《高等代数》学习笔记.docx
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《高等代数》学习笔记
《高等代数（上）》：
学习笔记
这是我自学的笔记做成的电子档，其中有许多注释，尽量深入浅出，以供大家学习。
有些笔误也修正差不多了。
课本和王德明老师的符号略有不同，但意思是一样的，祝大家都能通过考试。
第一章行列式
§.1定义
这是三元线性方程组
§.2逆序数
§.3n阶行列式的代数和
§.4行列式性质
1、行列式转置值不变：
2、k可以乘上某行（列）:
3、加法：
某行之和展开为两行列式之和:
4、互换两行（列）:
负号
5、两行相同（成比例）：
零值
6、某行乘以k加到另一行：
值不变
代数余子式
余子式：
删去i,j所在的行与列后得到的n-1阶行列式
§.6范德蒙行列式
第二章线性方程组
§.1克莱姆法则
只有当常数项b不全为零时，且s=n时才可用克莱姆法则
§•2消元法
初等变换：
反复对方程进行row变换，最后剩下一个上三角矩阵。
如果线性方程组，则初等变换后的上三角矩阵，元首都不为0。
§.4n维向量
n维基本向量组
向量组等价：
§.5线性相关
由向量组线性表出
线性组合
rank=n，有唯一解
rank充要
充要
充要
线性相关
有解可线性表出
系数矩阵
增广矩阵
亠互相线性表出
§.6秩
rank=极大线性无关组的向量个数
§.7求全部解和基础解系的步骤详见书P154-155页例6
第一步：
求梯阵
增广矩阵
-初等变换
梯阵
第二步:
求一般解
求
的-
「般解
注：
如果是求矩阵化和求特征值，
第三步:
求特解Y
设自由
，求
-Y
只需求基础解系，又称特征向量
n-r个
第四步:
求齐次的一般解
使常数
，求
1一般解
第五步:
求基础解系
将代入自由，
即
求基础解系
即n维基本向量组
第六步:
答：
得全部解
全部解特解
基础解系
1
第三章矩阵
附1：
矩阵名词汇总：
方阵：
系数矩阵：
增广矩阵：
b即系数
梯阵：
左下
左下：
对角线左三角形
约化梯阵：
左下，元首
三角矩阵：
左下，
对角矩阵：
除对角线，
余为对角线上的元素
单位矩阵：
，对角
零矩阵：
，全
数量矩阵：
转置矩阵：
分块矩阵：
满秩矩阵：
Rank即矩阵的秩
逆矩阵：
伴随矩阵：
等价矩阵：
初等变换
初等矩阵：
初等变换一次
正交矩阵：
相似矩阵：
=
约当形矩阵：
二次形矩阵：
详看
实对称矩阵：
实数，对角线对称
（半）正定矩阵：
全
入即特征值
（半）负定矩阵：
全
不定矩阵：
不全
标准形矩阵：
对角线
附2：
一般n维线性方程组、sxn隹矩阵、n维向量组的表示法
注：
全为0时，称齐次线性方程组不全为0时，称非齐次线性方程组
注：
s为行数，n为列数（未知数个数）
附：
有的书行数用m表示
注：
这个既可理解为：
基础解系的系数也可以理解为：
矩阵对角化后对角线的元素还可以理解为：
二次型的特征值（同上句）
附：
本书中用拉丁字母表示向量（或称矢量，但王老师或某书中用“”表示，我认为不错，不易混淆。
§.1矩阵运算
1、加（减）法：
性质：
交换律：
结合律：
各个元素对应相加（减），即
2、乘法：
201=5
X+X+X
例：
注：
A的|row|=B的|column|
性质：
不一定
（当，称可交换）
结合律：
k次幕：
非交换律：
§.2分块
分块后矩阵的基本运算依然等价
详见书P183页AB
§.3逆矩阵
伴随矩阵：
求逆公式:
§.4等价矩阵
初等变换
等价矩阵：
初等矩阵：
由做次初等变换
标准形：
同时做行、列变换，对角线为1的个数=r
行变换
1、求aij的代数余子式州
2、对应的元素要转置
附：
这是一个求逆的简便方法，但易岀错,
3阶矩阵建议用求逆公式。
用单位矩阵求逆：
§.5正交矩阵
性质:
例:
向量组的内积
内积公式
内积性质:
分配律:
结合律:
交换律:
正交化:
线性无关，求正交化的
又称正交向量组，
一定线性无关
任意两行或列的内积必为o
的公式
详见书
P219页例1
施密特正交化方法
附：
由于向量通常是指列向量,如把改更易理解，谨记！
单位化化）
正交向量组
注:
正交单位向量组
这里我设
第四章矩阵的对角化
§.1相似矩阵
1、反身性：
2、对称性：
3、传递性：
4、行列式等值：
5、同时可逆or不可逆
6、
11、有相同的特征多项式
12、有相同的特征值
13、有相同的迹（即对角线元素个数）
8、
9、
10、
对角矩阵:
准对角矩阵：
注：
这里的A是指分块矩阵，不是代数余子式
6
§.2特征值和特征向量
特征多项式
第二步：
求入的解
注：
考虑是在Q、R、C数域范围内，特征根的个数不同
将代入，求基础解系见§2.7第五步
第四步：
答：
得特征向量
属于的特证向量:
属于的特证向量:
等价于基础解系，只是表示方法略不同
§.3对角化条件A与对角矩阵相似，称A对角化
条件注：
X,即A的特征向量构成的矩阵，X不是唯一的。
充要：
有n个线性无关的特征向量,
第四步：
求单位化见§3.5
第六步：
