数学学习障碍学生的认识与教学杨坤堂.docx

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数学学习障碍学生的认识与教学杨坤堂

第三章　數學學習障礙學生的教學

第一節　數學學習障礙學生的數學教學理論

數學學習障礙的數學教學理論主要有下列五種學習理論：

從具體學習到抽象學習漸進法、建構學習（constructuvelearning）、直接教學、學習策略教學以及問題解決教學法等（Lerner,2003）。

一、從具體學習到抽象學習漸進法（Lerner,2003）

數學學習是一種持續性與漸進式的學習，學生在學習數學的過程中，逐漸地建構其數學力量和增加其數學知識，從具體學習到抽象學習，從不完全的知識到完全的知識，從無系統的思考到有系統的思考（Ginsburg,1997;Baroody&Ginsburg,1991）。

教導任一類別的數學時，都可以在具體、半具體與抽象層面中進行學習，Miller和Mercer（1997），以及Miller（1996）提出下列協助學生從具體學習到抽象學習的建議：

（1）具體層次：

學生使用真實的物料或操作教具，諸如環境中的物體、積木、方塊等，讓學生能身體碰觸、移動與操作上述物體，藉以解決其數學問題。

（2）半具體層次：

學生使用圖片或繪圖（如圓點或線條）等代表具體物體，進行數學解題。

（3）抽象層次：

學生以數字取代圖片、圓點或線條等符號，直接使用數字進行數學解題。

二、建構學習

建構學習的立論基礎是學生必須主動地建立自己的數學心智結構以及建構自己的數學解題方法。

研究結果顯示，兒童能自然地發明自己的數學程序，並藉此處理生活環境中的數學問題（Ginsburg,1997;Broody&Ginsburg,1991;Resnick&Klopfer,1989）。

數學建構教學要求學生積極參與數學學習，教師鼓勵學生發展與使用自己發明的數學解題方法，藉以建立學生的數學心智結構。

建構學習視數學學習為一種從做中學的主動歷程，學生經由看、觸與操作手邊的物料，自己探索數學的想法，並創造其真實的經驗世界（Lerner,2003）。

三、直接教學

直接教學係經由精準與仔細計劃和建構的教學活動，以協助學生精熟數學技巧的數學教學法，乃是統整課程設計與教學技術，藉以產生數學教學方案的通盤系統（Carnine,1997）。

研究結果證明，直接教學乃改善學習障礙學生數學成就的有效教學法（Carnine,1997;Elliot&Shapiro,1990;Fuchs&Fuchs,2001）。

直接教學符合精熟學習和有效教學的教學哲學，而且直接教學亦適合數學序列性的本質與內涵（Lerner,2003）。

直接教學強調充分的學習時間、達到精熟技巧的足夠練習以及主要概念的重點教學等（Simmons&Kameenui,1995）。

直接教學採用高度組織的序列性數學課程與有計劃的教學過程，其教學步驟如下（Carnine,1997;Tarver,1992;Carnine,Granzin,&Becker,1988）：

1、教師決定長程與短程的教學目標。

2、教師經由工作分析計劃教學。

3、教師實施精準教學。

4、教師設計與實施持續性的評量。

四、學習策略教學

認知策略教學的目的在協助數學障礙學生習得數學的學習策略，以及主導和監控自己的數學學習活動。

學習策略係指個體計畫、執行與評量其學習表現和結果的思考及行動方法（Montague,1997;Deshleretal.,1996;Lenzetal.,1996）。

學生應用認知策略，進行自我對話以及自我詢問，藉以解答數學問題。

Montague和Bos（1986）建議下列八步驟的解題認知學習策略：

1、大聲唸題目。

2、大聲解述題目。

3、視覺化資訊。

4、大聲陳述題目。

5、大聲假設與思考題目。

6、大聲推估答案。

7、計算與標記答案。

8、自我檢核：

使用自我詢問技術查看答案是否正確？

五、問題解決教學法

數學問題解決係指解決數學文字問題（或稱數學應用題）時所需的思考類型，乃是最優先以及相當大數量的數學課程（NCTM,2000;Parmar&Cawley,1997;Rivera,1997）。

