高考数学一轮考点训练平面解析几何含答案.docx

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高考数学一轮考点训练平面解析几何含答案

2017高考数学一轮考点训练-平面解析几何（含答案）

第九平面解析几何

考纲链接1平面解析几何初步

（1）直线与方程

①在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．

②理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．

③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．

④掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系．

⑤能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．

⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．

（2）圆与方程

①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．

②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系．

③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．

④初步了解用代数方法处理几何问题的思想．

2．圆锥曲线与方程

（1）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程和简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）．

（2）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）．

（3）了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）．

（4）理解数形结合的思想．

（）了解圆锥曲线的简单应用．

§91　直线与方程

1．平面直角坐标系中的基本公式

（1）数轴上A，B两点的距离：

数轴上点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则A，B两点间的距离|AB|＝____________．

（2）平面直角坐标系中的基本公式：

①两点间的距离公式：

在平面直角坐标系中，两点A（x1，1），B（x2，2）之间的距离公式为

d（A，B）＝|AB|＝_______________________．

②线段的中点坐标公式：

若点P1，P2的坐标分别为（x1，1），（x2，2），线段P1P2的中点的坐标为（x，），则

x＝　　　　　　，＝　　　　　　

2．直线的倾斜角与斜率

（1）直线的倾斜角：

当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴____________与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴________或________时，我们规定它的倾斜角为0°因此，直线的倾斜角α的取值范围为__________________．

（2）斜率：

一条直线的倾斜角α的____________叫做这条直线的斜率，常用小写字母表示，即＝______（α≠______）．当直线平行于x轴或者与x轴重合时，______0；当直线的倾斜角为锐角时，______0；当直线的倾斜角为钝角时，______0；倾斜角为______的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．

（3）经过两点P1（x1，1），P2（x2，2）（x1≠x2）的直线的斜率公式为＝　　　　　　　　．

3．直线方程的几种形式

（1）截距：

直线l与x轴交点（a，0）的____________叫做直线l在x轴上的截距，直线l与轴交点（0，b）的____________叫做直线l在轴上的截距．

注：

截距____________距离（填“是”或“不是”）．

（2）直线方程的五种形式：

名称方程适用范围

点斜式①存在

斜截式②存在

两点式③④

截距式⑤a≠0且b≠0

一般式⑥平面直角坐标系内的所有直线

注：

斜截式是________的特例；截距式是________的特例．

（3）过点P1（x1，1），P2（x2，2）的直线方程

①若x1＝x2，且1≠2时，直线垂直于x轴，方程为____________；

②若x1≠x2，且1＝2时，直线垂直于轴，方程为____________；

③若x1＝x2＝0，且1≠2时，直线即为轴，方程为____________；

④若x1≠x2，且1＝2＝0，直线即为x轴，方程为____________．

自查自纠：

1．

（1）|x2－x1|　

（2）①x2－x12＋2－12

②x1＋x22　1＋22

2．

（1）正向　平行　重合　0°≤α<180°

（2）正切值　tanα　90°　＝　>　<　90°　（3）2－1x2－x1

3．

（1）横坐标a　纵坐标b　不是

（2）①－0＝（x－x0）　②＝x＋b

③－12－1＝x－x1x2－x1　④x1≠x2且1≠2

⑤xa＋b＝1　⑥Ax＋B＋＝0（A，B不同时为0）点斜式　两点式

（3）①x＝x1　②＝1　③x＝0　④＝0

过点（－1，），N（＋1，4）的直线的斜率等于1，则的值为（　　）

A．1B12．2D13

解：

由4－＋2＝1，得＝1故选A

直线3x－3＋1＝0的倾斜角是（　　）

A．30°B．60°．120°D．13°

解：

直线方程可变形为＝3x＋33，tanα＝3，∵倾斜角α∈[0°，180°），∴α＝60°故选B

过点（，2），且在轴上的截距是在x轴上截距2倍的直线方程是（　　）

A．2x＋－12＝0

B．2x＋－12＝0或2x－＝0

．x－2－1＝0

D．x－2－1＝0或2x－＝0

解：

当直线过原点时所求方程为2x－＝0；当直线不过原点时，可设其截距式为xa＋2a＝1，由该直线过点（，2）即可解得a＝6，对应方程为x6＋12＝1，即2x＋－12＝0故选B

