旋转变换一旋转矩阵.docx

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旋转变换一旋转矩阵

旋转变换

（一）旋转矩阵

1.简介

计算机图形学中的应用非常广泛的变换是一种称为仿射变

换的特殊变换，在仿射变换中的基本变换包括平移、旋转、

缩放、剪切这几种。

本文以及接下来的几篇文章重点介绍一

下关于旋转的变换，包括二维旋转变换、三维旋转变换以及

它的一些表达方式（旋转矩阵、四元数、欧拉角等）。

2.绕原点二维旋转

首先要明确旋转在二维中是绕着某一个点进行旋转，三维中

是绕着某一个轴进行旋转。

二维旋转中最简单的场景是绕着

坐标原点进行的旋转，如下图所示：

如图所示点v绕原点旋转e角，得到点v'假设v点的坐标是（x,y），那么可以推导得到v'点的坐标（x,y'）（设原点

到v的距离是r,原点到v点的向虽与x轴的夹角是）

x=rcosy=rsin

x，=rcos（0+）y，=rsin（0+）

通过三角函数展开得到

x'=rcos0cosrsin0siny'=rsin0cos+rcos0sin

带入x和y表达式得到

x'=xcos0ysin0

y'=xsin0+ycos0

写成矩阵的形式是：

[x'y']=[cos0sin0sin0cos0][xy]

尽管图示中仅仅表示的是旋转一个锐角。

的情形，但是我们

推导中使用的是三角函数的基本定义来计算坐标的，因此当

旋转的角度是任意角度（例如大于180度，导致v'点进入到

第四象限）结论仍然是成立的。

3.绕任意点的二维旋转

绕原点的旋转是二维旋转最基本的情况，当我们需要进行绕

任意点旋转时，我们可以把这种情况转换到绕原点的旋转，

思路如下:

1.首先将旋转点移动到原点处

2.执行如2所描述的绕原点的旋转

3.再将旋转点移回到原来的位置

也就是说在处理绕任意点旋转的情况下需要执行两次平移

的操作。

假设平移的矩阵是T（x,y）,也就是说我们需要得到

的坐标v'=T（x,y）*R*T（-x,-y）（我们使用的是列坐标描述点的

坐标，因此是左乘，首先执行T（-x,-y））

在计算机图形学中，为了统一将平移、旋转、缩放等用矩阵

表示，需要引入齐次坐标。

（假设使用2x2的矩阵，是没有

办法描述平移操作的，只有引入3x3矩阵形式，才能统一描

述二维中的平移、旋转、缩放操作。

同理必须使用4x4的矩

阵才能统一描述三维的变换）。

对于二维平移，如下图所示，P点经过x和y方向的平移到

P'点，可以得到：

x，=x+txy，=y+ty

由于引入了齐次坐标，在描述二维坐标的时候，使用（x,y,

w）的方式（一般w=1）,于是可以写成下面矩阵的形式

x'y'1=100010txty1xy1

按矩阵乘法展开，正好得到上面的表达式。

也就是说平移矩

阵是

100010txty1

如果平移值是（-tx,-ty）那么很明显平移矩阵式

100010txty1

我们可以把2中描述的旋转矩阵也扩展到3x3的方式，变为：

x'y'1=cos0sin00sin0cos00001xy1

从平移和旋转的矩阵可以看出，3x3矩阵的前2x2部分是和

旋转相关的，第三列与平移相关。

有了上面的基础之后，我

们很容易得出二维中绕任意点旋转的旋转矩阵了，只需要把

三个矩阵乘起来即可：

M=100010txty1cos0sin00sin0cos00001100010txty1=cos0sin00sin0cos00（1cos0）tx+tysin0（1cos0）tytxsin01

4.三维基本旋转

我们可以把一个旋转转换为绕基本坐标轴的旋转，因此有必要讨论一下绕三个坐标值x、y、z的旋转。

本文在讨论过程中使用的是类似于OpenGL中定义的右手

坐标系，同时旋转角度的正负也遵循右手坐标系的约定。

如下图所示

4.1绕X轴的旋转

在三维场景中，当一个点P（x,y,z）绕x轴旋转。

角得到点

P'（x,y'由,Z是麝x轴进行的旋转，因此x坐标保持不变，y和z组成的yoz（o是坐标原点）平面上进行的是一个二维的旋转，可以参考上图（y轴类似于二维旋转中的x轴，z轴类似于二维旋转中的y轴），于是有：