應用題是學習障礙學生最感困難的數學問題，而數學應用題的策略教學能改善學習障礙學生數學應用題的解題能力（Montague,1997），因此，教師要加強教導和訓練學習障礙學生數學應用題的解題程序及方法，學習如何把思考與語言跟數學的概念與技巧聯合起來，以解決數學應用題。

學生在解決數學應用題時，要先分析與闡釋資訊，再作抉擇與作決定，而後應用正確的數學概念以及計算技巧（Montague,Applegate&Marquard,1993;Cawley&Miller,1989）。

教師可應用下列方式實施數學應用題解題策略教學：

1.經由師生對話，協助學生建構其問題反應的模式。

2.提供足夠的應用題練習（可使用加法、減法、兩步驟問題和額外資訊問題的應用題）（Fleischner,Nuzum,&Marzola,1987）。

3.要學生對應用題放聲思考。

4.鼓勵學生使用各種不同的策略解題。

5.詢問學生答案怎麼來的？

6.可以讓學生使用計算機，裨益學生專注於應用題的解題練習。

7.學生使用五步驟提示卡練習應用題的解題程序。

（1）閱讀題目（Read）：

問題是什麼題目？

（2）重讀題目（Reread）：

必要的資訊是什麼？

（3）思考（Think）：

問題的關鍵字是什麼？

（例如，總共或相差）我需要題目中的全部資訊或部份資訊？

這是一步驟或兩步驟的題目？

（4）解題（Solve）：

先寫下等式，再寫下計算式，接著計算。

（5）檢查（Check）：

驗算，核對答案（數字和單位名稱）。

第二節　數學學習障礙學生的教學方案架構

Cawley（1984）建議數學教學方案架構（如圖3-1）

內容預測

評量

圖3-1　數學教學方案架構（Cawley,1984）

課程內容選項

一、內容

首先依據學生的年齡或數學程度選擇與提供適當的數學課程或教材，其做法如下：

1.先全面地評量學生的數學程度，鑑定其數學能力的發展現況以及其精熟特定數學技巧和概念的時間。

2.持續地提供充分的數學課程，以免造成某種數學領域（例如：

幾何）或數學概念（例如：

2+3＝5和3+2＝5的加法交換律）的斷層現象，並可順利地進行下一步驟的學習（例如：

1／2+1／4＝3／4和1／4+1／2＝3／4的分數交換律）

3.持續地統整數學概念、技巧、問題解決和應用。

4.避免養成錯誤的數學概念。

二、評量

數學課程的內容選定之後，接著是選用適當的評量工具，用以正確地評估各年齡階層的數學內容。

有些測驗工具是常模參照測驗（Norm-referencedtest），能比較受試者在團體中的數學能力；有些測驗工具則屬效標參照測驗（criterion-referencedtest），能解釋受試者在各項數學能力的表現。

三、管理

管理係指維持學生注意力或學習活動，增進學生的學習表現或訓練學生獨力學習的程序和措施。

四、教學

教學係指在管理導向的基架上，教導學生數學的概念和技巧的一種過程（procedure）。

教學包括：

教學選擇（instructionalchoice）和教學決策（instructiondecision），教師決定採用操作作業或紙筆作業，這是教學選擇；教師問學生：

