计数原理和二项式专题排列组合问题解法.docx
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计数原理和二项式专题排列组合问题解法
计数
排列组合题型总结
排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。
因而在求解排列组合应用题时，除做到：
排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。
一．直接法
1．特殊元素法
例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个
（1）数字1不排在个位和千位
（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
分析：
（1）个位和千位有5个数字可供选择25A，其余2位有四个可供选择24A，由乘法原理：
25A2
4A=240
2．特殊位置法
（2）当1在千位时余下三位有
3
5A=60，1
不在千位时，千位有
14
A种选法，个位有14A种，余下的有2
4A，共有14A14A2
4
A=192所以总共有192+60=252二．间接法
当直2）可用间接法
2
435462AAA+-=252
例2有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？
分析：
此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因而可使用间接计
算：
任取三张卡片可以组成不同的三位数3
333
52AC⨯⨯个，其中
0在百位的有22
4
2⨯C⨯2
2
A个，这是不合题意的。
故共可组成不同的三位数3333
5
2AC⨯⨯-2242⨯C⨯2
2A=432（个）
三．插空法当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。
例3在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？
分析：
原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有1
1019AA⨯=100中插入方法。
四．捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。
例44名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？
分析：
先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有44
A种排法，而男生之间又有4
4A种排法，又乘法原理满足条件的排法有：
44
A×4
4A=576练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有种（3
324
AC）
2．某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安
排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（19281
29
AC⋅）（注意连续参观2天，即需把30天
种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有1
29C其余的就是19所学校选28天进行排列）五．阁板法名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法
例5某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共种。
分析：
此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有7
11C种
练习1.（a+b+c+d15有多少项？
当项中只有一个字母时，有1
4C种（即a.b.c.d而指数只有15故014
1
4
CC⋅。
当项中有2个字母时，有2
4C而指数和为15，即将15分配给2个字母时，如何分，闸板法一分为2，1
14C即2
4C1
14
C当项中有3个字母时3
4C指数15分给3个字母分三组即可2
143
4CC当项种4个字母都在时3
144
4
CC⋅四者都相加即可．练习2．有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？
（2
16C）
3．不定方程X1+X2+X3+…+X50=100中不同的整数解有（49
99C）
六．平均分堆问题例66本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？
分析：
分出三堆书（a1,a2）,（a3,a4，（a5,a6）由顺序不同可以有
33A=6种，而这6种分法只算一种分堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有3
3
2
2
2426ACCC=15种
练习：
1．6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？
2．某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数。
七．合并单元格解决染色问题
例7（全国卷（文、理））如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）。
分析：
颜色相同的区域可能是2、3、4、5．下面分情况讨论:
（ⅰ当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于4个元素①③⑤的全排列数
A4
4
（ⅱ）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形（ⅰ类似同理可得
A4
4
种着色法．
2,4
（ⅲ）当2、4与3、5分别同色时，将2、4；3、5分别合并，这样仅有三个单元格
①
从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有AC3
3
34
⋅种方法．
由加法原理知：
不同着色方法共有2ACA3
33
44
4+=48+24=72（种）
练习1（天津卷（文））将3种作物种植
在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共种（以数字作答）（72）
2．（江苏、辽宁、天津卷（理））某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图3），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色的话，不同的栽种方法有种（以数字作答）．（120）
图3图4
3．如图4，用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数．（540）
4．如图5：
四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是种（84）
图5图6
5．将一四棱锥（图6的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共种（420）
八．递推法
例八一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？
分析：
设上n级楼梯的走法为an种，易知a1=1,a2=2,当n≥2时，上n级楼梯的走法可分两类：
第一类：
是最后一步跨一级，有an-1种走法，第二类是最后一步跨两级，有an-2种走法，由加法原理知：
an=an-1+an-2,据此，a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89.故走上10级楼梯共有89种不同的方法。
九.几何问题
1．四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有种（33
5C+3=33）
2.四面体的棱中点和顶点共10个点
（1）从中任取3个点确定一个平面，共能确定多少个平面？
5
4
6
13
2E
DC
BA
43
2
1
（3
10C-43
6C+4-334C+3-6C3
4+6+2×6=29
