湘教版数学八年级上册第4章 一元一次不等式组.docx
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湘教版数学八年级上册第4章一元一次不等式组
第4章一元一次不等式（组）
一、选择题（共3小题）
1．西峰城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元付费，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路为x千米，则x应满足的关系式为（ ）
A．14.6﹣1.2＜5+1.2（x﹣3）≤14.6B．14.6﹣1.2≤5+1.2（x﹣3）＜14.6
C．5+1.2（x﹣3）=14.6﹣1.2D．5+1.2（x﹣3）=14.6
2．定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]=3，[0.6]=0，[﹣3.6]=﹣4．对于任意实数x，下列式子中错误的是（ ）
A．[x]=x（x为整数）B．0≤x﹣[x]＜1
C．[x+y]≤[x]+[y]D．[n+x]=n+[x]（n为整数）
3．不等式组
的解集是（ ）
A．x≥2B．x＞﹣2C．x≤2D．﹣2＜x≤2
二、填空题（共1小题）
4．不等式组
的解集是 ．
三、解答题（共26小题）
5．今年我市某公司分两次采购了一批大蒜，第一次花费40万元，第二次花费60万元．已知第一次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格上涨了500元，第二次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格下降了500元，第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍．
（1）试问去年每吨大蒜的平均价格是多少元？
（2）该公司可将大蒜加工成蒜粉或蒜片，若单独加工成蒜粉，每天可加工8吨大蒜，每吨大蒜获利1000元；若单独加工成蒜片，每天可加工12吨大蒜，每吨大蒜获利600元．由于出口需要，所有采购的大蒜必需在30天内加工完毕，且加工蒜粉的大蒜数量不少于加工蒜片的大蒜数量的一半，为获得最大利润，应将多少吨大蒜加工成蒜粉？
最大利润为多少？
6．“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：
所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．
（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？
（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．
7．自学下面材料后，解答问题．
分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如：
＜0等．那么如何求出它们的解集呢？
根据我们学过的有理数除法法则可知：
两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：
（1）若a＞0，b＞0，则
＞0；若a＜0，b＜0，则
＞0；
（2）若a＞0，b＜0，则
＜0；若a＜0，b＞0，则
＜0．
反之：
（1）若
＞0，则
或
（2）若
＜0，则 或 ．
根据上述规律，求不等式
＞0的解集．
8．已知两个语句：
①式子2x﹣1的值在1（含1）与3（含3）之间；
②式子2x﹣1的值不小于1且不大于3．
请回答以下问题：
（1）两个语句表达的意思是否一样（不用说明理由）？
（2）把两个语句分别用数学式子表示出来．
9．解不等式组：
．
10．小佳的老板预计订购5盒巧克力，每盒颗数皆相同，分给工作人员，预定每人分15颗，会剩余80颗，后来因经费不足少订了2盒，于是改成每人分12颗，但最后分到小佳时巧克力不够分，只有小佳拿不到12颗，但她仍分到3颗以上（含3颗）．请问所有可能的工作人员人数为何？
请完整写出你的解题过程及所有可能的答案．
11．阅读材料：
解分式不等式
＜0
解：
根据实数的除法法则：
同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为：
①
或②
解①得：
无解，解②得：
﹣2＜x＜1
所以原不等式的解集是﹣2＜x＜1
请仿照上述方法解下列分式不等式：
（1）
≤0
（2）
＞0．
12．解不等式组
．
13．解不等式组：
并把它的解集在数轴上表示出来．
14．解不等式组：
．
15．解不等式组：
．
16．2015年5月6日，凉山州政府在邛海“空列”项目考察座谈会上与多方达成初步合作意向，决定共同出资60.8亿元，建设40千米的邛海空中列车．据测算，将有24千米的“空列”轨道架设在水上，其余架设在陆地上，并且每千米水上建设费用比陆地建设费用多0.2亿元．
（1）求每千米“空列”轨道的水上建设费用和陆地建设费用各需多少亿元？
（2）预计在某段“空列”轨道的建设中，每天至少需要运送沙石1600m3，施工方准备租用大、小两种运输车共10辆，已知每辆大车每天运送沙石200m3，每辆小车每天运送沙石120m3，大、小车每天每辆租车费用分别为1000元、700元，且要求每天租车的总费用不超过9300元，问施工方有几种租车方案？
哪种租车方案费用最低，最低费用是多少？
17．学校为了奖励初三优秀毕业生，计划购买一批平板电脑和一批学习机，经投标，购买1台平板电脑比购买3台学习机多600元，购买2台平板电脑和3台学习机共需8400元．
（1）求购买1台平板电脑和1台学习机各需多少元？
（2）学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共100台，要求购买的总费用不超过168000元，且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的1.7倍．请问有哪几种购买方案？
哪种方案最省钱？
18．某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排球和篮球（每个气排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同）．经洽谈，购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元．
（1）每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？