「你可以用多少種算法求得5？

」或「注意聽，跟著我唸2+3＝5。

」則是教學決策。

五、應用

教學的最終目標是協助學生類比和應用，數學學習有兩種應用：

一種應用在增進學生數學能力的進展，另一種則是應用在實際生活上。

例如：

「數目10中有幾個1／2？

」是屬於數學能力；而「10英吋的木板可鋸成幾個1／2英吋的木條？

」則是在實際生活中應用數學。

第三節　數學學習障礙學生的數學教學前提

（Cawley,1984;Cegelka&Berdine,1995）

1.所有學生都有能力學習，而且絕大多數的學生能學會學校的基本課程。

2.學校的主要任務是協助學生進行最大量的學習，教育學生使成為獨立的、參與的和貢獻的社會公民。

3.學生的失敗乃是學校未能適當地滿足學生的教育需求，其中包括教育方案、學校結構、課程與教學等學校的缺失和不足。

4.學校能提供所有學生有效的教育，教師能學習有效的教學方法，藉以協助學生學習與成就。

5.學習障礙學生應擁有發展其數學的最大潛能以及應用與享受數學的機會。

6.數學不只提供學生數學技巧，更必須增進學生使用數學的能力。

數學教學的設計與實施必須促成學生語文、認知、社會以及其他方面的發展。

7.學生數學學習問題與低成就的成因是多元的。

8.學習障礙學生的數學問題是相當異質性的，並非每位學習障礙學生都有數學問題，亦並非每位數學學習障礙學生的數學問題都相同。

9.數學學習障礙學生的特徵可能異於其他類型的學習障礙學生。

10.不同的評量方法可能產生互異的評量結果。

11.有效的直接教學必須施行適當的課程，教材必須配合學生的經驗背景與準備度；直接教學必須保持教材教法的彈性與適性，並依據正確的評量設計適合的教學方案。

12.調適性教材教法能補救學生有關數學計算、運思與過程問題。

教師可經由增加學生初學階段的複習次數以及課後的作業練習，以改善學生的短程記憶問題。

13.教師可透過數學課程的相關經驗（或教學活動），來改善學生的思考與推理問題。

教師依據數學的課程內容設計自然的學習活動，協助學生學會應習得的數學能力。

14.別試圖矯治學生的缺陷，但要力求不排除與不放棄數學學習障礙學生，以免增加其累積缺陷。

15.先強調基本概念公式的瞭解，再整合相關觀念，並應用在實際問題的解決上。

16.數學學障學生接受適當的數學教學可能學會數學的學科技巧。

第四節　數學學習障礙學生的教學原則

Cawley（1984）建議五原則：

1.通盤性（comprehensiveness）：

學習障礙學生大約接受十二到十四年的學校教育，教師為學習障礙學生發展設計教育方案時，宜考慮此一事實。

2.個別化：

每一位學習障礙學生都是獨一無二的個體，教師在設計和執行學習障礙學生的評量與鑑定、課程與教學時，必須重視其個別差異。

3.矯正：

教師要持續評量學生的學習表現，以確實了解學生學習結果與問題的程度和性質。

學生必須達到一致性的學習結果，而其學習問題與錯誤必須獲致矯正。

惟教師宜一次只矯正學生的一項學習問題與錯誤，因為過度矯正（一次矯正學生的多項學習問題與錯誤）的不良影響如同忽略學生的錯誤一樣。

4.變通（alternatives）：

如果某一種教材教法無效，則採行另一種教材教法。

5.處遇（intervention）：

別讓學生養成習慣性的錯誤的數學概念與算法。

教師應該確實實施早期療育，矯正學生現在的錯誤甚至比一開時就教學生正確學習還要困難。

Bigge&Stump（1999）建議七原則：

1.具體、半具體與抽象教學：

前文指出，教師教導任一類別的數學時，都可以在具體（學生使用真實的物料或操作教具，藉以解決其數學問題）、半具體（學生使用圖片或繪圖，如圓點或線條等代表具體物體，進行數學解題）與抽象層面（學生以數字取代圖片、圓點或線條等符號，直接使用數字進行數學解題）中進行學習。

2.操作式教具教學法：

操作式教具教學法亦即類同上述的具體層面教學，教師教導學生經由使用真實的物料或操作教具，藉以學習數學的概念和技巧等。

3.突顯法或標示法（highlightingandcolorcoding）：

突顯法或標示法可以運用在數學各層面以及其他課程的教學上，例如，教師在數學作業單上，把關鍵性的數學符號、步驟與資訊，用彩色字、斜體字、粗體字或畫底線等方式，協助學生注意特定的資訊，裨益順利學習數學。

