[答案] C
[解析] 根据否命题的定义可知，命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1”．
（2）[2017·宁夏银川模拟]命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是（ ）
A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0
B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0
C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0
D．若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0
[答案] D
[解析] 将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0.
（3）已知：
命题“若函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是（ ）
A．否命题是“若函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是减函数，则m>1”，是真命题
B．逆命题是“若m≤1，则函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是增函数”，是假命题
C．逆否命题是“若m>1，则函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是减函数”，是真命题
D．逆否命题是“若m>1，则函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上不是增函数”，是真命题
[答案] D
[解析] 由f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是增函数，则f′（x）＝ex－m≥0恒成立，∴m≤1.
∴命题“若函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是增函数，则m≤1”是真命题，
∴其逆否命题“若m>1，则函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上不是增函数”是真命题．
[点石成金] 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：
（1）对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；
（2）若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．
2．判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．
3．根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．考点2 充分条件、必要条件的判定
充要条件
答案：
充分 必要 充分不必要 真子集 必要不充分 真子集 充要 A＝B 既不充分也不必要 包含
1.充要条件的易混点：
混淆条件的充分性和必要性．
“x（x－1）＝0”是“x＝1”的________条件．
答案：
必要不充分
解析：
x（x－1）＝0⇒x＝0或x＝1；反之，由x＝1可得x（x－1）＝0.故“x（x－1）＝0”是“x＝1”的必要不充分条件．
2．充要条件的易错点：
否定形式下充分条件、必要条件判断错误．
“a≠b”是“a2≠b2”的________条件．
答案：
必要不充分
解析：
由a≠b不能得到a2≠b2，但由a2≠b2一定得出a≠b，故为必要不充分条件．
1.充分、必要条件的判断方法：
定义判断法；集合判断法．
（1）[2014·浙江卷改编]设四边形ABCD的两条对角线分别为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的________条件．
答案：
充分不必要
解析：
若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD；反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定为菱形．故“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．
（2）[2015·安徽卷改编]设p：
x＜3，q：
－1＜x＜3，则p是q成立的________条件．
答案：
必要不充分
解析：
因为p：
x＜3，q：
－1＜x＜3，所以q⇒p，但p
q，所以p是q成立的必要不充分条件．
2．充要条件的两个结论：
传递性；等价性．
（1）若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的________条件．
答案：
充分不必要
解析：
根据充分条件的概念可知，p⇒q，q⇒r，则p⇒r.又因为q
p，r
q，则r
p，所以p是r的充分不必要条件．
（2）若p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的________条件
答案：
充分不必要
解析：
因为原命题和它的逆否命题是等价命题，所以綈q是綈p的充分不必要条件．
[典题2]
（1）设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] |x－2|<1⇔10⇔x>1或x<－2.
由于{x|11或x<－2}的真子集，
所以“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的充分不必要条件．
（2）若p是綈q的充分不必要条件，则綈p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] ∵p是綈q的充分不必要条件，
∴綈q是p的必要不充分条件．
∴綈p是q的必要不充分条件，故选B.
（3）已知a，b∈R，下列四个条件中，使a>b成立的必要不充分的条件是（ ）
A．a>b－1B．a>b＋1
C．|a|>|b|D．2a>2b
[答案] A
[解析] 因为a>b⇒a>b－1，但a>b－1⇒/a>b，故A是a>b的必要不充分条件；B是a>b的充分不必要条件；C是a>b的既不充分也不必要条件；D是a>b的充要条件．
[点石成金] 充要条件的三种判断方法
（1）定义法：
根据p⇒q，q⇒p进行判断．
（2）集合法：
根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断．
（3）等价转化法：
根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，常用的是逆否等价法．如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．
①綈q是綈p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件；
②綈q是綈p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件；
③綈q是綈p的充要条件⇔p是q的充要条件.
1.[2017·山东淄博模拟]“a＝2”是“函数f（x）＝x2－2ax－3在区间[2，＋∞）上为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：
A
解析：
“a＝2”⇒“函数f（x）＝x2－2ax－3在区间[2，＋∞）上为增函数”，但反之不成立．
2．[2017·河北武邑中学高三上期中]设a，b∈R，则“（a－b）a2≥0”是“a≥b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：
B
解析：
若“（a－b）a2≥0”，则“a≥b”不成立，故“（a－b）a2≥0”不是“a≥b”的充分条件；若“a≥b”，则“（a－b）a2≥0”成立，故“（a－b）a2≥0”是“a≥b”的必要条件，故选B.
