（2） 导数法:
设函数y＝f（x）在某区间D内可导．如果f ′（x）>0，则f（x）在区间D内为增函数；如果f ′（x）<0，则f（x）在区间D内为减函数．
四、复合函数的单调性
五、函数的最值及其几何意义（无）
六、奇函数
如果对于一个定义域关于原点对称的函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数
1、奇函数图象关于原点
对称。
2、奇函数的定义域必须关于原点
对称，否则不能成为奇函数。
3、若
为奇函数，且在x=0处有意义，则
7、偶函数
一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意的一个x，都有f（x）=f（-x）,那么函数f（x）就叫做偶函数。
偶函数的定义域必须关于y轴对称，否则不能称为偶函数。
八、函数奇偶性的判断
先看定义域是否关于原点对称，如果不是关于原点对称,则函数没有奇偶性
若定义域关于原点对称，则f（-x）=f（x）,f（x）是偶函数f（-x）=-f（x）,f（x）是奇函数
九、函数奇偶性的性质
十、奇偶函数图像的对称性
十一、奇偶性与单调性的综合
一、函数的单调性及单调区间
1、下列函数中，单调增区间是（-∞，0]的是（ ）
A．y=-|x|
B．y=x2-2
C．y=-（x-1）
D．y=-1/x
2、函数y=6/x
的减区间是（ ）
A．[0，+∞）
B．（-∞，0]
C．（-∞，0），（0，+∞）
D．（-∞，0）∪（0，+∞）
3、函数y＝|x＋1|的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
4、在下面的四个选项中，（ ）不是函数f（x）=x2-1的单调减区间．
A．（-∞，-2）B．（-2，-1）C．（-1，1）D．（-∞，0）
5、函数y=x2+1的单调递增区间是________。
二、函数单调性的判断与证明
1、设x1，x2∈[a，b]，如果f（x1）−f（x2）/（x1−x2）＞0，则f（x）在[a，b]上是单调（ ）函数.
A.增B.减C.奇D.偶
2、下列函数中,在区间（0,+∞）上不是增函数的是（）
A.y=2x+1,B,y=3*x²+1,C,y=2/xDy=|x|
3、下列函数中，在区间（0，＋∞）上是减函数的是（ ）．
A．y＝－
B．y＝x
C．y＝x 2
D．y＝1－x
4、下列函数中，既是偶函数、又在（0，+∞）单调递增的函数是（ ）
A.y=xB.y=|x|C.y=-x2+1D.y＝−1/x
5、已知函数f（x）=3/x，则它在下列区间上不是减函数的是（ ）
A.（0，+∞）B.（-∞，0）C.（-∞，0）∪（0，+∞）D.（1，+∞）
三、函数单调性的性质
1、若函数f（x）=kx+3在R上是增函数，则k的取值范围是______．
2、y=f（x）在R上为增函数，且f（2m）＞f（-m+9），则实数m的取值范围是______．
3、若（a，b）是函数y=f（x）的单调增区间，x1，x2∈（a，b），且x1＜x2，则有（ ）
A．f（x1）＞f（x2）B．f（x1）=f（x2）C．f（x1）＜f（x2）D．以上都有可能
4、函数f（x）=x分之1在[1,正无穷）上（）
A：
有最大值无最小值B：
有最小值无最大值c：
有最大值也有最小值D无最大值也无最小值
5、若函数y=f（x）定义在[-3，4]上的递增函数，且f（2m）＞f（m-1），则实数m的取值范围是（ ）
A．（-1，2]B．（-1，+∞）C．（-1，4]D．[-1，+∞）
四、复合函数的单调性
1、函数f（x）=根号（3-2x-x^2）的单调增区间为___
2、函数f（x）=根号x^2+4x的单调增区间为__
3、函数f（x）=根号x^2-2x-3的单调增区间___
4、函数y=根号（-x^2+4x-3）的单调增区间___
5、函数f（x）=根号3-2x-x^2的单调增区间为
五、函数的最值及其几何意义
1、求函数y=x（1-3x）（0＜x＜1/3）的最大值
2、函数y=|x-1|+2的最小值点是
3、已知函数f（x）=根号下2x+1,
（1）判断函数f（x）的单调性,并证之.
（2）求函数f（x）=根号下2x+1的最值.