教師亦可訓練學生學習運用這種方法進行數學的解題。

4.記憶術教學法（mnemonicinstruction）：

記憶術教學法屬於一種有效的認知策略教學方法。

前文指出，認知策略教學的目的在協助數學障礙學生習得數學的學習策略，以及主導和監控自己的數學學習活動。

學生應用認知策略，進行自我對話以及自我詢問等方法，藉以解答數學問題。

而學習策略係指個體計畫、執行與評量其學習表現和結果的思考及行動方法（Montague,1997;Deshleretal.,1996;Lenzetal.,1996）。

記憶術教學法乃是教師教學生特定的記憶術，例如頭文字（或字首字）記憶法，並輔以提示卡或備忘錄，協助學生記憶數學解題的步驟，俾能有效解題。

5.演示加永久模式法（demonstrationpluspermanentmodelapproach）：

演示加永久模式法是指教師先示範解題方法或步驟，而教師先前的解題示範將變成學生日後解題的永久模式。

例如，在教學過程中，教師和學生一起做作業單的第一題，教師一邊做，一邊使用放聲思考策略，講解其步驟和方法，做完之後，教師把第一題及其解題的結果圈起來，告訴學生這是作業單上其他各題的解題模式。

教師可聯合使用突顯法把解題步驟標示出來，或以提示卡或備忘錄方式把指導語寫出來。

演示加永久模式法可應用在各種類型和程度的數學教學上。

6.使用計算機：

使用計算機可以讓學生專注於應用題的解題練習，包括數學推理或邏輯思考能力訓練，以及解題歷程的教學。

此外，使用計算機亦有利於計算困難症學生學習數學。

7.使用電腦：

電腦在數學教學上有諸多用途，學習障礙學生在數學學習上使用電腦的機率比其他課程要頻繁得許多（Gosden,Gerber,Semmel,Goldman,＆Semmel,1987）。