得正交矩阵T=
第五步：
重复第二、三、四步，with
注：
有时候会有重复个相同的特征
值的特征向量
§.1二次型及矩阵表示
第五章二次型
二次齐次多项式I1设，得（注：
系数是左等式的一半）
合同矩阵:
这A是二次型矩阵，且一定是对称矩阵
注：
合同的不一定相似
性质:
1、反身性2、对称性3、传递性
§.2正交替换化为标准形步骤
详见书P275-277页例1
第一步：
化为二次形矩阵将二次齐次多项式写成二次形矩阵
第五步：
重复三、四步，with
第六步：
将全部单位化向量表示为正交矩阵T
§.4规范形
都可替换为
任意二次型标准形
一定是对角矩阵，且不是唯一的，原二次型r=对角非零元素个数
一定是对角矩阵，是唯一的，原二次型r=对角非零元素个数
这是规范形，是平方和形式
§.5正定二次型
正定矩阵：
即
负定矩阵：
即半正定矩阵：
即半负定矩阵：
即不定矩阵：
即
所有的主子式|所有的奇阶主子式|
且偶阶主子式|
第八章线性空间
§•1定义与性质
线性空间条件
性质：
1、交换律：
2、结合律：
3、零律：
4、负律：
丫丫
注：
元素不一定是
注：
即
Y
称V为数域P上的线性空间
5、壹律：
6、结合律：
7、向量分配律：
8、数量分配律：
注:
”即向量加法，””即向量乘法，但这只是为了区别通常加（乘）法，所以有时用普通符号”；””””表示也可以的
11、都可由部分向量组（线性无关）线性表出，后者称极大线性无关组
12、中，每个不能被（即前面向量组）线性表出，线性无关（且）
等价等价
13、向量组中，任一极大线性无关组原向量组另一个极大线性无关组
14、线性无关组，其秩
15、
可由
线性表出，则秩
相等;
向量组等价，
则秩相等；
秩相等且
可由
线性表出，则向量组等价。
无限维线性空间：
V中有任意多个线性无关的向量
n维线性空间：
V中有n个向量线性无关，但当n+1个向量时线性相关
零空间：
维数
§.3维数、基、坐标
注：
此定义雷似极大线性无关组
V是n维的条件:
V中任意向量都可由线性表出
坐标
F
V的任意向量
基
矩阵表示换个字母
V中任意向量
TT
基坐标
另组基
另组坐标
附加说明：
对于这种常见的线性表岀，已岀现多次，它们的性质意义是一样的，只是叫法不同，应该提升到一个规律性的认识。
为书写简便，定义符号：
（自创，考试勿用）
表示，表示
§.4基变换与坐标变换
基变换存在如下关系：
矩阵表示
简写
另组基
I一过滤矩阵
基变换公式
推出
称由基到另一组基的过渡矩阵
坐标变换存在如下关系：
详见书P163-165例2
推出
坐标过渡矩阵另组坐标
性质总结：
1、
，则
2、
且
，则
3、
且
，由
坐标变换公式
△注意不是，不满足交换律
，得
详见书P163-165例2
第九章线性变换
§.1定义与性质
线性变换
加法
向量
证明等式左边右边，则称等式是一个线性变换
推广:
丁数乘系数
恒等变换
零变换
数乘变换，记作
当，恒等变换；，零变换
维坐标变换（以原点旋转度,如图）
矩阵变换
求导数变换
§.2运算
1、
2、
§.3线性变换的矩阵
线性变换表示公式，例:
矩阵表示
注W转置
下的矩阵
也可以
这是老师的写法
推广
高等代数的意义:
1）打好基础增进素质高等代数的基础理论和方法，不仅是学习代数后继课程的基础，而且也是学习微分方程，计算数学，数学模型，泛函分析，微分几何，微分流形，一般拓扑，概率统计，线性规戈y等基础数学、计算数学、应用数学、随机数学诸课程的基础.因此，理解高等代数的思想，
掌握其基础理论和方法，在学习中加强辩证思维、抽象思维和逻辑推理的训练，大家不仅能够打好基础，而且还能增进自身的数学素质，使自己在将来成为一个名符其实的数学工作者.
2）联系中数服务未来高等代数与中学数学的联系使得它的一些内容对中学数学教学有居高临下的指导作用，中学数学中的某些原型对于克服代数概念抽象、证题难以入手等难点有时也颇有价值，在学习中要注意加强这方面的联系，这对于大部分的同学将来从事中学数学教学工作是十分有益的.
3）起飞平台开拓发展〈〈人人关心数学教育的未来》中有这么一句话：
“大学数学为许多领域的专业提供坚实的起飞平台.”在21世纪，大学数学
不再是纯粹为培养未来数学家而设立的专业，更主要的是为培养各级各类数学教师和高层次人才打基础的.掌握大学数学的人，将在计算机、自动
控制、系统规划、现代经济管理等诸多领域发挥积极作用，随着知识产业化的进程，高等代数的知识，数学的理论和方法将越来越显示出强大的经济效用和社会效益.
4）美化心灵和谐文明数学是美的，作为数学各专业基础课的高等代数也是美的，在教学中同学们将感受到简洁、清晰、对称、奇异的代数“画面”，享受学习进程中的快乐.为此，重视标准形等的运用和学习引导，可以加强数学美的效果.数学的美是心灵深处的美，它对于培养人们美的情操，开发个人智能，构建现代和谐文明都将发挥积极的作用.
总之，学习高等代数有着深刻的基础、应用、素质意义和价值。
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