全国高中数学联合竞赛A卷.doc

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2018年全国高中数学联赛竞赛

一、填空题：

本大题共8小题，每小题8分，满分64分。

1.设集合，，则的元素个数为______.

2.设点到平面的距离为，点在平面上，使得直线与所成角不小于且不大于，则这样的点所构成的区域的面积为______.

3.将随机排成一行，记为，则是偶数的概率为______.

4.在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别是，椭圆的弦与分别平行于轴与轴，且相交于点。

已知线段的长分别为，则的面积为______.

5.设是定义在上的以为周期的偶函数，在区间上严格递减，且满足，则不等式组的解集为______.

6.设复数满足，使得关于的方程有实根，则这样的复数的和为______.

7.设为的外心，若，则的值为______.

8.设整数数列满足，且

，

则这样的数列的个数为______。

二、解答题：

本大题共3小题，满分56分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9.（本题满分16分）已知定义在上的函数为

设是三个互不相同的实数，满足，求的取值范围。

10.（本题满分20分）已知实数列满足：

对任意正整数，有，其中表示数列的前项和。

证明：

1）对任意正整数，有；

2）对任意正整数，有。

11.在平面直角坐标系中，设是抛物线的过点的弦，的外接圆交抛物线于点（不同于点）。

若平分，求的所有可能值。

加试（A卷）

一、（本题满分40分）设是正整数，，均为正实数，满足，且。

二、（本题满分40分）如图，为锐角三角形，，为边的中点，点和分别为的外接圆和的中点，为的内切圆在边上的切点，为与的交点，在线段上，满足。

证明：

若，则。

（答题时请将图画在答卷纸上）

三、（本题满分50分）设是正整数，满足，且。

设是的元子集。

证明：

区间中的每个整数均可表示为，其中。

四、（本题满分50分）数列定义如下：

是任意正整数，对整数，是与互素，且不等于的最小正整数。

证明：

每个正整数均在数列中出现。

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