（2）该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共50个，总费用不超过3200元，且购买气排球的个数少于30个，应选择哪种购买方案可使总费用最低？
最低费用是多少元？
19．某超市销售有甲、乙两种商品，甲商品每件进价10元，售价15元；乙商品每件进价30元，售价40元．
（1）若该超市一次性购进两种商品共80件，且恰好用去1600元，问购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）若该超市要使两种商品共80件的购进费用不超过1640元，且总利润（利润=售价﹣进价）不少于600元．请你帮助该超市设计相应的进货方案，并指出使该超市利润最大的方案．
20．某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．
（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少元．
（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元．则有哪几种购车方案？
21．阅读下列材料：
解答“已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：
解∵x﹣y=2，∴x=y+2
又∵x＞1，∴y+2＞1．
∴y＞﹣1．
又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0．…①
同理得：
1＜x＜2．…②
由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2
∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2
请按照上述方法，完成下列问题：
（1）已知x﹣y=3，且x＞2，y＜1，则x+y的取值范围是 ．
（2）已知y＞1，x＜﹣1，若x﹣y=a成立，求x+y的取值范围（结果用含a的式子表示）．
22．我们用[a]表示不大于a的最大整数，例如：
[2.5]=2，[3]=3，[﹣2.5]=﹣3；用＜a＞表示大于a的最小整数，例如：
＜2.5＞=3，＜4＞=5，＜﹣1.5＞=﹣1．解决下列问题：
（1）[﹣4.5]= ，＜3.5＞= ．
（2）若[x]=2，则x的取值范围是 ；若＜y＞=﹣1，则y的取值范围是 ．
（3）已知x，y满足方程组
，求x，y的取值范围．
23．现有A，B两种商品，买2件A商品和1件B商品用了90元，买3件A商品和2件B商品用了160元．
（1）求A，B两种商品每件各是多少元？
（2）如果小亮准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过350元，但不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？
24．某企业新增了一个化工项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表：
A型
B型
价格（万元/台）
12
10
月污水处理能力（吨/月）
200
160
经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于1380吨．
（1）该企业有几种购买方案？
（2）哪种方案更省钱，说明理由．
25．在我市举行的中学生安全知识竞赛中共有20道题．每一题答对得5分，答错或不答都扣3分．
（1）小李考了60分，那么小李答对了多少道题？
（2）小王获得二等奖（75～85分），请你算算小王答对了几道题？
26．解不等式组
，并将解集在数轴上表示出来．
27．解不等式组：
并写出它的所有的整数解．
28．解不等式组：
．
29．去冬今春，我市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件．
（1）求饮用水和蔬菜各有多少件？
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？
请你帮助设计出来；
（3）在
（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元．运输部门应选择哪种方案可使运费最少？
最少运费是多少元？
30．解不等式组
并将其解集在数轴上表示出来．
第4章一元一次不等式（组）
参考答案与试题解析
一、选择题（共3小题）
1．西峰城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元付费，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路为x千米，则x应满足的关系式为（ ）
A．14.6﹣1.2＜5+1.2（x﹣3）≤14.6B．14.6﹣1.2≤5+1.2（x﹣3）＜14.6
C．5+1.2（x﹣3）=14.6﹣1.2D．5+1.2（x﹣3）=14.6
【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式组；由实际问题抽象出一元一次方程．
【分析】因为起步价为5元，即不大于3千米的，均为10元；超过3千米，每千米加价1.20元，即在10元的基础上每千米加价1.20元；由路程与费用的关系，可得出两者之间的函数关系式．
【解答】解：
依题意，得
∵14.6＞5，
∴行驶距离在3千米外．
则14.6﹣1.2＜5+1.2（x﹣3）≤14.6．
故选：
A．
【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，分段计费的方式的运用，解答时抓住数量关系建立方程是关键．
2．定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]=3，[0.6]=0，[﹣3.6]=﹣4．对于任意实数x，下列式子中错误的是（ ）
A．[x]=x（x为整数）B．0≤x﹣[x]＜1
C．[x+y]≤[x]+[y]D．[n+x]=n+[x]（n为整数）
【考点】一元一次不等式组的应用．
【专题】压轴题；新定义．
【分析】根据“定义[x]为不超过x的最大整数”进行计算．
【解答】解：
A、∵[x]为不超过x的最大整数，
∴当x是整数时，[x]=x，成立；
B、∵[x]为不超过x的最大整数，
∴0≤x﹣[x]＜1，成立；