（2以这10个点为顶点，共能确定多少格凸棱锥？
三棱锥C104-4C64-6C44-3C44=141四棱锥6×4×4=963×6=18共有114
十．先选后排法
例9有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选派方法有（）A.1260种
B.2025种
C.2520种
D.5054种
分析：
先从10人中选出2人
十一．用转换法解排列组合问题
例10．某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．解把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题．25A=20种
例11．个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．
解把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问题．5
9C=126种例12从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法．解把稳体转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其其中黑球不相邻的排列问题。
10
991C
例13某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少
种．
解无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题．3
7C=35（种）例14一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．
解根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题．6
12C=924（种）．例15求（a+b+c）10的展开式的项数．
解展开使的项为aαbβcγ,且α+β+γ=10，因此，把问题转化为2个相同的黑球与10个相同的白球的排列问题．2
12C=66（种）
例16亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，
胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？
解设亚洲队队员为a1,a2，…,a5,欧洲队队员为b1，b2，…，b5，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序．比赛过程转化为这10个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为6
10C=252（种）
十二．转化命题法
例17圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各？
分析：
因两弦在圆内若有一交点，则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形，则问题化为圆周上的15个不同的点能构成多少个圆内接四边形，因此这些现在圆内的交点最多有4
15C=1365（个）
十三．概率法
例18一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程
表有多少种排法？
分析：
在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等，均为2
1
，故本例所求的排法种数就是所有排法的
21，即2
1
A=360种十四．除序法例19用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，
（1）若偶数2，4，6次序一定，有多少个？
（2）若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？
解
（1）3
3
7
7
AA
（2）4
4
3377
AAA
十五．错位排列
例20同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的卡片，则不同的分配方法有种（9）公式1）（1（21--+-=nnn
aanan=4时a4=3（a3+a2=9种即三个人有两种错排，两个人有一种错排．2）na=n!
（1-
!
11+!
21-!
31+…+（n1-!
1n练习有五位客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家，回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子，问5位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？
（44）
计数原理练习题
1．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数abi+，其中虚数有（）A．30个
B．42个
C．36个
D．35个
2．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有（）A．72种
B．48种
C．24种
D．12种
3．教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有（）A．10种
B．52种
C．25种
D．42种
4．一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是（）A．8
B．15
C．16
D．30
5．从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有（）
A．5种B．6种C．7种D．8种
6．如图所示为一电路图，从A到B共有（）条不同的线路可通电.
A．1B．2C．3D．4
7．由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是（）
A．25B．20C．16D．12
8．李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套
服装参加歌舞演出，则李芳有（）种不同的选择方式.
A．24B．14C．10D．9
9．设A，B是两个非空集合，定义{}
（ABabaAbB*=∈∈，，|，若{}{}01212
34PQ==，，，，，，，则P*Q中元素的个数是（）
A．4B．7C．12D．1610．某商业大厦有东南西3个大门，楼内东西两侧各有2个楼梯，从楼外到二楼的不同走法种数是（）
A．5B．7C．10D．12
11．3科老师都布置了作业，在同一时刻4名学生都做作业的可能情况有（）
A．43种B．34种C．4×3×2种D．1×2×3种
12．把4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，参观券全部分完，则不同的分法共有（）
A．120种B．1024种C．625种D．5种
13．已知集合M={l，－2，3}，N={－4，5，6，7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的
坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是（）
A．18B．17C．16D．10
14．如图，某城市中，M、N两地有整齐的道路网，若规定只能向东
或向
北两个方向沿途中路线前进，则从M到N不同的走法共有（）
A．25B．15C．13D．10
15．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有（）
A．4种B．5种C．6种D．7种16．三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数为（）
A．25B．26C．36D．37
17．如图，从A→C，有种不同走法．
18．将三封信投入4个邮箱，不同的投法有种．
19．某书店有不同年级的语文、数学、英语练习册各10本，买其中一种
有种方法；买其中两种有种方法．
20．大小不等的两个正方形玩具，分别在各面上标有数字1，2，3，4，5，6，则向上的面标着的两个数字
之积不少于20的情形有种．
21．从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到个