已知直线l过点（0，2），且其倾斜角的余弦值为4，则直线l的方程为____________．

解：

∵sα＝4，α∈[0，π），∴sinα＝3，＝tanα＝34∴直线l的方程为－2＝34x，即3x－4＋8＝0

故填3x－4＋8＝0

下列四个命题中真命题有______个．

①经过定点P（x0，0）的直线都可以用方程－0＝（x－x0）表示；

②经过任意两点P1（x1，1），P2（x2，2）的直线都可以用方程（－1）（x2－x1）＝（x－x1）（2－1）表示；

③不经过原点的直线都可以用方程xa＋b＝1表示；

④经过定点（0，b）的直线都可以用方程＝x＋b表示．

解：

①当不存在时，直线方程为x＝x0，不正确；②正确；③当直线与坐标轴垂直时不能用该方程表示，不正确；④可能不存在，不正确．故填1

类型一　直线的倾斜角和斜率

（1）经过P（0，－1）作直线l，若直线l与连接A（1，－2），B（2，1）的线段总有公共点，则直线l的斜率和倾斜角α的取值范围分别为____________，____________．

解：

如图所示，为使l与线段AB总有公共点，则PA≤≤PB，而PB>0，PA<0，故<0时，倾斜角α为钝角；＝0时，α＝0；>0时，α为锐角．

又PA＝－2－（－1）1－0＝－1，

PB＝1－（－1）2－0＝1，∴－1≤≤1

又当0≤≤1时，0≤α≤π4；

当－1≤<0时，3π4≤α<π

故倾斜角α的取值范围为α∈0，π4∪3π4，π

故填[－1，1]；0，π4∪3π4，π

（2）如图所示，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1与l2垂直，则直线l1的斜率1＝________，直线l2的斜率2＝________．解：

由图可知，α2＝α1＋90°＝120°，则直线l1的斜率1＝tanα1＝tan30°＝33，直线l2的斜率2＝tanα2＝tan120°＝－3，故填33；－3

点拨：

①直线的倾斜角与斜率均是反映直线倾斜程度的量．倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，两者由公式＝tanα联系．②在使用过两点的直线的斜率公式＝2－1x2－x1时，注意同一直线上选取的点不同，直线的斜率不会因此而发生变化，同时还要注意两点横坐标是否相等，若相等，则直线的倾斜角为90°，斜率不存在，但并不意味着直线的方程也不存在，此时直线的方程可写为x＝x1③在已知两点坐标，求倾斜角α的值或取值范围时，用tanα＝＝2－1x2－x1转化，其中倾斜角α∈[0，π），此时依然要注意斜率不存在的情形，同时注意运用数形结合思想解题．

