word完整版小升初数学完整版工程问题.docx

word完整版小升初数学完整版工程问题.docx

《word完整版小升初数学完整版工程问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《word完整版小升初数学完整版工程问题.docx（11页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

word完整版小升初数学完整版工程问题

工程问题

工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。

它是函数一一对应思想在应用题中的有力渗透。

工程问题也是教材的难点。

工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。

因此，让学生理解工作总量、工作时间、工作效率之间的概念及它们之间的数量关系是重点。

在教学中充分发挥学生的主体地位，运用学生已有的知识“包含除”来解决合作问题。

在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是——工作量=工作效率×时间.

在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”

教学目标

知识目标：

理解比较抽象的工作总量、工作效率、工作时间的数量关系。

使学生认识工程问题的特点，掌握其数量关系、解题思路和方法，能应用其基本方法解决一些简单的实际问题．

能力目标：

运用所学的知识解决生活中的实际问题，进一步提高学生解决问题的能力。

掌握一般工程问题的结构特征。

学会解题方法，会正确解答一般的工程问题。

情感目标：

进一步培养独立思考、主动与他人合作交流、自觉检验等学习习惯，获得一些成功的体验，增强学好数学的信心。

在解答问题的过程中，逐步培养学生观察、比较、类推的能力及创新意识。

教学重点：

学会解题方法，会正确解答一般的工程问题。

教学难点：

理解比较抽象的工作总量、工作效率、工作时间的数量关系。

工程问题分类

一、两个人的问题（“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体）.

例1一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？

解一：

甲每天完成1/9，乙每天完成1/6。

甲先做了3天，即做了整个工作的3/9，还剩下6/9，则乙完成剩余工作的天数为：

6/9÷1/6＝4

答：

乙需要做4天可完成全部工作.

解二：

甲与乙的工作效率之比是

6∶9=2∶3.

甲做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）

变式训练

1、一项工程，甲独做要12天完成，乙独做要18天完成，二人合做多少天可以完成这件工程的2/3？

2、修一条路，甲单独修需16天，乙单独修需24天，如果乙先修了9天，然后甲、乙二人合修，还要几天？

3、一项工程，甲队独做15天完成，乙队独做12天完成。

现在甲、乙合作4天后，剩下的工程由丙队8天完成。

如果这项工程由丙队独做，需几天完成？

例2一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？

解：

共做了6天后，

原来，甲做24天，乙做24天，

现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.

这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率

如果乙独做，所需时间是

如果甲独做，所需时间是

答：

甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.

变式训练

1、一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。

甲、乙合做几天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了16天。

乙请假多少天？

2、加工一批零件，甲单独做20天可以完工，乙单独做30天可以完工。

现两队合作来完成这个任务，合作中甲休息了2.5天，乙休息了若干天，这样共14天完工。

乙休息了几天？

3、两列火车同时从甲、乙两地同时相对开出。

快车行完全程需要20小时，慢车行完全程需要30小时。

开出后15小时两车相遇。

已知快车中途停留4小时，慢车停留了几小时？

例3一项工程，甲、乙两队合做每天能完成全工程的

。

甲队独做3天，乙队独做5天后，可完成全工程的

。

如果全工程由乙队单独做，多少天可以完成？

变式训练

1、甲、乙两队合作，20天完成一项工程。

如果两队合作8天后，乙队再独做4天，还剩下这项工程的

。

甲、乙两队独做各需几天完成？

2、一项工程，甲乙合做全工程的

，剩下的由甲单独完成，甲一共做了10.5天.这项工程由甲单独做需要15天，如果由乙单独做，需要多少天？

3、一项工程，甲乙两队合作30天完成，甲乙先合作2天后，乙再独做10天完成这项工程的

例4、某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？

解：

先对比如下：

甲做63天，乙做28天；

甲做48天，乙做48天.

就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的

甲先单独做42天，比63天少做了63-42=21（天），相当于乙要做

因此，乙还要做

28+28=56（天）.

答：

乙还需要做56天.

变式训练

1、一项工程，甲先单独做2天，然后与乙合做7天，这样才能完成全工程的一半。

已知甲、乙工效的比是2:

3。

如果这项工程由乙单独做，需要多少天才能完成？

2、

例5一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？

解一：

如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是

由于两队休息期间未做的工作量是

乙队休息期间未做的工作量是

乙队休息的天数是

答：

乙队休息了5天半.

解二：

设全部工作量为60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份.

两队休息期间未做的工作量是

（3+2）×16-60=20（份）.

因此乙休息天数是

（20-3×3）÷2=5.5（天）.

解三：

甲队做2天，相当于乙队做3天.

甲队休息3天，相当于乙队休息4.5天.

如果甲队16天都不休息，只余下甲队4天工作量，相当于乙队6天工作量，乙休息天数是

16-6-4.5=5.5（天）.

变式训练

1、一项工程，甲、队独做10天可以完成，乙队独做30天可以完成。

现在两队合作期间甲队休息了2天，乙队休息了8天（两队不在同一天休息）。

从开始到完工共用了多少天？

2、一项工程，甲单独做完要50天，乙单独做完要60天.两人合做，甲每做3天休息1天，乙每做5天休息1天，完成全部工作需要多少天？

3、一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。

甲、乙合做几天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了16天。

乙请假多少天？

例6有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？

解：

设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数），张每天完成4份，李每天完成3份.

8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-4×8）份.由张、李合作需要

（60-4×8）÷（4+3）=4（天）.