4、函数y=-x2-2ax（0≤x≤1）的最大值a2，则实数a的取值范围是（ ）
A．0≤a≤1B．0≤a≤2C．-2≤a≤0D．-1≤a≤0
六、奇函数
1、下列函数是奇函数的是（ ）
A．y=|x|B．y=3-x
D．y=-x2+4
2、奇函数f（x）在区间【1,4】上是减函数则它在区间【-4,-1】上是增函数还是减函数
3、若f（x）是以4为周期的奇函数,且f（-1）=a,（a≠0）,则f（5）的值等于
4、已知f（x）是R上的奇函数,则f（0）的值为
5、若奇函数f（x）满足f（3）=1,f（x+3）=f（x）+f（3）,则f（3/2）=
七、偶函数
1、定义在R上的偶函数f（x）对于任意的x∈R都有f（2+x）=-f（2-x），且f（-3）=-2，则f（2009）的值为______
2、已知定义在R上的函数f（x）是偶函数，对x∈R都有f（2+x）=f（2-x），当f（-3）=-2时，f（2013）的值为（ ）
A.-2B.2C.4D.-4
3、
4、设函数f（x）定义在R上，且f（x+1）是偶函数，f（x-1）是奇函数，则f（2003）=（ ）
A．1B．0C．2003D．-2003
八、函数奇偶性的判断
1、下列函数中不是奇函数的一个是（）
Ay=xBy=1/xCy=x+1Dy=x3
2、下列哪个函数能满足f（x）+f（-x）=0（ ）
A．f（x）=-x2+1B．f（x）=|x|C．f（x）=2x-1D．f（x）＝x+1
3、
4、
九、函数奇偶性的性质
1、函数f（x）=ax^3+bx+2,若f（100）=8,则f（-100）=
2、已知函数F（x）=ax^3+bx-2,若f（2008）=10,则f（-2008）的值为多少
3、奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为-1，则2f（-6）+f（-3）=______．
4、已知函数f（x）=ax^3-bx-1,若f（3）=-2,则f（-3）=__
5、已知函数f（x）=ax3-bx+1，a，b∈R，若f（-2）=-1，则f
（2）=______．
十、奇偶函数图像的对称性
1、函数f（x）=x3+x的图象关于（ ）
A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称
2、函数f（x）=x3的图象关于（ ）
A．y轴对称B．坐标原点对称C．直线y=x对称D．直线y=-x对称
3、函数f（x）=2x-1/x的图象关于（ ）
A．y轴对称B．x轴对称C．原点对称D．y=x对称
4、已知函数y=f（x），在同一坐标系里，函数y=f（1+x）和y=f（1-x）的图象关于直线______对称
十一、奇偶性与单调性的综合
1、若f（x）为奇函数，且在（-∞，0）上是减函数，又f（-2）=0，求x•f（x）＜0的解集．
2、已知定义域为R的函数f（x）在区间（4,+∞）上为减函数,且函数y=f（x+4）为偶函数
Af
（2）＞f（3）Bf
（2）＞f（5）Cf（3）＞f（5）Df（3）＞f（6）
答案
一、函数的单调性及单调区间
1、选项A，y=-|x|，
当x≤0时，y=x，在区间（-∞，0]内单调递增，符合题意；
选项B，y=x2-2，抛物线开口向上，对称轴x=0，
在区间（-∞，0]内单调递减，不符合题意；
选项C，y=-（x-1）=-x+1，
在区间（-∞，+∞）内单调递减，不符合题意；
选项D，y=-1/x
，x≠0，图象在第二、四象限，
在区间（-∞，0）内单调递减，不符合题意；
故选A．
2、∵函数y=6/x
的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
其图象过第一三象限，
图象的形状为双曲线，
且每一段都是下降的，
故函数y=6/x
的减区间是（-∞，0），（0，+∞），
故选：
C
D意思在这两个区间是单调减,c的意思是在这两个区间分别是单调减
3、答案：
[－1，＋∞）,（－∞，－1]
4、函数f（x）=x2-1的图象是开口方向朝上，
以y轴为对称轴的抛物线
故其在区间（-∞，0]上为减函数，在区间[0，+∞）上为增函数；
∵（-∞，-2）⊊（-∞，0]，∴（-∞，-2）是函数f（x）=x2-1的单调减区间．
∵（-2，-1）⊊（-∞，0]，∴（-2，-1）是函数f（x）=x2-1的单调减区间．
∵（-1，1）⊈（-∞，0]，∴（-1，1）不是函数f（x）=x2-1的单调减区间．
∵（-∞，0）⊊（-∞，0]，∴（-∞，0）是函数f（x）=x2-1的单调减区间．
故选C
5、函数y=x的平方+1的单调递增区间是〖0,+∞）
二、函数单调性的判断与证明
1、由题意可得：
当x1＜x2时，x1-x2＜0，
结合
f（x1）−f（x2）
x1−x2
＞0可得f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），可得函数单调递增；
同理，当x1＞x2时，x1-x2＞0，
