北师大版高中数学必修一33 指数函数.docx
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北师大版高中数学必修一33指数函数
高中数学学习材料
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3-3指数函数
基础巩固
一、选择题
1．若函数y＝（1－a）x在R上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，＋∞）B．（0,1）
C．（－∞，1）D．（－1,1）
[答案] B
[解析] ∵函数y＝（1－a）x在（－∞，＋∞）上是减函数，
∴0<1－a<1，∴02．函数y＝2－x的图像是下图中的（ ）
[答案] B
[解析] ∵y＝2－x＝（）x，
∴函数y＝（）x是减函数，且过点（0,1），故选B.
3．函数y＝x2－2x的单调递增区间是（ ）
A．（－∞，0]B．[0，＋∞）
C．（－∞，1]D．[1，＋∞）
[答案] C
[解析] 令u＝x2－2x＝（x－1）2－1，
当x≤1时，u＝x2－2x是减函数；当x≥1时，u＝x2－2x是增函数，
而y＝u为减函数，
故当x≤1时，y＝x2－2x为增函数．
4．已知集合M＝{－1,1}，N＝，则M∩N等于（ ）
A．{－1,1}B．{－1}
C．{0}D．{－1,0}
[答案] B
[解析] 解法一：
（排除法）M∩N⊆M，故排除C、D；
x＝1时，2x＋1＝4则1∉N，排除A.故选B.
解法二：
∵<2x＋1<4，∴－2又∵x∈Z，∴x＝－1,0.
∴N＝{－1,0}，∴M∩N＝{－1}．故选B.
5．（2011·湖北文）若定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）＋g（x）＝ex，则g（x）＝（ ）
A．ex－e－xB.（ex＋e－x）
C.（e－x－ex）D.（ex－e－x）
[答案] D
[解析] 本题考查了函数的奇偶性，用－x代x，联立求g（x）．由f（x）＋g（x）＝ex知f（－x）＋g（－x）＝e－x，
而f（x），g（x）分别为偶函数，奇函数，
则f（x）＝f（－x），g（x）＝－g（－x），
所以有解得g（x）＝（ex－e－x）．
6．函数y＝ax在[0,1]上最大值与最小值的和为3，则a等于（ ）
A. B．2C．4 D.
[答案] B
[解析] 当01，当x＝0时，ymin＝a0＝1，
当x＝1时，ymax＝a1＝a，
又∵1＋a＝3，∴a＝2.故正确答案为B.
二、填空题
7．函数f（x）＝ax2＋2x－3＋m（a>1）恒过点（1,10），则m＝________.
[答案] 9
[解析] ∵函数f（x）＝ax2＋2x－3＋m（a>1）恒过点（1,10），
∴10＝a0＋m，∴m＝9.
8．函数y＝
的定义域是__________，值域为__________．
[答案] [－1,2] [，1]
[解析] 由－x2＋x＋2≥0得－1≤x≤2，
此时－x2＋x＋2∈[0，]
∴u＝∈[0，]，
∴y＝u∈[，1]．
三、解答题
9．求下列函数的值域和单调区间．
（1）y＝（）－x2＋2x；
（2）y＝4x－2x＋1＋3，x∈（－∞，1]．
[分析] 这两个小题均以指数函数形式出现但都是由两个函数复合而成．
（1）中y＝（）u，u＝－x2＋2x；
（2）中y＝t2－2t＋3，t＝2x.
先考虑其定义域，再求其值域．求单调区间可由复合函数的单调性来确定．
[解析]
（1）设u＝－x2＋2x.
∵y＝（）u，u＝－x2＋2x的定义域都是R，
∴y＝（）－x2＋2x的定义域为R，
∵u＝－x2＋2x＝－（x－1）2＋1≤1，
∴（）u≥（）1，
∴函数的值域为[，＋∞）．
u＝－（x－1）2＋1在（－∞，1]上单调递增，
在[1，＋∞）上单调递减．
又∵y＝（）u是减函数，
∴y＝（）－x2＋2x的单调递减区间为（－∞，1]，
单调递增区间为[1，＋∞）．
（2）y＝22x－2·2x＋3，
令t＝2x，x∈（－∞，1]，∴t∈（0,2]，
∴y＝t2－2t＋3＝（t－1）2＋2.