在數學科方面，尤其是在國民小學階段，絕大多數是使用訓練及練習（drill-and-practice）的電腦套裝軟體來提供學生額外的複習。

Howell,Sidorenko以及Jurica（1987）發現在乘法的教學上，使用電腦做練習比教師的直接教學有效率。

此外，電腦在問題解決方面的練習上效果亦極為優異。

第五節　數學學習障礙學生的教學流程與策略

一、數學教學流程

學習障礙學生有效教學流程包括下列五個步驟：

（1）複習；

（2）教師示範；（3）學生大量靈活地練習；（4）教師系統化地回應和糾正學生；（5）課堂作業及家庭作業（Good&Grouws,1979），如表3-1所示：

表3-1有效的數學教學流程與方法

每日複習（星期一除外，每節八分鐘）

1.複習家庭作業的概念與技巧

2.收齊與處理家庭作業

3.心算練習

發展活動（大約二十分鐘）

1.簡要介紹先備的概念與技巧。

2.鎖定意義，藉由生動的解釋、演示、解說步驟和圖解等，以增進學生的理解。

3.評量學生理解

（1）使用過程／結果的問題。

（2）控管性練習。

4.必要時，詳細地重複解說意義。

綜合活動（約十二分鐘）

課堂作業

1.提供學生不受干擾的良好練習。

2.維持動能：

繼續練習－讓每個學生都參與，並持續下去。

3.預警：

讓學生知道，下課前會檢查作業。

4.責任績效：

檢查學生作業。

家庭作業

1.星期五除外，每次數學課下課前，出一份一般程度的作業。

2.提供大約十五分鐘的家庭作業。

3.應包含1~2題複習題。

特別複習

1.每週複習與保留。

（1）每星期一的前二十分鐘作複習。

（2）重點放在前一週所學的概念和技巧。

2.維持每月複習與保留

（1）每隔四周的星期一一次。

（2）重點放在上月複習的概念和技巧。

修改自密蘇里有效教學方案－四年級課堂實驗研究（T.L.Good和D.A.Grouws,1979）。

教育心理學期刊71期，第355-362頁（美國心理協會，1979）。

數學課一開始可以做些

（1）暖身練習活動，像是解答教師所問的問題，簡短寫下答案（例如：

給我一個分數的例子，還有你們何時用到它？

），也可做一些（可能5－10個）基本的練習。

暖身練習的作用是複習先前所學，並讓學生思考數學。

（2）接下來就可開始介紹概念或程式，教師先瀏覽要教的主題，然後仔細挑選例子來示範公式、概念和運算過程。

並盡可能示範實習教材、真實世界的物品、圖片或圖表。

此時教師可引導學生，使其瞭解有許多方法都能表現同一主題。

（3）可讓學生分成小組練習教師所教過的教材或其他範例，如此可增加額外的練習。

當學生擁有較大能力時，將學生分成不同小組，以探究問題情境（Cohen,1986）。

分成小組的目的是要思考概念，而非記憶、背誦練習或只是簡單地演練規則。

（4）教師巡迴教室，監督各小組的運作，提出問題，並解答疑惑，糾正錯誤，讓學生持續學習活動，直到找出答案。

Lloyd和Keller（1989）認為，學生在回答問題或計算錯誤時，是教師最好的教學時機。

教師可分析學生的錯誤，判定學生是用錯公式、公式算錯、忘記基本定理、一般的計算失誤或先前的技巧練習不足、還是不懂概念。

然後教師在示範時加以糾正，並陳述正確的定理，或教導必要的技巧，以及學生所缺乏的程式技巧。

教師只需要簡單地點頭示意說「對」，或重複學生所答的正確答案，並使之更精確。

學生將每日的成果製表，可減少粗心的錯誤和增加正確的答案（Fink和Carnine,1975）。

（5）教學活動結束前可讓學生進行簡單的團體討論，以達成共識或類化。

課堂作業和家庭作業應讓學生作大約15分鐘的單獨練習，以熟練課堂所學的技巧。

獨立練習的方式包括作習題、演練、遊戲、操作作業和實際生活的任務（如：

測量地板、寫作、作銀器模型或作份簡單的調查等）。

教師可使用電腦軟體做練習、複習以及模擬操作等。

二、數學學習障礙的教學策略

教學策略的設計與施行決定於學生的本質、學生學習困難的原因以及學習問題的性質（Cawley,1984），數學LD學生的數學教學方法係採特殊化數學教學策略。

一般的教育者關心的是什麼是學生應該學習的？

但特殊教育的重點是放在要如何去教學生？

然而因為許多專家對學習者的本質的看法並不同，所以衍生出許多不同的方法，而仍無一定共識。

惟特殊教育學生的特殊化教學方法一般而言有

（一）基本能力模式（basic-abilitymodel,BAD）和

（二）直接技巧模式（direct-skillsmodel,DSM）兩種模式。

（一）基本能力模式

倡導者的信念是學障兒童具有一種或多種學習上必備能力的缺陷。

其主要理論包括知動論、視-動論以及心理語言學等。

而其補救方式主要有二：

1.直接治療或訓練學生弱勢能力。

2.設計適應學生強弱勢能力的學業教學法。

基本能力模式認為學障學生的數學問題歸因於學習能力的缺陷。

例如，學生無法完成問題的原因可能是有形像-背景障礙。

學生無法閱讀多位數字，可能是知覺構成能力異常。

補救方法常採觸覺活動的方式來增強教學效果，像是在潮濕的沙子上寫字或利用具體物體的學習等。

BAD模式乃基於下列的假設（Arter&Jemkims,1979）

1.教育上的重要能力是存在且可測量的。

2.學習問題的區別診斷測驗是具有效度和信度的。

3.能強化學生的弱勢能力。

4.補救學生的弱勢能力可以增進其學業表現。

5.配合學生強勢能力的教學，可改善學生的學業成就。

有一些教育家強烈地質疑上述假設，例如，許多測驗無法有效評量學習問題，而訓練治療也不一定保證能改善能力，更甭說學業上的改善了。

此外，利用學生強勢能力的教學，其結果也不一定有積極正面的成果。

但是，同樣也有支持的意見，像伊利諾州的調查發現82％的特教教師相信他們能夠，也應該訓練學生的弱勢能力，99％認為學生的優缺點能力應是在設計教育方法時最主要的考量，93％相信修正教學，以配合學生強勢能力時，學生便學的更多。