考点3 充分条件、必要条件的应用
[典题3]
（1）[2017·江西南昌模拟]已知条件p：
|x－4|≤6；条件q：
（x－1）2－m2≤0（m＞0），若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（ ）
A．[21，＋∞）B．[9，＋∞）
C．[19，＋∞）D．（0，＋∞）
[答案] B
[解析] 条件p：
－2≤x≤10，条件q：
1－m≤x≤m＋1，
又因为p是q的充分不必要条件，
所以有
解得m≥9.
（2）已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．
[答案] [0,3]
[解析] 由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.
则
∴0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．
[题点发散1] 本例
（2）条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
解：
若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
∴
∴
即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
[题点发散2] 本例
（2）条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解：
由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，
∵綈P是綈S的必要不充分条件，
∴P⇒S且S
P.
∴[－2,10][1－m,1＋m]，
∴
或
∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞）．
[点石成金] 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解．
（2）要注意区间端点值的检验.
1.已知p：
x>1或x<－3，q：
x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A．[1，＋∞）B．（－∞，1]
C．[－3，＋∞）D．（－∞，－3）
答案：
A
解析：
解法一：
设P＝{x|x>1或x<－3}，Q＝{x|x>a}，因为q是p的充分不必要条件，所以QP，因此a≥1.
解法二：
令a＝－3，则q：
x>－3，则由命题q推不出命题p，此时q不是p的充分条件，排除B，C；同理，取a＝－4，排除D.故选A.
2．已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是
，则m的取值范围是（ ）
A.
B．
C.
D．
答案：
D
解析：
由|x－m|<1得m－1又因为|x－m|<1的充分不必要条件是
，借助数轴，所以
解得－
≤m≤
.
[方法技巧] 1.判断四种命题间关系的方法
写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．
2．充分、必要条件的判断方法
（1）定义法：
直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假即可．
（2）利用集合间的包含关系判断：
设A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件．
[易错防范] 1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提．
2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式．
3．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，要注意“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”的区别，要正确理解“p的一个充分不必要条件是q”的语言．
真题演练集训
1．[2015·山东卷]设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是（ ）
A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0
B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0
D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
答案：
D
解析：
根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．故选D.
2．[2015·北京卷]设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：
B
解析：
当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥βD
α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．
3．[2015·重庆卷]“x＞1”是“log
（x＋2）＜0”的（ ）
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案：
B
解析：
∵x＞1⇒log
（x＋2）＜0，log
（x＋2）＜0⇒x＋2＞1⇒x＞－1，∴x＞1是log
（x＋2）＜0的充分而不必要条件．
4．[2016·四川卷]设p：
实数x，y满足（x－1）2＋（y－1）2≤2，q：
实数x，y满足
则p是q的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：
A
解析：
取x＝y＝0满足条件p，但不满足条件q，反之，对于任意的x，y满足条件q，显然必满足条件p，所以p是q的必要不充分条件，故选A.
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根据充要条件求参数取值范围的方法
1．解决根据充要条件求参数取值范围的问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的包含、相等关系列出关于参数的不等式（组）求解；有时也采用等价转化思想把复杂、疑难问题转化为简单、熟悉的问题来解决．
2.在解求参数的取值范围的题目时，一定要注意区间端点值的检验，在利用集合关系列不等式时，不等式是否能取到等号直接决定着端点值的取舍，在这里容易增解或漏解．
[典例] 已知p：
≤2，q：
x2－2x＋1－m2≤0（m>0），且綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．
[答案] [9，＋∞）
[解析] 解法一：
由
≤2，得
－2≤x≤10，
∴綈p对应的集合为{x|x>10或x<－2}，
设A＝{x|x>10或x<－2}．
由x2－2x＋1－m2≤0（m>0），
得1－m≤x≤1＋m（m>0），
∴綈q对应的集合为{x|x>m＋1或x<1－m，m>0}，
设B＝{x|x>m＋1或x<1－m，m>0}．
∵綈p是綈q的必要而不充分的条件，∴BA，
∴
且不能同时取得等号，
解得m≥9，∴实数m的取值范围为[9，＋∞）．
解法二：
∵綈p是綈q的必要而不充分条件，
∴q是p的必要而不充分条件，
即p是q的充分而不必要条件．
由x2－2x＋1－m2≤0（m>0），得
1－m≤x≤1＋m（m>0）．
∴q对应的集合为{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，
设M＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，
又由
≤2，得－2≤x≤10，
∴p对应的集合为{x|－2≤x≤10}，
设N＝{x|－2≤x≤10}．
由p是q的充分而不必要条件知NM，
∴
且不能同时取等号，解得m≥9.
∴实数m的取值范围为[9，＋∞）．
本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．
方法点睛
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