当t＝1时，ymin＝2；
当t＝2时，ymax＝22－2×2＋3＝3.
∴函数值域为[2,3]．
当1≤t≤2时，1≤2x≤2,0≤x≤1，
当0∵y＝（t－1）2＋2在[1,2]上递增，t＝2x在[0,1]上递增，
∴y＝22x－2·2x＋3的单调递增区间为[0,1]；
∵y＝（t－1）2＋2在（0,1）上递减，t＝2x在（－∞，0）上递增，
∴y＝22x－2·2x＋3的单调递减区间为（－∞，0）.
能力提升
一、选择题
1．（2011·福建文）已知函数f（x）＝若f（a）＋f
（1）＝0，则实数a的值等于（ ）
A．－3B．－1
C．1D．3
[答案] A
[解析] 本题考查分段函数求值．
∵f
（1）＝21＝2，∴由f（a）＋f
（1）＝0知 f（a）＝－2.
当a>0时 2a＝－2不成立．
当a<0时a＋1＝－2，a＝－3.
2．（2012·武穴高一检测）定义运算a*b＝，如1]（ ）
A．（0,1）B．（0，＋∞）
C．[1，＋∞）D．（0,1]
[答案] D
[解析] 由题意知函数f（x）的图像如图，
∴函数的值域为（0,1]，故选D.
二、填空题
3．已知a＝，函数f（x）＝ax，若实数m，n满足f（m）>f（n），则m，n的大小关系为________．
[答案] m[解析] ∵a＝，∴0函数f（x）＝ax在x∈R上是单调递减的且f（m）>f（n），∴m4．若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是________．
[答案] [0，＋∞）
[解析] 要使函数y＝的定义域为R，则对于任意实数x，都有m·3x－1＋1≠0，即m≠－x－1.
而x－1>0，∴m≥0.
故所求m的取值范围是m≥0，即m∈[0，＋∞）．
三、解答题
5．设f（x）＝，若0（1）f（a）＋f（1－a）的值；
（2）f（）＋f（）＋f（）＋…＋f（）的值．
[解析]
（1）f（a）＋f（1－a）
＝＋＝＋
＝＋＝＋
＝＝1.
（2）f（）＋f（）＋f（）＋…＋f（）
＝[f（）＋f（）]＋[f（）＋f（）]＋…＋[f（）＋f（）]＝500×1＝500.
6．是否存在实数m，使得函数f（x）＝x2·为奇函数？
若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
[分析] 先假设存在使条件成立的m的值，根据题目要求列方程求解，再检验．
[解析] 因为g（x）＝x2为R上的偶函数，
所以要使f（x）为奇函数，只需h（x）＝为奇函数即可．假设存在实数m使h（x）为奇函数，
由h（x）＋h（－x）＝0，
即＋＝0，＋＝0.去分母，得
（3x－m）（1＋m·3x）＋（3x＋m）（1－m·3x）＝0.
整理，得2·3x·（1－m2）＝0，解得m＝±1.
经检验，当m＝±1时，f（x）为奇函数．
故存在m＝±1，使函数f（x）为奇函数．
7．已知f（x）＝.
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）证明f（x）是定义域内的增函数；
（3）求f（x）的值域．
[分析] 本题是一道综合题，需利用函数的有关性质，如单调性、奇偶性等知识解决．
[解析]
（1）∵f（x）的定义域为R，且f（－x）＝＝－f（x），∴f（x）是奇函数．
（2）证法1：
f（x）＝＝＝1－.
令x2>x1，则Δx＝x2－x1>0，
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