C、例如，[﹣5.4﹣3.2]=[﹣8.6]=﹣9，[﹣5.4]+[﹣3.2]=﹣6+（﹣4）=﹣10，
∵﹣9＞﹣10，
∴[﹣5.4﹣3.2]＞[﹣5.4]+[﹣3.2]，
∴[x+y]≤[x]+[y]不成立，
D、[n+x]=n+[x]（n为整数），成立；
故选：
C．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是理解新定义．新定义解题是近几年高考常考的题型．
3．不等式组
的解集是（ ）
A．x≥2B．x＞﹣2C．x≤2D．﹣2＜x≤2
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】计算题．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解：
，
解不等式①得，x＞﹣2，
解不等式②得，x≥2，
所以，不等式组的解集是x≥2．
故选A．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：
同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
二、填空题（共1小题）
4．不等式组
的解集是 3＜x≤5 ．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】压轴题．
【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”找出公共解集即可．
【解答】解：
，
解①得：
x≤5，
解②得：
x＞3，
故不等式组的解集为：
3＜x≤5，
故答案为：
3＜x≤5．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是掌握解集的规律：
同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
三、解答题（共26小题）
5．今年我市某公司分两次采购了一批大蒜，第一次花费40万元，第二次花费60万元．已知第一次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格上涨了500元，第二次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格下降了500元，第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍．
（1）试问去年每吨大蒜的平均价格是多少元？
（2）该公司可将大蒜加工成蒜粉或蒜片，若单独加工成蒜粉，每天可加工8吨大蒜，每吨大蒜获利1000元；若单独加工成蒜片，每天可加工12吨大蒜，每吨大蒜获利600元．由于出口需要，所有采购的大蒜必需在30天内加工完毕，且加工蒜粉的大蒜数量不少于加工蒜片的大蒜数量的一半，为获得最大利润，应将多少吨大蒜加工成蒜粉？
最大利润为多少？
【考点】一元一次不等式组的应用；分式方程的应用．
【分析】
（1）设去年每吨大蒜的平均价格是x元，则第一次采购的平均价格为（x+500）元，第二次采购的平均价格为（x﹣500）元，根据第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍，据此列方程求解；
（2）先求出今年所采购的大蒜数，根据采购的大蒜必需在30天内加工完毕，蒜粉的大蒜数量不少于加工蒜片的大蒜数量的一半，据此列不等式组求解，然后求出最大利润．
【解答】解：
（1）设去年每吨大蒜的平均价格是x元，
由题意得，
×2=
，
解得：
x=3500，
经检验：
x=3500是原分式方程的解，且符合题意，
答：
去年每吨大蒜的平均价格是3500元；
（2）由
（1）得，今年的大蒜数为：
×3=300（吨），
设应将m吨大蒜加工成蒜粉，则应将（300﹣m）吨加工成蒜片，
由题意得，
，
解得：
100≤m≤120，
总利润为：
1000m+600（300﹣m）=400m+180000，
当m=120时，利润最大，为228000元．
答：
应将120吨大蒜加工成蒜粉，最大利润为228000元．
【点评】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
6．“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：
所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．
（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？
（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．
【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】
（1）设每本文学名著x元，动漫书y元，根据题意列出方程组解答即可；
（2）根据学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，列出不等式组，解答即可．
【解答】解：
（1）设每本文学名著x元，动漫书y元，
可得：
，
解得：
，
答：
每本文学名著和动漫书各为40元和18元；
（2）设学校要求购买文学名著x本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：
，
解得：
，
因为取整数，
所以x取26，27，28；
方案一：
文学名著26本，动漫书46本；
方案二：
文学名著27本，动漫书47本；
方案三：
文学名著28本，动漫书48本．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．
7．自学下面材料后，解答问题．
分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如：
＜0等．那么如何求出它们的解集呢？
根据我们学过的有理数除法法则可知：
两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：
（1）若a＞0，b＞0，则
＞0；若a＜0，b＜0，则
＞0；
（2）若a＞0，b＜0，则
＜0；若a＜0，b＞0，则
＜0．
反之：
（1）若
＞0，则
或
（2）若
＜0，则
或
．
根据上述规律，求不等式
＞0的解集．
【考点】一元一次不等式组的应用．
【专题】阅读型；新定义．
【分析】根据两数相除，异号得负解答；