（二）直接技巧模式（Direct-SkillsModel）

直接技巧模式不重視學習問題的成因，而強調以最直接的方法解決學習問題。

直接技巧模式源於行為心理學的理論，其技術是應用行為分析、反應教學、或資料基礎教學技術（Data-basedinstruction,DBI）。

DBI特色如下（Blankenship&Lilly,1981）：

1.DBI的特點在強調對外顯行為的觀察，基本上不重視其成因。

DBI教學方式使得普通教育較容易勝任特教的銜接工作。

2.DBI能避免『標記』。

3.DBI強調和學生密切相關的課程功能性評量，以能確切找出學生的困難所在。

4.DBI強調每一個單元行為目標的達成，使得教學預期結果能先獲得父母、教師及教育工作者的一致認同。

5.DBI並不依賴特定的教學方法理論，而視個案不同情形而定。

教學方法的決定，並不取決於老師，而是看學生實際進步的情形。

6.DBI是強調個別化課程規劃和個別化教學，但不一定需要一對一的個別教學。

只要能達到學生的學習目標，也可以實施團體學習。

7.DBI強調持續性蒐集學生進步資料，所以教師不需等二個月或一學年才能決定教學方法是有效或失敗。

8.如果學生並未達到教學目標，DBI焦點放在教師沒有適當的調整教學計畫，並非學生能力的不足。

9.DBI完全符合94-142公法中對『IEP』制訂的要求。

DBI並不特別另行規劃數學課程，而是以普通教育中所使用的教科書為準，來評量學生的能力水準。

數學課程的選擇完全根據學生的表現，有下列三種選擇：

1.依學生能力，安置學生在一般標準課程的適當位置。

2.選擇其他市售或教師製作的教材，以使學生能精熟一些特定的觀念及技巧，裨益學生最終能再度學習一般課程。

3.讓學生學習一些其它課程，強調功能性數學技巧的學習。

學習障礙學生的補救教學策略包含兩大類型：

（一）直接方法（directapproach）（諸如發現教學法或上述的直接技巧模式）與

（二）間接方法（indirectapproach）（諸如後設認知訓練或上述的基本能力模式）。

直接方法注重基本領域或計算等特定技巧的教導，藉以改善其問題或矯正其缺失。

而間接方法則針對選定的領域提供經驗（像知覺訓練），期能因而改善其他領域（像計算能力）（Cawley,1984）。

近來數學教育的教學改革兼重發現導向法（discovery-orientedapproach）與認知引導法（cognitivelyguidedapproach）兩種數學學習法（Cegelka&Berdine,1995）。

具體而言，學習障礙學生的數學補救教學策略包括

（1）發現教學（discovery-learning）、

（2）數學實驗法（MathLabs）、（3）編序教學（programmedinstruction）、（4）電腦輔助教學（CAI,computer-　assistedinstruction）、（5）直接教學法（directinstruction）；而其具體的教學策略計有解說（Expository）、教導（instruction）、演示（demonstration）、示範、訓練、練習、提示、行為消弱與塑造法、回饋、增強以及錯誤後效法（contingenciesforerrors）等（Haringetal.,1978）。

例如，

（1）教師要求學生在寫答案之前，先唸出數學問題以及答案，能改善學習障礙學生的數學表現（Lovitt&Curtiss,1968）。

（2）聯合使用演示、示範和回饋能減少學生減法上的錯誤（Blankenship,1978），（3）提示法的使用可以促進學生的作業速度（Smith&Lovitt,1975），（4）增強技術的使用能增加學生計算的正確性（Lovitt,1978），（5）使用口語提示（verb