x'=xy'=ycos0zsin0z'=ysin0+zcos0

写成（4x4）矩阵的形式x'y'z'1=10000cos0sin000sin0cos000001xyz1

4.2绕Y轴旋转

绕Y轴的旋转和绕X轴的旋转类似，Y坐标保持不变，除Y轴之外，ZOX组成的平面进行一次二维的旋转（Z轴类似于二维旋转的X轴，X轴类似于二维旋转中的Y轴，注意这里

是ZOX,而不是XOZ,观察上图中右手系的图片可以很容易了解到这一点），同样有：

x'=zsin0+xcos0

y=y

z'=zcos0xsin0

写成（4x4）矩阵的形式

x'y'z'1=cos00sin000100sin00cos000001xyz1

4.3绕Z轴旋转

与上面类似，绕Z轴旋转，Z坐标保持不变，xoy组成的平

面内正好进行一次二维旋转（和上面讨论二维旋转的情况完

全一样）

x'y'z'1=cos0sin000sin0cos00000100001xyz1

4.4小结

上面描述了三维变换中绕单一轴旋转的矩阵表达形式，绕三

个轴旋转的矩阵很类似，其中绕y轴旋转的矩阵与绕x和z轴旋转的矩阵略有点不同（主要是三个轴向顺序和书写矩阵的方式不一致导致的，绕三个不同坐标旋转轴以及其他二个

坐标轴组成平面的顺序是：

XYZ（绕x轴）YZX（绕y轴）

ZXY（绕z轴），其中绕y轴旋转，其他两个轴是ZX,这和我们书写矩阵按xyz1

的方式不一致，而导致看起来绕Y轴旋转的矩阵似乎是和其他两个矩阵不一致。

如果我们颠倒写法，将公式写成

z'y'x'1=cos00sin000100sin00cos000001zyx1

的方式，那么这三个旋转矩阵看起来在形式上就统一了，都

是

[cos0sin0sin0cos0]

这种表现形式了（左上角都是sin9）

5.绕任意轴的三维旋转

绕任意轴的三维旋转可以使用类似于绕任意点的二维旋转一样，将旋转分解为一些列基本的旋转。

绕任意轴旋转如下图所示：

P点绕向Hu旋转。

角，得到点Q,已知P点的坐标和向Hu,如何求Q点的坐标。

我们可以把向虽u进行一些旋转，让它与z轴重合，之后旋转P到Q就作了一次绕Z轴的三维基本旋转，之后我们再执行反向的旋转，将向Hu变回到它原来的方向，也就是说需要进行的操作如下：

1.将旋转轴u绕x轴旋转至xoz平面

2.将旋转轴u绕y轴旋转至于z轴重合

3.绕z轴旋转9角

4.执行步骤2的逆过程

5.执行步骤1的逆过程

原始的旋转轴u如下图所示:

第1、2、3步骤如下图所示:

步骤1将向Hu旋转至xoz平面的操作是一个绕x轴的旋转操作，步骤2将向虽u旋转到与z轴重合，第1、2步骤的示意图如下：

作点P在yoz平面的投影点q,q的坐标是（0,b,c）,原点o与q点的连线oq和z轴的夹角就是u绕x轴旋转的角度。

通过这次旋转使得u向虽旋转到xoz平面（图中的or向虽）

【步骤1】

过r点作z轴的垂线，or与z轴的夹角为6，这个角度就是绕Y轴旋转的角度，通过这次旋转使得u向虽旋转到与z轴重合【步骤2】

步骤1中绕x轴旋转的是一次基本的绕x轴的三维旋转，按

照之前的讨论，旋转矩阵是：

10000cos0sin000sin0cos000001

这里的。

就是图中所小的以角（注意以角度是绕x旋转的正的角度）

从图中我们还可以得到：

cos以=c（b2+c2）V

sin以=b（b2+c2）V

于是旋转矩阵（记作Rx（以））为：

10000c（b2+c2）Vb（b2+c2）V00b（b2+c2）Vc（b2+c2）V00001

在完成步骤1之后，向mu被变换到了r的位置，我们继续步骤2的操作，绕y轴旋转负的6角（注意：

这里的6是负的），经过这次变换之后向mu与z轴完全重合，由于这一

步也是执行的一次绕Y轴的基本旋转，旋转矩阵（记作Ry（6））

为:

cos00sin000100sin00cos000001

使用6替换表达式中的。

，此外根据图中描述，我们可以计

算得到：

cos6=（b2+c2）V（a2+b2+c2）V

sin6=a（a2+b2+c2）V

带入上面的表达式，于是旋转矩阵（记作Ry（6））为：

（b2+c2）V（a2+b2+c2）V0a（a2+b2+c2）V00100a（a2+b2+c2）V

0（b2+c2）V（a2+b2+c2）V00001

在完成前面两个步骤之后，u方向和z轴完全重合，因此执

行旋转。

角，执行的是一次绕z轴的基本三维旋转（记作

R（e）,根据之前的讨论，我们可以得到：

cos0sin000sin0cos00000100001

最后两步骤是前面1和2的逆操作，也就是绕Y轴旋转6和绕X轴旋转以，这两个矩阵分别记作Ry（6）和Rx（以）得到它们的方式很简单，只需要将上面步骤1和步骤2中的角度修改成相反数即可，也就是：

Ry（6）=（b2+c2）V（a2+b2+c2）V0a（a2+b2+c2）V00100a（a2+b

2+c2）V0（b2+c2）V（a2+b2+c2）V00001

Rx（以）=10000c（b2+c2）Vb（b2+c2）V00b（b2+c2）Vc（b2+c2）VO0001

最终得到绕任意轴u旋转的旋转矩阵是【因为使用的列向

虽，因此执彳了的是左乘（从右往左）】：

MR=Rx（以）Ry（6）Rz（0）Ry（6）Rx（以）=

（注：

式中的（u,v,w）对应上文中向m（a,b,c）,公式我自己笔算过，为了减少编辑公式的时间（使用LaTex编辑太繁琐，因此找了一张公式的图片贴在此处）

如果向虽是经过单位化的（单位向虽），那么有a2+b2+c2=1,

可以简化上述的公式，得到：

参考文献:

WikiRotation（mathematics）

Euler'srotationtheorem

Maths-RotationMatrices

绕任意轴旋转

RotationAboutanArbitraryAxisin3Dimensions

RotationaboutanArbitraryAxis（Line）