结合
f（x1）−f（x2）
x1−x2
＞0可得f（x1）-f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2），可得函数单调递增；
综上可得函数在[a，b]上单调递增，
故选A
2、选C
A是一次函数,因为k=2＞0,所以在区间（0,+∞）是增函数
B是二次函数,因为a=3＞0,所以在区间（0,+∞）是增函数
C是反比例函数,因为k=2＞0,所以在区间（0,+∞）是减函数
D在区间（0,+∞）上实际是正比例函数y=x,所以是增函数
3、
A:
B:
增函数；C：
二次函数
在对称轴y轴右侧是增函数；D:
一次函数
是减函数。
故选D
4、y=x为一次函数，斜率为1，故在（0，+∞）上单调递增，根据奇函数的定义可知，y=x为奇函数，故A选项不符合题意；
y=|x|为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，故B选项符合题意；
y=-x2+1为偶函数，但在（0，+∞）上单调递减，故C选项不符合题意；
y=-
1
x
为奇函数，在（0，+∞）上单调递增，故D选项不符合题意．
故选B．
5、
函数f（x）=
3
x
的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
由反比例函数的单调性知：
f（x）的单调减区间为：
（-∞，0），（0，+∞），无增区间，
所以选项A，B，D都是减区间，而C，可通过特殊值验证：
比如：
x1=-1，x2=1，有x1＜x2，但f（x1）＜f（x2），
故选：
C．
三、函数单调性的性质
1、∵函数f（x）=kx+3在R上是增函数，
∴其一次系数大于0，
∴k＞0，
故答案为：
k＞0．
2、y=f（x）在R上为增函数，
且f（2m）＞f（-m+9），
则2m＞-m+9，
解得，m＞3，
故答案为：
（3，+∞）．
3、∵函数y=f（x）在（a，b）上单调递增，
∴由增函数的定义可得，当x1，x2∈（a，b），且x1＜x2时，f（x1）＜f（x2）．
故选C．
4、f（1/x）在x>=1单调减,最大值为f
（1）=1,
而当x为无穷时,f（x）趋于0,但不能取到0,因此没有最小值.
选A
5、根据题意，对于f（2m）＞f（m-1），
由函数y=f（x）的定义域是[-3，4]，则有-3≤2m≤4，-3≤m-1≤4，
又由函数y=f（x）为增函数，则有2m＞m-1；
联立有
−3≤2m≤4
−3≤m−1≤4
2m＞m−1
，解可得-1＜m≤2，
则m的取值范围是（-1，2]；
故选A．
四、复合函数的单调性
1、由被开方数大于等于0,得x属于[-3,1].
再求3-2x-x^2的顶点坐标,X=-1.
综合答案为（-3,-1）.
2、f（x）=√（x^2+4x）因为x^2+4x≥0,所以定义域为（-∞,-4）∪（0,+∞）在由复合函数单调性知；f（x）=√（x^2+4x）的单调增区间为（0,+∞）
3、f（x）=√（x^2-2x-3）
x^2-2x-3≧0==》x≧3或x≤-1
因为：
二次函数y=x^2-2x-3在（-∞,-1】上单调递减,在【3,+∞）上单调递增
所以：
f（（x）=√（x^2-2x-3）的单调增区间为【3,+∞）.
4、先求定义域-x²+4x-3≥0
x²-4x+3≤0
（x-1）（x-3）≤0
1≤x≤3
这个函数由y=√t和t=-x²+4x-3复合而成
因为y=√t是增函数,
所以要使t=-x²+4x-3递增
所以t=-x²+4x-3在（-∞,2]上递增
因为1≤x≤3
所以递增区间是[1,2]
5、由被开方数大于等于0,得x属于[-3,1].
再求3-2x-x^2的顶点坐标,X=-1.
综合答案为（-3,-1）.
五、函数的最值及其几何意义
1、
（2）二次函数：
y=x（1-3x）=-3x^2+x=-3（x-1/6）^2+1/12
函数在（0,1/6）上是增函数,（1/6,1/3）上是减函数
当x=1/6是最大,为1/12.
2、因为y>=2
所以取最小值时,x-1=0
此时x=1
3、
（1）
f（x）是增函数
下面证明：
定义域2x+1≥0,得x≥-1/2
任取-1/2≤x1＜x2,
f（x2）-f（x1）=√（2x2+1）-√（2x1+1）
=2（x2-x1）/[√（2x2+1）+√（2x1+1）]
因为x1＜x2
所以x2-x1＞0,
又√（2x2+1）+√（2x1+1）＞0
所以f（x2）-f（x1）＞0
即f（x2）＞f（x1）
所以f（x）是增函数
（2）
又
（1）知f（x）在x≥-1/2为增函数
所以f（x）=√（2x+1）≥f（-1/2）=0
所以f（x）的最小值为0
4、∵y=-x2-2ax=-（x+a）2+a2，
∴函数的对称轴x=-a，
又∵0≤x≤1且函数的最大值是a2，
∴0≤-a≤1，即-1≤a≤0．
故选D．
六、奇函数
1、
2、是减函数
因为f（x）的图像关于原点对称
所以在原点两旁的区间单调性相同.