不同的对数值．
22．某班宣传小组要出一期向英雄学习的专刊，现有红、黄、白、绿、蓝五
种颜色的粉笔供选用，要求在黑板中A、B、C、D每一部分只写一种颜色，如图所示，相邻两块颜色不同，则不同颜色的书写方法共有
种．23．平面内有7个点，其中有5个点在一条直线上，此外无三点共线，经过
这7个点可连成不同直线的条数是．
24．圆周上有2n个等分点（1n>），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为．
25．椭圆22
1xymn+=的焦点在y轴上，且{}{}123451234567mn∈∈，，，，，，，，，，，，则这样的椭圆的个数
为．
26．多项式123124534（（（（aaabbaabb++++++··展开后共有项．
27．整数630的正约数（包括1和630）共有
28．商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有
要买上衣，裤子各一件，共有种不同的选法．
29．电子计算机的输入纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排可产
生种不同的信息．
30．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有种行车路线．
31．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．
（1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？
（2）若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？
（3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？
32．已知集合{}321012（MPab=---，，，，，，，是平面上的点，abM∈，．
（1）（Pab，可表示平面上多少个不同的点？
（2）（Pab，可表示多少个坐标轴上的点？
33．有红、黄、蓝三种颜色旗子各（3nn>面，任取其中三面，升上旗杆组成纵列信号，可以有多少种不
同的信号？
若所升旗子中不允许有三面相同颜色的旗子，可以有多少种不同的信号？
若所升旗子颜色各不相同，有多少种不同的信号？
34．某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7
人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法．
35．用0，1，2，3，4，5六个数字组成无重复数字的四位数，比3410大的四位数有多少个？
36．甲、乙两个正整数的最大公约数为60，求甲、乙两数的公约数共有多个？
37．从{－3，－2，－1，0，l，2，3}中，任取3个不同的数作为抛物线方程y=ax2＋bx＋c（a≠0）的系数，
如果抛物线过原点，且顶点在第一象限，这样的抛物线共有多少条？
38．电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的群众来信，甲信箱
中有30封，乙信箱中有20封．现由主持人抽奖确定幸运观众，有多少种不同的结果？
若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？
参考答案：
1—16CADABDCBCDBDBBAC
17、618、3419、30；30020、521、1722、180
23、1224、2（1nn-25、2026、1027、2428、33，270
29、25630、12
31、解：
（1）56415N=++=种；
（2）564120N=⨯⨯=种；（3）56644574N=⨯+⨯+⨯=种
32、解：
（1）完成这件事分为两个步骤：
a的取法有6种，b的取法也有6种，
∴P点个数为N=6×6=36（个；
（2）根据分类加法计数原理，分为三类：
①x轴上（不含原点）有5个点；
②y轴上（不含原点）有5个点；
③既在x轴，又在y轴上的点，即原点也适合，
∴共有N=5+5+1=11（个）．
33、解：
1N=3×3×3=27种；227324N=-=种；33216N=⨯⨯=种．
34、解：
首先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版又会印刷”中的一个作
为分类的标准．下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题
分为三类：
第一类：
2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；只会印刷的2人全被选
出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法．
第二类：
2人中被选出一人，有2种选法．若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3
种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种
选法；若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，从会排版的3人中
选2人，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法；再由分类计数原理
知共有6+12=18种选法．
第三类：
2人全被选出，同理共有16种选法．
所以共有3+18+16=37种选法．
35、解：
本题可以从高位到低位进行分类．
（1）千位数字比3大．
（2）千位数字为3：
①百位数字比4大；
②百位数字为4：
1°十位数字比1大；
2°十位数字为1→个位数字比0大．
所以比3410大的四位数共有2×5×4×3+4×3+2×3+2=140（个）．36、
37、
38、
例说二项式定理的常见题型及解法
二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活且比较难掌握。
二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。
二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。
本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。
一、求二项展开式
1．“n
ba（+”型的展开式例1．求413（+的展开式；解：
原式=413（x
x+=24
13（xx+=]3（3（3（3（[144342243144042CCCCCxxxxx
++++=112548481（12342++++xxxxx
=541
12848122
+++
+x
xxx
小结：
这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。
2．“n
ba（-”型的展开式
例2．求4
1（-
的展开式；分析：
解决此题，只需要把413
（x-
改写成4]1
（[x-+的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。
本题主要考察了学生的“问题转化”能力。
3．二项式展开式的“逆用”例3．计算cCCCn
nn
nn
nn31（....279313
2
1
-++-+-；解：
原式=
nnnnnnnnCCCCC2（31（3（....3（3（3（3
33
22
11
-=-=-++-+-+-+
小结：
公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。
二、通项公式的应用1．确定二项式中的有关元素例4．已知92
（
xa-的展开式中3x的系数为49
，常数a的值为
解：
92392999
121（2
（（----+⋅⋅⋅-=-
=rrrrrrrr
rxaCxaCT令
392
3
=-r，即8=r依题意，得
4
9
21（894889=
⋅⋅---aC，解得1-=a2．确定二项展开式的常数项例5．101
（
-展开式中的常数项是
解：
rr
rrr
rrxCCT655101010
1
1（1（
（--+⋅
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