届北师大版理空间中的平行与垂直检测卷 1.docx
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届北师大版理空间中的平行与垂直检测卷1
2017年高考数学（理）命题猜想与仿真押题
1．已知直线a与平面α，β，α∥β，a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中（ ）
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
解析：
设直线a和点B所确定的平面为γ，则α∩γ＝a，记β∩γ＝b，∵α∥β，∴a∥b，故存在唯一一条直线b与a平行．
答案：
D
2．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：
①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；
②若m∥l，且m∥α，则l∥α；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；
④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m.
其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2
C．3D．4
解析：
易知①正确；②错误，l与α的具体关系不能确定；③错误，以墙角为例即可说明；④正确，可以以三棱柱为例证明，故选B.
答案：
B
3．如图所示，O为正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是（ ）
A．A1DB．AA1
C．A1D1D．A1C1
解析：
由题意知，A1C1⊥平面DD1B1B，又OB1⊂面DD1B1B，所以A1C1⊥OB1，故选D.
答案：
D
4．设m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，给出下列命题：
①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若m∥α，n∥α，则m∥n；
④若m⊥α，n⊥α，则m∥n.
上述命题中，所有真命题的序号是（ ）
A．①④B．②③
C．①③D．②④
解析：
由线面垂直的性质定理知①④正确；平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，故②错；平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能相交或异面，故③错．选A.
答案：
A
5.如图，在三棱锥PABC中，不能证明AP⊥BC的条件是（ ）
A．AP⊥PB，AP⊥PC
B．AP⊥PB，BC⊥PB
C．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC
D．AP⊥平面PBC
6．如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是（ ）
A．垂直B．相交不垂直
C．平行D．重合
解析：
如图，分别取另三条棱的中点A，B，C将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL，因为PQ∥AL，PR∥AM，且PQ与PR相交，AL与AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR.
答案：
C
7．设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
B．若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥m
C．若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n
D．若l⊥m，l⊥n，则n∥m
8．以下命题中真命题的个数是（ ）
①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；
②若直线a在平面α外，则a∥α；
③若直线a∥b，b⊂α，则a∥α；
④若直线a∥b，b⊂α，则a平行于平面α内的无数条直线．
A．1B．2C．3D．4
解析 ①中l可以在平面α内；②中直线a可以与平面α相交，故错误；③a可以在平面α内；④正确．
答案 A
9．如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝
，则下列结论中错误的是（ ）
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．直线AB与平面BEF所成的角为定值
D．异面直线AE，BF所成的角为定值
10．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出六个命题：
①
⇒a∥b；②
⇒a∥b；
③
⇒α∥β；④
⇒α∥β；
⑤
⇒α∥a；⑥
⇒a∥α.
其中正确的命题是（ ）
A．①②③B．①④⑤C．①④D．①③④
解析 ①④正确．②错，a、b可能相交或异面．③错，α与β可能相交．⑤⑥错，a可能在α内．
答案 C
11．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，命题p：
若m∥n，m∥β，则n∥β，命题q：
“m⊥β，n⊥β，n⊥α”是“m⊥α”成立的充分条件，则下列结论正确的是（ ）
A．p∧（綈q）是真命题B．（綈p）∨q是真命题
C．（綈p）∧q是假命题D．p∨q是假命题
解析 对于命题p，若m∥n，m∥β，则n可能在平面β内，故命题p为假命题；对于命题q，若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则有m⊥α，故命题q是真命题，故綈p为真命题，綈q为假命题，故（綈p）∨q是真命题，选B.
答案 B
12.如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点，现有结论：
①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，其中正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．①D．②③
13.如图所示，b，c在平面α内，a∩c＝B，b∩c＝A，且a⊥b，a⊥c，b⊥c，若C∈a，D∈b，E在线段AB上（C，D，E均异于A，B），则△ACD是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
解析 ∵a⊥b，b⊥c，a∩c＝B，
∴b⊥面ABC，
∴AD⊥AC，故△ACD为直角三角形．
答案 B
14．在正三棱锥PABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：
①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为________．
解析 如图，∵PABC为正三棱锥，
∴PB⊥AC.
又∵DE∥AC，DE⊂平面PDE，
AC⊄平面PDE，
∴AC∥平面PDE.故①②正确．
答案 ①②
15．给出命题：
①在空间中，垂直于同一平面的两个平面平行；
②设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；
③已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件；
④在三棱锥SABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，则S在平面ABC内的射影是△ABC的垂心；
⑤a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一条平行．
其中，正确的命题是________（只填序号）．
解析 ①错误，垂直于同一个平面的两个平面也可能相交；③错误，“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件；⑤错误，只有当异面直线a，b垂直时才可以作出满足要求的平面；易知②④正确．
答案 ②④
16.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD.
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
解析 把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图所示，则AB⊥EF，EF与MN为异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，故①③正确．
答案 ①③
17．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________．
①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒Ρ∈b.
解析 a∩α＝P时，P∈a，P∈α，
但a⊄α，∴①错；
a∩β＝P时，②错；如图，
∵a∥b，P∈b，∴P∉a，
∴直线a与点P确定唯一平面α，
又a∥b，a与b确定唯一平面γ，
但γ经过直线a与点P，由公理2，
∴γ与α重合，∴b⊂α，故③正确；
两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．
答案 ③④
18．如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝
，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.
解析 如图所示，连接AC，易知MN∥平面ABCD，
∴MN∥PQ.又∵MN∥AC，
∴PQ∥AC.又∵AP＝
，
∴
＝
＝
＝
，∴PQ＝
AC＝
a.
答案
a
19．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱DD1、C1D1的中点．
（1）求直线BE和平面ABB1A1所成角θ的正弦值；
（2）证明：
B1F∥平面A1BE.
（1）解 设G是AA1的中点，连接GE，BG.
∵E为DD1的中点，ABCD－A1B1C1D1为正方体，
∴GE∥AD，
又∵AD⊥平面ABB1A1，∴GE⊥平面ABB1A1，且斜线BE在平面ABB1A1内的射影为BG，∴Rt△BEG中的∠EBG是直线BE和平面ABB1A1所成角，即∠EBG＝θ.设正方体的棱长为a，
∴GE＝a，BG＝
a，
BE＝
＝
a，
∴直线BE和平面ABB1A1所成角θ的正弦值为：
sinθ＝
＝
.
20．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AD＝2，E是棱CD上的一点．
（1）求证：
AD1⊥平面A1B1D；
（2）求证：
B1E⊥AD1；
（3）若E是棱CD的中点，在棱AA1上是否存在点P，使得DP∥平面B1AE？
若存在，求出线段AP的长；若不存在，请说明理由．
（1）证明 在长方体ABCDA1B1C1D1中，
因为A1B1⊥平面A1D1DA，AD1⊂平面A1D1DA，所以A1B1⊥AD1.
在矩形A1D1DA中，
因为AA1＝AD＝2，
所以AD1⊥A1D.A1D∩A1B1＝A1，
所以AD1⊥平面A1B1D.
（2）证明 因为E∈CD，
所以B1E⊂平面A1B1CD，
由
（1）可知，AD1⊥平面A1B1CD，
所以B1E⊥AD1.
（3）解 当点P是棱AA1的中点时，有DP∥平面B1AE.
理由如下：
在AB1上取中点M，连接PM，ME.
因为P是棱AA1的中点，M是AB1的中点，
所以PM∥A1B1，且PM＝
A1B1.
又DE∥A1B1，且DE＝
A1B1，
所以PM∥DE，且PM＝DE，
所以四边形PMED是平行四边形，
所以DP∥ME.
又DP⊄平面B1AE，ME⊂平面B1AE，
所以DP∥平面B1AE.
此时，AP＝
A1A＝1.
21．如图，将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折，连接AC、FD，形成如图所示的多面体，且AC＝
.
（1）证明：
平面ABEF⊥平面BCDE；
（2）求三棱锥E－ABC的体积．
（1）证明 正六边形ABCDEF中，连接AC、BE，交点为G，
易知AC⊥BE，且AG＝CG＝
，
在多面体中，由AC＝
，知AG2＋CG2＝AC2，
故AG⊥GC，
又GC∩BE＝G，GC，BE⊂平面BCDE，
故AG⊥平面BCDE,
又AG⊂平面ABEF，
所以平面ABEF⊥平面BCDE.
（2）解 连接AE、CE，则AG为三棱锥A－BCE的高，GC为△BCE的高．在正六边形ABCDEF中，BE＝2AF＝4，
故S△BCE＝
×4×
＝2
，
所以VE－ABC＝VA－BCE＝
×2
×
＝2.
22．如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PA＝PD，∠BAD＝60°，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．
（1）求证：
AD⊥平面PBE；
（2）若Q是PC的中点，求证：
PA∥平面BDQ；
（3）若VPBCDE＝2VQABCD，试求
的值．
解析：
（1）证明：
由E是AD的中点，PA＝PD可得AD⊥PE.
又底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
所以AB＝BD，又因为E是AD的中点，所以AD⊥BE，
又PE∩BE＝E，所以AD⊥平面PBE.
（2）证明：
连接AC（图略），交BD于点O，连接OQ.
因为O是AC的中点，
Q是PC的中点，
所以OQ∥PA，
又PA⊄平面BDQ，OQ⊂平面BDQ，
所以PA∥平面BDQ.
（3）设四棱锥PBCDE，QABCD的高分别为h1，h2.
所以VPBCDE＝
S四边形BCDEh1，
VQABCD＝
S四边形ABCDh2.
又因为VPBCDE＝2VQABCD，
且S四边形BCDE＝
S四边形ABCD，所以
＝
＝
.
23．一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N.
（1）请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；
（2）证明：
直线MN∥平面BDH；
（3）过点M，N，H的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比．
解析：
（1）点F，G，H的位置如图所示．
（3）由
（2）知，OM∥NH，OM＝NH，连接GM，MH，过点M，N，H的平面就是平面GMH，它将正方体分割为两个同高的棱柱，高都是GH，底面分别是四边形BMGF和三角形MGC，
体积比等于底面积之比，即3∶1.
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