8+4=12（天）.

答：

这两项工作都完成最少需要12天.

这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理.但是，“整数化”并不能使所有工程问题的计算简便.例8就是如此.例8也可以整数化，当求出乙每

有一点方便，但好处不大.不必多此一举.

变式训练

1、某工程先由甲单独做40天，再由乙做28天可以完成.现在甲乙合做35天就完成了.如果先由甲单独做30天，再由乙接着做，乙还要工作多少天才能完成？

2、

二、多人的工程问题（我们说的多人，至少有3个人，当然多人问题要比2人问题复杂一些，但是解题的基本思路还是差不多）

例9一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？

解：

设这件工作的工作量是1.

甲、乙、丙三人合作每天完成（

）

=

减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成

答：

甲一人独做需要90天完成.

例10某项工作，甲组3人8天能完成工作，乙组4人7天也能完成工作.问甲组2人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作？

解一：

设这项工作的工作量是1.

甲组每人每天能完成

乙组每人每天能完成

甲组2人和乙组7人每天能完成

答：

合作3天能完成这项工作.

二、多人的工程问题

例11一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？

解：

甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天）.

说明甲做了2天，乙做了2×3=6（天），丙做2×6=12（天），三人一共做了2+6+12=20（天）.

答：

完成这项工作用了20天.

本题整数化会带来计算上的方便.12，18，24这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设全部工作量为72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.总共用了

例12一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？

解：

丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.

他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲需要

答：

甲独做需要26天.

例13制作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间一起做，需要8天才能完成.现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个.问丙车间制作了多少个零件？

解一：

仍设总工作量为1.

乙的工效：

丙的工效：

三人合作完成需要的天数：

（天）

甲车间比乙车间多做的分率：

总工作量：

2400

=18000（个）

丙车间的个数：

18000

（

）=4200（个）

答：

丙车间制作了4200个零件.

例14搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？

解：

设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2，所需时间是

答：

丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时.

解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为60.甲每小时搬运6，乙每小时搬运5，丙每小时搬运4.

三人共同搬完，需要

60×2÷（6+5+4）=8（小时）.

甲需丙帮助搬运

（60-6×8）÷4=3（小时）.

乙需丙帮助搬运

（60-5×8）÷4=5（小时）.

三、水管问题

从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了.因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同.

例15甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水池.现在，先打开甲管，10分钟后打开乙管，经过3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入0.6立方米水，这个水池的容积是多少立方米？

两管齐开3分钟所注水量：

单开甲管10分钟所注的水量：

甲管的工效：

乙管工效：

蓄水池容积：

27（立方米）

答：

水池容积是27立方米.

课后练习提升

1.做一件工程，甲独做需要12小时完成，乙独做需要18小时完成，甲乙合做1小时后，然后由甲工作1小时，再由乙工作1小时，……两人如此交替工作，完成任务还需多少时间？

2.加工一批零件，甲、乙两人合做1小时，完成了这批零件的

，乙、丙两人接着生产1小时，又完成了

，甲、丙又合做2小时，完成了

.剩下的任务，甲、乙、丙三人合做，还要多少小时完成？

3.甲、乙两人从两地出发相对而行，甲走完全程要8小时，乙走完全程要6小时.两人同时出发1.5小时后，乙返回出发点用半小时取东西后再出发.乙再出发后过几小时两人相遇？

4.原计划用24个工人挖一定数量的土方，按计划工作5天后，因为调走6人，于是剩下的工人每天比原定工作量多挖1方土才能如期完成任务.原计划每人每天挖土多少方？

5.甲、乙两项工程分别由一、二队来完成.在晴天，一队完成甲工程需要12天，二队完成乙工程需要15天；在雨天，一队的工作效率要下降40％，二队的工作效率要下降10％.结果两队同时完成这两项工程，那么，在施工的日子里，雨天有多少天？

6.加工同一个零件，王师傅需要2小时，工人小张需要3小时，工人小李需要4小时，现在有这种零件143个，如果三个人同时加工，各要加工多少个零件才能同时完成任务？

7.师徒三人合作承包一项工程，4天能够全部完成.已知师傅单独做所需的天数与两个徒弟合作做所需的天数相等；而师傅与乙徒弟合作做所需的天数的2倍与甲徒弟单独做完所需的天数相等.那么甲徒弟单独做，完成这项工程需要多少天？

乙徒弟单独做，完成这项工程需要多少天？

8.甲、乙、丙三人共同完成一项工作，5天完成了全部工作的

，然后甲休息了3天，乙休息了2天，丙没有休息.如果甲一天的工作量是丙一天的工作量的3倍，乙一天的工作量是丙一天的工作量的2倍，那么这项工作，从开始算起是第几天完成的？

9.一个装满了水的水池有一个进水管和三个口径相同的出水管.如果同时打开进水管和一个出水管，则30分钟能把水池的水排完；如果同时打开进水管和两个出水管，则10分钟能把水池的水排完.关闭进水管并且同时打开三个出水管，需要多少分钟才能排完水池的水？

10.一个蓄水池底部有一裂缝，上面有甲、乙、丙三个进水管，空池时，如果只开甲、乙两管，12小时可灌满；只开甲、丙两管10小时可灌满；只开甲管15小时可灌满.把裂缝堵住以后，只开乙、丙两管需要多少小时把空池灌满？

14.一项工程，甲单独做完要50天，乙单独做完要60天.两人合做，甲每做3天休息1天，乙每做5天休息1天，完成全部工作需要多少天？