所以在区间【-4,-1】是减函数
【偶函数关于y轴对称,原点两旁的单调性相反】
3、f（-1）=-f
（1）
则：
f
（1）=-a,由于f（x）是以4为周期得函数,所以f（5）=f
（1）=-a
4、0
5、f（3）=1,f（x+3）=f（x）+f（3）
所以f（x+3）=f（x）+1
令x=-3/2
f（3/2）=f（-3/2）+1
奇函数则f（3/2）=-f（3/2）+1
f（3/2）=1/2
七、偶函数
1、∵f（2+x）=-f（2-x），f（-x）=f（x），∴f[2+（2+x）]=-f[2-（2+x）]=-f（-x）=-f（x），∴f（8+x）=f（x），∴f（x）是以8为周期的函数；∴f（2009）=f（251×8+1）=f
（1）=f（-1）=-f（3）=-f（-3）=2．
故答案为：
2．
2、∵f（x）是R上的偶函数，
∴f（-x）=f（x）；
又对x∈R都有f（2+x）=f（2-x），
∴f（2+（x-2））=f（2-（x-2）），
f（x）=f（4-x）；
∴f（-x）=f（4+x），
∴f（x）=f（4+x），
∴f（x）是以4为周期的函数；
当f（-3）=-2时，f（2013）=f（504×4-3）=f（-3）=-2；
故选：
A．
3、
4、函数f（x）定义在R上，且f（x+1）是偶函数，f（x-1）是奇函数，
可得f（-1）=0且函数f（x）的图象关于x=1成轴对称，关于（-1，0）成中心称
由此知函数的周期是8
故f（2003）=f（3）=f（-1）=0
故选B
八、函数奇偶性的判断
1、C
2、
3、
4、
九、函数奇偶性的性质
1、函数f（x）=ax^3+bx+2,
若f（100）=8,
a×100³+b×100+2=8;
a×100³+b×100=6;
则f（-100）=-a×100³-100b+2=-6+2=-2;
2、f（2008）=a*2008³+2008b-2=10,所以a*2008³+2008b=12
于是,f（-2008）=-a*2008³-2008b-2=-14
3、f（x）在区间[3，6]上也为递增函数，即f（6）=8，f（3）=-1
∴2f（-6）+f（-3）=-2f（6）-f（3）=-15
故答案为：
-15
4、分析，
f（x）=ax³-bx-1
f（3）=27a-3b-1
∴27a-3b=f（3）+1
f（-3）=-27a+3a-1
=-（27a-3a）-1
=-[f（3）+1]-1
=-f（3）-2
又，f（3）=-2
∴f（-3）=0
5、∵f（x）=ax3-bx+1，
∴f（-2）=-8a+2b+1=-1，①
而设f
（2）=8a-2b+1=M，②
∴①+②得，M=3，即f
（2）=3，
故答案为：
3．
十、奇偶函数图像的对称性
1、∵f（-x）=-x3-x=-f（x），
∴函数f（x）=x3+x为奇函数，
∵奇函数的图象关于原点对称，
故选C．
2、∵f（-x）=-x3=-f（x），
∴函数f（x）=x3+x为奇函数，
∵奇函数的图象关于原点对称，
故选B．
3、
4、由于函数y=f（x）和y=f（-x）的图象关于直线x=0对称
函数y=f（1+x）的图象可由函数y=f（x）的图象左移一个单位得到，函数y=f（1-x）=f（-（x-1））图象可由y=f（-x）的图象右移一个单位得到
所以函数y=f（1+x）和y=f（1-x）的图象关于直线x=0对称
故答案为x=0
十一、奇偶性与单调性的综合
1、
∵f（x）为奇函数，f（-2）=0，
∴f
（2）=0；
又∵f（x）在（-∞，0）上是减函数，
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数（奇函数在对称区间上具有相同的单调性），
由其图象可求得：
①当x＜-2时，f（x）＞f（-2）=0，故x•f（x）＜0；
②当x＞2时，f（x）＜f（-2）=0，故x•f（x）＜0；
∴x•f（x）＜0的解集为：
{x|x＜-2或x＞2}．
2、
y=f（x+4）为偶函数,则函数f（x）图像向左平移4单位后关于y轴对称，
那么说明函数f（x）的图像关于x=4对称
f
（2）=f（6）;f（3）=f（5）
又因为函数f（x）在（4,正无穷）上为减函数
所以应有：
f（6）=f
（2）
3、
4、
5、
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