北京市石景山区届高三统一测试一模数学文.docx
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北京市石景山区届高三统一测试一模数学文
2019年石景山区高三统一测试
数学（文）试卷
考生须知
1．本试卷共5页，共三道大题，20道小题，满分150分．考试时间120分钟．
2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题请用2B铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效．
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.设集合
，集合
，则
（）
A．
B．
C．
D．
2.下列函数中既是奇函数，又在区间
上是单调递减的函数为（）
A．
B．
C．
D．
3.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）
A．
B．
C．
D．
4.设
满足约束条件
则下列不等式恒成立的是（）
A.
B.
C.
D.
5.已知平面向量
满足
，
与
的夹角为
，若
，则
实数
的值为（）
A．
B.
C．
D．
6.“
”是“
”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7.若某多面体的三视图（单位：
）如图所示，
则此多面体的体积是（）
A.
B.
C.
D.
8.如图，已知线段
上有一动点
（
异于
）,线段
且满足
（
是大于
且不等于
的常数），则点
的运动轨迹为（）
A．圆的一部分B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9.复数
=___________.
10.双曲线
的焦距是________,渐近线方程是_____________.
11.若圆
的半径为
，其圆心与点
关于直线
对称，则圆
的标准方程为________________________.
12.在
中，
，
，
，则
的面积等于________．
13.在等差数列
中
，如果
是
与
的等比中项，那么
_____．
14.已知函数
.
①当
时，函数
的零点个数为__________；
②如果函数
恰有两个零点，那么实数
的取值范围为__________．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题共13分）
已知函数
.
（Ⅰ）求函数
的最小正周期;
（Ⅱ）求函数
在区间
上的最小值和最大值.
16．（本小题共13分）
在等差数列
中，
，其前
项和
满足
.
（Ⅰ）求实数
的值，并求数列
的通项公式；
（Ⅱ）若数列
是首项为
，公比为
的等比数列，求数列
的前
项和
.
17．（本小题共13分）
抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班内
20名同学今年春节期间抢到红包金额
（元）如下（四舍五入取整数）：
102524112172
162502215846
431369519259
9922689879
对这20个数据进行分组，各组的频数如下：
组别
红包金额分组
频数
A
0≤x＜40
2
B
40≤x＜80
9
C
80≤x＜120
m
D
120≤x＜160
3
E
160≤x＜200
n
（Ⅰ）写出m，n的值，并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别；
（Ⅱ）记C组红包金额的平均数与方差分别为
、
，E组红包金额的平均数与方差分别为
、
，试分别比较
与
、
与
的大小；（只需写出结论）
（Ⅲ）从A，E两组所有数据中任取2个，求这2个数据差的绝对值大于100的概率．
18．（本小题共14分）
如图，在三棱锥
中，已知
是正三角形，
平面
，
，
为
的中点，
在棱
上，且
．
（Ⅰ）求三棱锥
的体积；
（Ⅱ）求证：
平面
；
（Ⅲ）若
为
中点，
在棱
上，且
，
求证：
//平面
．
19．（本小题共13分）
已知椭圆E:
的离心率
，焦距为
．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若
分别是椭圆E的左、右顶点，动点
满足
，连接
，交椭圆E于点
．证明：
为定值（
为坐标原点）．
20．（本小题共14分）
设函数
，
．
（Ⅰ）当
时，求函数
的极小值；
（Ⅱ）讨论函数
零点的个数；
（Ⅲ）若对任意的
，
恒成立，求实数
的取值范围．
2019年石景山区高三统一测试
数学（文）试卷答案及评分参考
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
B
C
D
A
A
B
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
题号
9
10
11
12
13
14
答案
三、解答题共6小题，共80分．
15.（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）
………………5分
所以周期为
.………………6分
（Ⅱ）因为
，
所以
.………………7分
所以当
时，即
时
.
当
时,即
时
.…………13分
16.（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）设等差数列
的公差为
，
因为
，………………2分
所以
，所以
.………………4分
所以
，所以
.
所以
.………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，
所以
.
所以
.………………9分
所以
………………13分
（本小题13分）
解：
（Ⅰ）m=4，n=2，B；………………3分
（Ⅱ）
<
，
<
；………………6分
（Ⅲ）A组两个数据为22，22，E组两个数据为162，192
任取两个数据，可能的组合为
（22，22），（22，162），（22，192），（22，162），（22，192），（162，192），
共6种结果
记数据差的绝对值大于100为事件A，事件A包括4种结果
所以
.………………13分
18.（本小题14分）
解：
（Ⅰ）因为
是正三角形，且
，
所以
．………………2分
又
⊥平面
，………………3分
故
S△BCD
．………………4分
（Ⅱ）在底面
中，取
的中点
，连接
，
因
，故
．
因
，故
为
的中点．
又
为
的中点，故
∥
，
故
．……5分
因
平面
，
平面
，
故平面
平面
．
是正三角形，
为
的中点，
故
，
故
平面
．………………7分
平面
，故
．………………8分
又
，故
平面
．………………9分
（Ⅲ）当
时，连
，设
，连
．
因
为
的中点，
为
中点，
故
为△
的重心，
．………………10分
因
，
，故
，
所以
∥
．………………12分
又
平面
，
平面
，所以
∥平面
．……14分
19.（本小题13分）
（Ⅰ）解：
因为
，所以
．………………1分
因为
，所以
．………………3分
因为
，所以
．………………4分
所以椭圆方程为
．………………5分
（Ⅱ）方法一：
证明：
C（－2，0），D（2，0），
设
，
则
＝
，
＝
．………………7分
直线CM：
，即
．………………8分
代入椭圆方程
，
得
，
所以
．………………10分
所以
．
所以
＝
．………………12分
所以
·
＝
．
即
·
为定值．………………13分
方法二：
设
，
由
可得
，即
.
∵点
在
上
∴
.
∴
.
∴
为定值
.
方法三：
因为直线
不在
轴上，故可设
.
由
得
，
∴
，即
．
在直线
中令
，则
，即
．
∴
.
∴
为定值
.
20.（本小题14分）
解：
（Ⅰ）因为
，
所以当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增；
所以当
时，
取得极小值
．………………3分
（Ⅱ）
，
令
，得
．
设
，则
．
所以当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减；
所以
的最大值为
，又
，可知：
①当
时，函数
没有零点；
②当
或
时，函数
有且仅有1个零点；
③当
时，函数
有2个零．……………9分
（Ⅲ）原命题等价于
恒成立．
.
设
，
则
等价于
在
上单调递减．
即
在
上恒成立，
所以
恒成立，
所以
．
即
的取值范围是
．………………14分
【注：
若有其它解法，请酌情给分】
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