（1）直线xsinα－＋1＝0的倾斜角的变化范围是（　　）

A0，π2B．（0，π）

－π4，π4D0，π4∪34π，π

解：

直线xsinα－＋1＝0的斜率是＝sinα，

∵－1≤sinα≤1，∴－1≤≤1，

当0≤≤1时，倾斜角的范围是0，π4；

当－1≤<0时，倾斜角的范围是34π，π故选D

（2）已知线段PQ两端点的坐标分别为P（－1，1）和Q（2，2），若直线l：

x＋＋＝0与线段PQ有交点，则实数的取值范围是____________．

解：

如图所示，直线l：

x＋＋＝0过定点A（0，－1），当≠0时，QA＝32，PA＝－2，l＝－1，∴－1≤－2或－1≥32，

解得0＜≤12或－23≤＜0；

当＝0时，直线l的方程为x＝0，与线段PQ有交点．

∴实数的取值范围为－23，12故填－23，12

类型二　求直线方程

　根据所给条求直线的方程．

（1）直线过点（－4，0），倾斜角的正弦值为1010；

（2）直线过点（－3，4），且在两坐标轴上的截距相等；

（3）直线过点（，10），且到原点的距离为

解：

（1）由题意知，直线的斜率存在，

设倾斜角为α，则sinα＝1010（α∈[0，π）），

从而sα＝±31010，则＝tanα＝±13

故所求直线的方程为＝±13（x＋4），即x±3＋4＝0

（2）若截距不为0，设直线的方程为xa＋a＝1，

∵直线过点（－3，4），∴－3a＋4a＝1，解得a＝1

此时直线方程为x＋－1＝0

若截距为0，设直线方程为＝x，代入点（－3，4），

有4＝－3，解得＝－43，此时直线方程为4x＋3＝0

综上，所求直线方程为x＋－1＝0或4x＋3＝0

（3）由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x－＝0

当直线斜率存在时，设其方程为－10＝（x－），

即x－＋（10－）＝0

由点到直线的距离公式，得10－1＋2＝，解得＝34

此时直线方程为3x－4＋2＝0

综上知，所求直线方程为x－＝0或3x－4＋2＝0

点拨：

本题考查应用直线方程的几种形式求直线方程，难度虽不大，但每小题都有陷阱．

（1）给出了倾斜角的正弦值，求正切值时，应注意倾斜角的范围；

（2）截距相等包括经过原点的直线，还要注意截距不是距离；（3）应用点斜式求直线方程时，注意点斜式的局限性，它不能表示平面内所有直线．

　求满足下列条的所有直线方程：

（1）经过点P（4，1），且在两坐标轴上的截距相等；

（2）经过点A（－1，－3），倾斜角等于直线＝3x的倾斜角的2倍．

解：

（1）根据题意，设直线l在x，轴上的截距均为a，

若a＝0，即l过点（0，0）和（4，1），

∴l的方程为＝14x，即x－4＝0

若a≠0，则设l的方程为xa＋a＝1，

∵l过点（4，1），∴4a＋1a＝1，

得a＝∴l的方程为x＋－＝0

综上可知，直线l的方程为x－4＝0或x＋－＝0

（2）由已知设直线＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α

∵tanα＝3，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝－34

又直线经过点（－1，－3），

因此所求直线方程为＋3＝－34（x＋1），

即3x＋4＋1＝0

类型三　直线方程的应用

（1）已知点A（4，－1），B（8，2）和直线l：

x－－1＝0，动点P（x，）在直线l上，则PA＋PB的最小值为__________．

解：

设点A1（x1，1）与A（4，－1）关于直线l对称，P0为A1B与直线l的交点，∴P0A1＝P0A，PA1＝PA∴PA＋PB＝PA1＋PB≥A1B＝A1P0＋P0B＝P0A＋P0B

当P点运动到P0点时，PA＋PB取到最小值A1B∵点A，A1关于直线l对称，∴由对称的充要条知，

1＋1x1－4×1＝－1，x1＋42－1－12－1＝0，解得x1＝0，1＝3，即A1（0，3）．

∴（PA＋PB）in＝A1B＝82＋（－1）2＝6故填6

点拨：

平面内，两点间连线中直线段最短，这一最基本的公理是解决此类问题的理论基础．求A关于l的对称点是关键一步，而点关于直线对称的充要条又是求对称点的依据．

（2）直线l过点P（1，4），且分别交x轴的正半轴和轴的正半轴于A，B两点，为坐标原点．

①当|A|＋|B|最小时，求l的方程；

②若|PA|•|PB|最小，求l的方程．

解：

①依题意，l的斜率存在，且斜率为负，设直线l的斜率为，则直线l的方程为－4＝（x－1）（<0）．

令＝0，可得A1－4，0；

令x＝0，可得B（0，4－）．

|A|＋|B|＝1－4＋（4－）＝－＋4

＝＋－＋4－≥＋4＝9

∴当且仅当－＝4－且<0，

即＝－2时，|A|＋|B|取最小值．

这时l的方程为2x＋－6＝0

②|PA|•|PB|＝42＋16•1＋2

＝41－＋（－）≥8（<0），

当且仅当1－＝－且<0，

即＝－1时，|PA|•|PB|取最小值．

这时l的方程为x＋－＝0

点拨：

直线方程综合问题的两大类型及解法：

（1）与函数相结合的问题，解决这类问题，一般是利用直线方程中的x，的关系，将问题转化为关于x（或）的函数，借助函数的性质解决；

（2）与方程、不等式相结合的问题，一般是利用方程、不等式的有关知识（如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等）解决．

