全国高中数学联合竞赛试题.docx
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全国高中数学联合竞赛试题
全国高中数学联合竞赛试题（B卷）
一、填空题（每小题8分，共64分，）
1.函数f（x）二x_5_24_3x的值域是.
2.已知函数y=（acos2x_3）sinx的最小值为一3，则实数a的取值范围是—.
3.双曲线x2-y2的右半支与直线x=100围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整
数的点）的个数是.
4.已知｛an｝是公差不为0的等差数列，｛bn｝是等比数列，其中印=3,d=1,a2=b2®5=b3，且
存在常数:
使得对每一个正整数n都有an二log-.bn「，则〉「二.
5.函数f（x）二a2x3a^2（a.0,a=1）在区间［-1,1］上的最大值为8,则它在这个区间上的
最小值是.
6.两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一
人投掷.先投掷人的获胜概率是.
7.正三棱柱ABC-A,BQ!
的9条棱长都相等，P是CG的中点，二面角B-A,P-B!
=：
•,则
sin：
=_.
8.方程xy^2010满足x_y_z的正整数解（x,y,z）的个数是.
二、解答题（本题满分56分）
9.（16分）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a式0），当0兰x兰1时，f"（x）兰1，试求a的最大值.
10.（20分）已知抛物线y2=6x上的两个动点A（x1,y1）和B（x2,y2），其中x^-x2且x1x^4.线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求ABC面积的最大值.
11.（20分）证明：
方程2x3•5x-2=0恰有一个实数根r，且存在唯一的严格递增正整数数列｛an｝，
使得2ra1ra2ra3
5
力口试
1.（40分）如图，锐角三角形ABC的外心为0,K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M.求证：
若OKIMN，贝UA,B,D,C四点共圆.
f⑴（r）二f（f（z（r））,丨_2•证明：
存在正整数m,使得f（m）（r）为一个整数•这里，x表示不小于实
n-1
求证:
k=1,2,川，n•
<——
2
4.（50分）一种密码锁的密码设置是在正n边形AiA^IAn的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个,
同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相
同.问：
该种密码锁共有多少种不同的密码设置？
全国高中数学联合竞赛试题
参考答案及评分标准（B卷）
说明：
1.评阅试卷时，请依据本评分标准•填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次
2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分
档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次。
1.[-3「3]提示：
易知f（x）的定义域是5,8】，且f（x）在5,8】上是增函数，从而可知f（x）的
值域为[一3,3].
2.-3乞a乞12提示：
令sinx=t，则原函数化为g（t）=（-at2•a-3）t,即卩
2
3
g（t）二-at（a-3）t•
由—at3（a—3）t_—3,_at（t2-1）-3（t-1）_0,（t—1）（—at（tT）—3）_0及t一1空0知
-at（t1）-3_0即
2
a（tt）一-3.
（1）
当t=0,-1时
（1）总成立；
2123
对0:
：
:
t<1,0:
:
:
t•t乞2；对_1：
：
：
t:
:
:
0,tt：
：
0.从而可知a乞12.
42
3.9800提示：
由对称性知，只要先考虑x轴上方的情况，设y=k（k=1,2，…,99）与双曲线右半
支于Ak，交直线x=100于Bk，则线段AkBk内部的整点的个数为99-k，从而在x轴上方区域内部整点
的个数为
99
'（99-k）=9949=4851.
k3
又x轴上有98个整点，所以所求整点的个数为2485198=9800.
4.333提示：
设｛an｝的公差为d,｛bn｝的公比为q，贝U
3d=q,
（1）
2
3（34d）=q,
（2）
（1）代入
（2）得912d=d26d9，求得d=6,q=9.
从而有36（n-1）=log：
.9心「对一切正整数n都成立，即6n-3=（n-1）log：
.9「对一切
正整数n都成立.
从而
log.9=6,-3--log：
.9：
求得a=V3,p=3,g+B=V3+3.
13一
5.-一提示：
令ax=y,则原函数化为g（y）二y23^2,g（y）在（-一,+：
：
）上是递增的.
42
当0：
：
a：
：
1时，y[a,aJ,
21_11
g（y）max=a3a—2=8=a—=2=a=
所以
1211
g（y）min=（）32=
224
当a1时，y二[a',a],
2
g（y）max=a3a-2二8=a=2,
所以
g（y）minQ32」-2—1.
4
1
综上f（x）在X.[_1,1]上的最小值为一丄.
