北京市石景山高三一模数学理试题及答案.docx

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北京市石景山高三一模数学理试题及答案

北京市石景山区2013届高三统一测试

数学（理）试题

本试卷共150分，考试时长120分钟，请务必将答案答在答题

卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．

第Ⅰ卷（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．设集合M={x|x2≤4），N={x|log2x≥1}，则M

N等于（）

A．[-2，2]B．{2}C．[2，+

）D．[-2,+）

2．若复数（a－i）2在复平面内对应的点在y轴负半轴上，则实数a的值是（）

A．1B．-1C．D．-

3．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量=（m，n），=（3，6），则向量与共线的概率为（）

A．B．

C．D．

4．执行右面的框图，输出的结果s的值为（）

A．-3B．2

C．D．

5．如图，直线AM与圆相切于点M,ABC与ADE是圆的两条割线，且BD⊥AD，连接MD、EC。

则下面结论中，错误的结论是（）

A．∠ECA=90o

B．∠CEM=∠DMA+∠DBA

C．AM2=AD·AE

D．AD·DE=AB·BC

6．在（2x2－）5的二项展开式中，x的系数为（）

A．-10B．10

C．-40

D．40

7．对于直线l：

y=k（x+1）与抛物线C：

y2=4x，k=±1是直线l与抛物线C有唯一交点的（）条件

A．充分不必要B．必要不充分C．充要条件D．既不充分也不必要

8．若直角坐标平面内的两点p、Q满足条件：

①p、Q都在函数y=f（x）的图像上；②p、Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（注：

点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”）．

已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有（）对．

A．0B．1C．2D．3

第Ⅱ卷（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．直线2psin=1与圆=2cos相交弦的长度为。

10．在△ABC中，若∠B=，b=，则∠C=。

11．在等差数列{an}中，al=-2013，其前n项和为Sn，若=2，则的值等于。

12．某四棱锥的三视图如图所示，

则最长的一条侧棱长度是。

13．如图，在矩形ABCD中，AB=BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·=，则·的值是____．

14．对于各数互不相等的整数数组（i1，i2，i3，…，in）（n是不小于3的正整

数），若对任意的p，q∈{1,2，3，…，n}，当piq，则称ip，

iq是该数组的一个“逆序”．一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组（2，3，1）的逆序数等于2．则数组（5，2，4，3，1）的逆序数等于；若数组（i1，i2，i3，…，in）的逆序数为n，则数组（in，in－l…，i1）的逆序数为．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．（本小题满分13分）

已知函数f（x）=sin（2x+）+cos2x．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间。

（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知f（A）=，a=2，B=，求△ABC的面积．

16．（本小题满分13分）

PM2．5指大气中直径小于或等于2．5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．PM2．5日均值在35微克／立方米以下空气质量为一级：

在35微克／立方米～75微克／立方米之间空气质量为二级；在75微克／立方米以上空气质量为超标．

石景山古城地区2013年2月6日至I5日每天的PM2．5监测数据如茎叶图所示．

（Ⅰ）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天PM2．5日均监测数据未超标的概率；

（Ⅱ）小王在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2．5监测数据均未超标．请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率；

（Ⅲ）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求的分布列及期望．

17．（本小题满分14分）

如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90o，PD⊥平面ABCD，AD=1，AB=，BC=4。

（I）求证：

BD⊥PC；

（II）求直线AB与平面PDC所成的角；

（Ⅲ）设点E在棱PC上，，若DE∥平面PAB，求的值．

18．（本小题满分13分）

已知函数f（x）=ax－1－1nx，aR．

（I）讨论函数f（x）的单调区间：

（II）若函数f（x）在x=l处取得极值，对x∈（0，+），f（x）≥bx－2恒成立，求实数b的取值范围．

19．（本小题满分14分）

设椭圆C：

=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足，且AB⊥AF2．

（I）求椭圆C的离心率；

（II）若过A、B、F2三点的圆与直线l：

x=0相切，求椭圆C的方程；

（Ⅲ）在（II）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，线段MN的中垂线与x轴相交于点P（m，O），求实数m的取值范围。

20．（本小题满分13分）

给定有限单调递增数列{xn}（n∈N*，n≥2）且xi≠0（1≤i≤n），定义集合A={（xi，xj）|1≤i，j≤n，且i，j∈N*}．若对任意点A1∈A，存在点A2∈A使得OA1⊥OA2（O为坐标原点），则称数列{xn}具有性质P。

（I）判断数列{xn}：

-2，2和数列{yn}：

-2，-l，1，3是否具有性质P，简述理由。

（II）若数列{xn}具有性质P，求证：

①数列{xn}中一定存在两项xi，xj使得xi+xj=0：

②若x1=-1,xn>0且xn>1，则x2=l。

（Ⅲ）若数列{xn}只有2013项且具有性质P，x1=-1，x3=2，求{xn}的所有项和S2013．