　已知直线l：

x－＋1＋2＝0（∈R）．

（1）证明：

直线l过定点；

（2）若直线l不经过第四象限，求的取值范围；

（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交轴正半轴于点B，△AB的面积为S（为坐标原点），求S的最小值并求此时直线l的方程．

解：

（1）证明：

将直线l的方程变形得（x＋2）＋（1－）＝0，令x＋2＝0，1－＝0，解得x＝－2，＝1，

∴无论取何值，直线l过定点（－2，1）．

（2）当直线l的倾斜角θ∈[0°，90°]时，直线l不经过第四象限，∴≥0

（3）由l的方程，得A－1＋2，0，B（0，1＋2）．

依题意得－1＋2<0，1＋2>0，解得>0

∵S＝12•|A|•|B|＝12•1＋2•|1＋2|

＝12•（1＋2）2＝124＋1＋4

≥12×（2×2＋4）＝4，

当且仅当4＝1且>0，即＝12时等号成立，

∴Sin＝4，此时直线l的方程为x－2＋4＝0

1．直线的倾斜角和斜率的关系，可借助＝tanα的图象（如图）解决．这里，α∈[0，π），的范围是两个不连续的区间．这说明，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率，故在求直线方程时，若不能确定直线的斜率是否存在，则应对斜率存在或不存在进行分类讨论．2．直线在坐标轴上的截距是直线与坐标轴的交点的坐标，它不是距离，它可正、可负、可为0，在用截距式求直线方程时，不可忽视截距为0的情况．

3．在解决直线与坐标轴围成的直角三角形的面积、周长等问题时，应用截距式方程比较简单．

4．对于直线方程说，要注意的是，除“一般式”外，每一种形式的二元一次方程表示的直线都是有限制的，具体可参看本节“考点梳理”栏目．在解决关于直线方程的问题中，要把握限制的条，在求解时要细心处理，否则容易产生增解或漏解的情形．如利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止忽视斜率不存在而出现漏解；利用直线的截距式解题时，要注意防止忽视零截距而造成漏解；利用直线的一般式解题时，要注意防止忽视隐含条A2＋B2≠0而出现增解．

1．若A－B＋＝0，则直线Ax＋B＋＝0必经过点（　　）

A．（0，1）B．（1，0）

．（1，－1）D．（－1，－1）

解：

将点（1，－1）代入Ax＋B＋＝0，得A－B＋＝0，

∴直线Ax＋B＋＝0必过点（1，－1）．故选

2．下列命题中，正确的是（　　）

A．直线的斜率为tanα，则直线的倾斜角是α

B．直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα

．直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大

D．直线的倾斜角α∈0，π2∪π2，π时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增

解：

因为直线的斜率＝tanθ，且θ∈[0，π）时，θ才是直线的倾斜角，所以A不对；因为任一直线的倾斜角α∈[0，π），而当α＝π2时，直线的斜率不存在，所以B不对；当α∈0，π2时，斜率大于0；当α∈π2，π时，斜率小于0，不对．故选D