先根据同号得正把不等式转化成不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法求解即可．
【解答】解：
（2）若
＜0，则
或
；
故答案为：
或
；
由上述规律可知，不等式转化为
或
，
所以，x＞2或x＜﹣1．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解不等式转化为不等式组的方法是解题的关键．
8．已知两个语句：
①式子2x﹣1的值在1（含1）与3（含3）之间；
②式子2x﹣1的值不小于1且不大于3．
请回答以下问题：
（1）两个语句表达的意思是否一样（不用说明理由）？
（2）把两个语句分别用数学式子表示出来．
【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式组．
【分析】
（1）注意分析“在1（含1）与3（含3）之间”及“不小于1且不大于3”的意思即可；
（2）根据题意可得不等式组
．
【解答】解：
（1）一样；
（2）①式子2x﹣1的值在1（含1）与3（含3）之间可得1≤2x﹣1≤3；
②式子2x﹣1的值不小于1且不大于3可得
．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，抓住题干中体现不等关系的词语．
9．解不等式组：
．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：
，
由①得，x≤3；
由②得，x＜5，
故此不等式组的解集为：
x≤3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
10．小佳的老板预计订购5盒巧克力，每盒颗数皆相同，分给工作人员，预定每人分15颗，会剩余80颗，后来因经费不足少订了2盒，于是改成每人分12颗，但最后分到小佳时巧克力不够分，只有小佳拿不到12颗，但她仍分到3颗以上（含3颗）．请问所有可能的工作人员人数为何？
请完整写出你的解题过程及所有可能的答案．
【考点】一元一次不等式组的应用．
【分析】设该公司的工作人员为x人．则每盒巧克力的颗数是
，根据不等关系：
每人分12颗，但最后分到小佳时巧克力不够分，只有小佳拿不到12颗，但她仍分到3颗以上（含3颗），列不等式组．
【解答】解：
设该公司的工作人员为x人．则
，
解得16＜x≤19．
因为x是整数，
所以x=17，18，19．
答：
所有可能的工作人员人数是17人、18人、19人．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．
11．阅读材料：
解分式不等式
＜0
解：
根据实数的除法法则：
同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为：
①
或②
解①得：
无解，解②得：
﹣2＜x＜1
所以原不等式的解集是﹣2＜x＜1
请仿照上述方法解下列分式不等式：
（1）
≤0
（2）
＞0．
【考点】一元一次不等式组的应用．
【专题】新定义．
【分析】先把不等式转化为不等式组，然后通过解不等式组来求分式不等式．
【解答】解：
（1）根据实数的除法法则：
同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为：
①
或②
解①得：
无解，
解②得：
﹣2.5＜x≤4
所以原不等式的解集是：
﹣2.5＜x≤4；
（2）根据实数的除法法则：
同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为：
①
或②
解①得：
x＞3，
解②得：
x＜﹣2．
所以原不等式的解集是：
x＞3或x＜﹣2．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用．本题通过材料分析，先求出不等式组中每个不等式的解集，再求其公共部分即可．
12．解不等式组
．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：
，由①得，x＞1；由②得，x≥2，
故此不等式组的解集为：
x≥2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13．解不等式组：
并把它的解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】计算题．
【分析】分别解两个不等式得到x＞1和x≤﹣4，然后根据大于小的小于大的取中间确定不等式组的解集，最后用数轴表示解集．
【解答】解：
，
由①得：
x＞1
由②得：
x≤4
所以这个不等式的解集是1＜x≤4，
用数轴表示为
．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组：
求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集．也考查了用数轴表示不等式的解集．
14．解不等式组：
．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：
，
由①得，x＞﹣1；
由②得，x＜4，
故此不等式组的解集为：
﹣1＜x＜4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15．解不等式组：
．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】探究型．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：
，由①得，x＞
；由②得，x＜5，
故此不等式组的解集为：
＜x＜5．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16．2015年5月6日，凉山州政府在邛海“空列”项目考察座谈会上与多方达成初步合作意向，决定共同出资60.8亿元，建设40千米的邛海空中列车．据测算，将有24千米的“空列”轨道架设在水上，其余架设在陆地上，并且每千米水上建设费用比陆地建设费用多0.2亿元．
（1）求每千米“空列”轨道的水上建设费用和陆地建设费用各需多少亿元？
（2）预计在某段“空列”轨道的建设中，每天至少需要运送沙石1600m3，施工方准备租用大、小两种运输车共10辆，已知每辆大车每天运送沙
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