4
12217
6.提示：
同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为，从而先投掷人的获胜概率为
173612
7,5、27,5、477112
—+（—）X—+（—）汉一+■…=—X=——
12121212121212517
144
7.-I0提示：
解法一：
如图，以AB所在直线为x轴，线段AB中点0为原点，0C所在直线为y
4
轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2,则B（1,0,0）,B1（1,0,2）,A1（-1,0,2）,P（0,、.3,1），从而,
BA=（-2,0,2）,BP=（-1,、3,1）,BA1=（-2,0,0）,B1P二（-1八3,-1）.
设分别与平面BA1P、平面B1A1P垂直的向量
m=（治，力，乙）、n=&2』2忆2），则
mBA=-2x12z1=0,
mBP二-X1、3y1乙=0,
nB1A^■-2x2=0,
nB1P=-x23y2-z2=0,
由此可设m=（1,0,1）,n=（0,1,3）
mni|mncos，即
__6
4
73=722cos^l=|cos。
I=
解法二：
如图，pc=pg,pa=pb.
因为PA二PBi,所以PO_ABi,从而ABi_平面PA（B
过O在平面PA,B上作OE_AP,垂足为E.
连结B,E,则/B,EO为二面角B-AP-B,的平面角.设AA=2,则易求得
PB=PA,=•._5,AjO=B,O=•.2,PO=.3.
在直角
•：
PAO中，A,0POrAjPOE,即2、3=吒5OE,OE
又BQ=.2,.B1E=.BQ2OE2
sin:
=sin.B^O二空：
一210
B1E4J5
把xy•z=2010满足x込y三z的正整数解分为三类:
（1）x,y,z均相等的正整数解的个数显然为1；
（2）x,y,z中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003；
（3）设x,y,z两两均不相等的正整数解为k.
易知
1310036k=20091004，
所以
6k=20091004-31003-1
20061005-200932-1二20061005-2004，即
k=1003汇335-334=335671.从而满足x咗y辽z的正整数解的个数为
1+1003+335671=336675.
f"（0）=c,
2bxc,由f（丄）=?
abc,
24
f（1^3a2bc
,13a=2f（0）2f
（1）-4f（―）.
2
所以
1
3a|=2f[0）+2f⑴-4f匕）
<2f⑼+2|f
（1）|+4f'（_）<8，
所以a_8.又易知当f（x）=8x3_4x2xm（m为常数）满足题设条件,
33
所以a最大值为-.
3
解法
:
f（x）二3ax22bxc.设g（x）二f（x）1，则当0乞x乞1时,
z+1
设z=2x-1，则x二——，一1乞Z乞1.
2
z+1
h（z）=g（
遁z2.^^z弐bc1.
424
容易知道当-1乞z乞1时
00严）W~2，即
3a23a
zbc1_2，
44
从而竺bc1_0,处乙2_2，
44
又易知当f（X）=8X3-4X2•X•m（m为常数）满足题设条件，所以a最大值为-.
33
10.解法一：
设线段AB的中点为M（x0,y0），贝Ux0
X1X2y「y2
2，y°'，
kAB
y2y1
y。
线段AB的垂直平分线的方程是
为（5,0）.
（2）代入y2=6x得y2=2y°（y-y°）12，即
依题意，y「y2是方程（3）的两个实根，且％=y2，所以
222
.■:
=4y°—4（2y。
一12）=-4yo48.0,
-2“j3：
；yo:
：
2\3.
AB|=J（xi-x2）+（yi—y2）「（1（；0）2）（yi-y2）2二（i殳）[（yiy2）2rym]
\9
「（iy0）（4y2-4（2y^-i2））
V9
2
=3■（9y：
）（i2—y[）.
定点C（5,0）到线段AB的距离
h=CM|=J（5_2）2+（O_yo）2=j9+y；.
S出bc=；|ab|■^^/（^yO2）（i^y2n,^+y223
=3、；（9y2）（24-2y[）（9y（）
1/9y：
24-2y：
9y'3一3百（:
）
7.
3
当且仅当9•y：
=24-2yf,即y0-<-.-/5,A（
「^、5、.7）,b（6兰、5-7）或
33
“色护山石、.7））,b（宥1-..5、7）时等号成立.
所以，ABC面积的最大值为i47.
3
解法二：
同解法一，线段AB的垂直平分线与x轴的交点C为定点，且点C坐标为（5,0）.
S2Abc=（i（5'61.6t；t2-'6址；-5.6t2））2
3
（ti九）2（母25）2
（4-2t1t2）（t1t25）（t1t25）
2
朋（与，
23
14L222
以SABC乞3「7,当且仅当（t1—t2）2二如25且t；tf=4，即t1
t2
75,a（6H,、5,7）,b（§H,、、5—.7）或
、633
A（6単、、7））,B（635.7）时等号成立.
33
所以，：
ABC面积的最大值是
所以2r35r-2=0，
故数列an=3n-2（n=1,2,…）是满足题设要求的数列.
