判断一个分数能否化成带分数时,要先看这个分数是不是假分数,假分数可以化成带分数。
否则不能。
分数基本性质的应用:
可以把异分母分数化成同分母分数,也可以把一个分数化成指定分母的分数。
易错警示
当分数的分子或分母加减一个数时,为使分数的大小不变,要转化成乘或除以一个合适的数（0除外）来解决。
六 图案美——对称、平移与旋转
一、轴对称图形
1.定义。
将图形沿着一条直线对折,如果直线两侧的部分能够完全重合,这样的图形叫作轴对称图形,折痕所在的这条直线叫作它的对称轴。
轴对称图形中,有的只有1条对称轴,有的不止1条对称轴。
正方形:
4条 长方形:
2条 菱形:
2条
等腰直角三角形:
1条
等边三角形:
3条
圆:
无数条
2.画对称轴。
（1）找出轴对称图形的任意一组对称点;
（2）连接对称点;（3）画出对称点所连线段的垂直平分线（经过某一条线段的中点,并且垂直于这条线段的直线,叫作这条线段的垂直平分线）,就可以得到该图形的对称轴。
3.画图形的另一半,使之成为轴对称图形。
（1）先在图形中找到几个关键点;
（2）根据每个点到对称轴的距离找到这些点的对称点;（3）最后把这些点连起来。
二、平移
1.定义。
平移是指在平面内,将一个图形上所有的点都按照同一个方向移动相同的距离,这样的运动叫作图形的平移运动,简称平移。
2.性质。
（1）图形平移前后的形状和大小没有变化,只是位置发生变化。
（2）新图形与原图形的对应点所连的线段平行（或在同一直线上）。
3.平移的两个要素。
一是平移要有方向;二是平移要移动一定的距离,两者缺一不可。
4.平移画图的步骤。
（1）分析要求,确定平移方向和平移的距离。
（2）分析原图形,确定关键点。
（3）画出关键点的对应点,标注相应的字母。
三、旋转
1.定义。
在平面内,将一个图形绕一个定点按某个方向转动一定的角度,这样的运动叫作图形的旋转。
这个定点叫旋转中心,这个方向叫旋转方向,旋转的角度称为旋转角。
旋转中心、旋转方向、旋转角是图形旋转的三要素。
2.顺时针旋转和逆时针旋转。
与时针旋转方向相同的是顺时针旋转;与时针旋转方向相反的是逆时针旋转。
图1
图2
图1中图形围绕O点按顺时针方向旋转了90°;图2中图形围绕O点按逆时针方向旋转了90°。
3.旋转的特点、性质与画图。
特点:
（1）图形的旋转是由旋转中心、旋转方向和旋转角度决定的;
（2）旋转过程中,旋转中心始终保持不动;（3）旋转过程中,旋转的方向是相同的;（4）旋转停止时,图形上每个点的旋转角度是一样的;⑤旋转不改变图形的大小和形状。
性质:
（1）对应点到旋转中心的距离相等;
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;（3）旋转前、后的图形大小相等。
旋转画图的步骤和方法:
（1）确定旋转中心、旋转方向及旋转角;
（2）找出图形的关键点;（3）将图形的关键点和旋转中心连接起来,然后按旋转方向分别将它们旋转一个旋转角度数,得到这些关键点的对应点;（4）按原图形顺次连接这些对应点,所得到的图形就是旋转后的图形。
古今中外,有许多著名建筑也是对称的。
故宫
黄鹤楼
埃菲尔铁塔
泰姬陵
物体在平移的过程中,各个部分移动的距离都是一样的。
平移的过程中,图形自身的方向始终没有发生变化。
旋转90°的方法:
（1）找出原图形的关键点或关键线段。
（2）借助三角板或量
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