3．已知直线的倾斜角为120°，在轴上的截距为－2，则此直线的方程为（　　）

A．＝3x＋2B．＝－3x＋2

．＝－3x－2D．＝3x－2

解：

∵＝tan120°＝－3，且直线在轴上的截距为－2，

∴由斜截式得＝－3x－2故选

4．已知直线l：

ax＋－2－a＝0在x轴和轴上的截距相等，则实数a的值是（　　）

A．1B．－1．－2或－1D．－2或1

解：

显然a≠0，由题意得a＋2＝a＋2a，解得a＝－2或1故选D

．将直线l沿轴的负方向平移a（a>0）个单位，再沿x轴正方向平移a＋1个单位得直线l′，此时直线l′与l重合，则直线l′的斜率为（　　）

Aaa＋1B．－aa＋1

a＋1aD．－a＋1a

解：

设直线l的倾斜角为θ，则根据题意，有tan（π－θ）＝－tanθ＝aa＋1，∴＝tanθ＝－aa＋1故选B

6．（2013•北京海淀模拟）已知点A（－1，0），B（sα，sinα），且AB＝3，则直线AB的方程为（　　）

A．＝3x＋3或＝－3x－3

B．＝33x＋33或＝－33x－33

．＝x＋1或＝－x－1

D．＝2x＋2或＝－2x－2

解：

∵AB＝（sα＋1）2＋sin2α＝2＋2sα＝3，

∴sα＝12，sinα＝±32

当点B的坐标为12，32时，直线AB的方程为＝33x＋33；当点B的坐标为12，－32时，直线AB的方程为＝－33x－33故选B

7．直线l：

xsin30°＋s10°＋1＝0的斜率是____________．

解：

由题意得直线l的斜率＝－sin30°s10°＝tan30°＝33，∴直线l的斜率为33故填33

8．若直线l的斜率为，倾斜角为α，而α∈π6，π4∪2π3，π，则的取值范围是____________．

解：

∵＝tanα，α∈π6，π4∪2π3，π，

∴－3≤<0或33≤≤1故填[－3，0）∪33，1

9．已知直线l的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求直线l的方程．

解：

设所求直线l的方程为xa＋b＝1

∵＝16，∴－ba＝16，得a＝－6b

又S＝12|a|•|b|＝3，∴|ab|＝6

联立a＝－6b，ab＝6，得a＝－6，b＝1或a＝6，b＝－1

∴所求直线方程为：

x－6＋1＝1或x6＋－1＝1，

即x－6＋6＝0或x－6－6＝0

10．已知△AB的三个顶点分别为A（－3，0），B（2，1），（－2，3），求：

（1）B边所在直线的方程；

（2）B边上中线AD所在直线的方程；

（3）B边的垂直平分线DE的方程．

解：

（1）∵直线B经过B（2，1）和（－2，3）两点，∴由两点式得B的方程为－13－1＝x－2－2－2，即x＋2－4＝0

（2）易得B边的中点D的坐标为（0，2），

∵B边的中线AD过点A（－3，0），D（0，2）两点，∴由截距式得AD所在直线方程为x－3＋2＝1，即2x－3＋6＝0

（3）由

（1）知，直线B的斜率1＝－12，

则直线B的垂直平分线DE的斜率2＝2

由

（2）知，点D的坐标为（0，2）．

由点斜式得直线DE的方程为－2＝2（x－0），

即2x－＋2＝0

11．已知直线l过点P（3，2），且与x轴、轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△AB的面积的最小值及此时直线l的方程．解法一：

设直线l的方程为xa＋b＝1（a>0，b>0），将点P（3，2）代入得3a＋2b＝1≥26ab，得ab≥24，从而S△AB＝12ab≥12，当且仅当3a＝2b时等号成立，这时＝－ba＝－23，从而所求直线l的方程为2x＋3－12＝0

解法二：

依题意知，直线l的斜率存在且<0，

可设直线l的方程为－2＝（x－3）（<0），

则A3－2，0，B（0，2－3），

S△AB＝12（2－3）3－2

＝1212＋（－9）＋4－

≥1212＋2（－9）•4－

＝12×（12＋12）＝12，当且仅当－9＝4－，即＝－23时，等号成立．

∴△AB的面积的最小值为12，所求直线l的方程为2x＋3－12＝0

已知△AB中，顶点A（4，），点B在直线l：

2x－＋2＝0上，点在x轴上，求△AB周长的最小值．

解：

设点A关于直线l：

2x－＋2＝0的对称点为A1（x1，1），点A关于x轴的对称点为A2（x2，2），连接A1A2交l于点B，交x轴于点，则此时△AB的周长取最小值，且最小值为A1A2∵A1与A关于直线l：

2x－＋2＝0对称，

∴1－x1－4×2＝－1，2×x1＋42－1＋2＋2＝0，

解得x1＝0，1＝7∴A1（0，7）．易求得A2（4，－），

∴△AB周长的最小值为A1A2＝（4－0）2＋（－－7）2＝410