去掉上面等式两边相同的项，有
a1-ra2-严•…二J•rb2■rb3■■■
rS1rS2汁=「.rt2.rt3.
不妨设S]:
:
:
1，则
S|S1S2
r:
：
r1r2
1：
：
：
r
:
：
；-rt2马讦八-：
：
：
；；rr2
矛盾•故满足题设的数列是唯一的
加试解答
1.用反证法.若A,B,D,C不四点共圆，设三角形的外接圆与AD交于点E,连接BE并延长交直线AN于点接CE并延长交直线AM于点P,连接PQ.
因为PK^P的幕（关于OO）-K的幕（关于OO）
二PO2-r2KO2-r2,
同理
QK=QO2
222
-rKO-r,
ABC
Q,连
所以
PO2_PK2=Q02_QK2,
故0K丄PQ
由梅内劳斯（
AQ
QN
定理，得
AP
-PM.
①
NB
DE
AQ,
*■
1,
②
BD
EA
QN
MC
DE
AP
■
1.
③
CD
EA
PM
MC
NDMD
所以
，故△DMNs△DCB于是
CD'
BDDC
即K为BC的中点，矛盾！
从而
Menelaus）
由题设，OKIMN，所以PQ/MN，于是
NB
由①，②，③可得竺
BD
以BC//MN，故02BC,
A,B,D,C四点共圆.
2
注1：
PK=P的幕（关于OO）-K的幕（关于O
PK
则P,E,F,A四点共圆，故
KF二AKKE，
从而E,C,F,K四点共圆，于是
PK
⑤-④，得
DMN二DCB，所
0）”的证明：
延长PK至点F,使得
PFE=PAE=BCE，
卩F二PEPC，
2
PK=PEPC-AKKE二P的幕（关于OO）-K的幕（关于OO）.
注2:
若点E在线段AD的延长线上，完全类似.
2.记v（n）表示正整数n所含的2的幕次.则当
m=v2（k），1时，f（m）（r）为整数.
下面我们对V2（k）=v用数学归纳法.
当v=0时，k为奇数，k1为偶数，此时
f（r）二k1k1=k-k1
I2丿|2丨J2/
为整数.
假设命题对v_1（v_1）成立.
对于v_1，设k的二进制表示具有形式
k=2v*.12v1上:
心22v2■111,
这里，冷=0或者1,i=v1,v2^1.
于是
f（r）弘1|'|k1二k*k1
1k2
kk
22
J-2vJ11）2v-（：
、1*v2）-2vMt22vIII
2
1
=「一，①
2
这里
「=2v‘+（%出+1）2v+（%昇％半）2宀+川+22v+卅.
由①知,
1显然k中所含的2的幕次为v-1.故由归纳假设知，J=经过f的v次迭代得到整数,
2
f（v1}（r）是一个整数，这就完成了归纳证明.
n
0;•二aj_n-k.
i=k1
k
3.由0:
:
:
ak-1知，对1-k-n-1，有0a—k,
iA
注意到当x,y>0时，有x—ycmax{x,y}，于是对1兰k兰n-1，有
1
n
A
1V
2-ai
—1一-
-a
n
i士+
Ik
nJ—
1；11?
:
maxai,ai
ni±1\knyI
「1f11"、
兰max2_（n_k）,_-一k\
Ln丿Ikn丿J
n
n
n
为akAk
=
nAn-£Ak
k-X
k-X
k-1
nA.
-Ak「兰》An-Ak
7
4.对于该种密码锁的一种密码设置，如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边上标上
a，如果颜色不同，则标上b，如果数字和颜色都相同，则标上c.于是对于给定的点A上的设置（共有4
种）,按照边上的字母可以依次确定点A2,A3,川，An上的设置•为了使得最终回到A时的设置与初始时相
同，标有a和b的边都是偶数条•所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记a,b,c,
使得标有a和b的边都是偶数条的方法数的4倍.
有C?
种方法，在余下的边中取出
0"j_卫彳.选取2i条边标记a的[2」
2j条边标记b的有种方法，其余的边标记c.由乘法原理，此时
共有CniCn2i种标记方法.对i,j求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为
这里我们约定C0=1.
当n为奇数时，n-2i0，此时
代入①式中，得
nn
八C：
2n「aCk2n“（-1）k=（21）n（2-1）n
k=0k=0
-3n1.
当n为偶数时，若i：
：
：
◎，则②式仍然成立；若i=◎，则正n边形的所有边都标记a,此时只有一种标
22
记方法•于是，当n为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为
n
2
=24cn2n2i1=3n3•i卫
综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：
当n为奇数时有3n1种；当n为偶数时有3n-3
种.
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