心理统计公式汇总复习.docx
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心理统计公式汇总复习
心理统计公式汇总
第三章集中量数
1、几个集中量数的公式计算一览表
平均数
（M
算术平均数
（M）
n
ZXi
未分组：
x=y
n
分组数据：
M-送fi*Xci
Zfi
加权平均数（单位权重不相
等的情况）
送w•xi
Mw=__i——-送W
几何平均数（解决增长率的问题）
lgMg=无©；Mg=；M^NXi^I,Xn
N\X1
调和平均数
（解决速度的问题）
倒数的算术平均数的倒数：
Mh；
送丄
Xi
中数（Md
未分组：
无重复值
N+1
N-奇数：
中数即N1位置的数；
2
N=禺数：
中数即中间两个数的平均数；
有重复值
若重复值没有位于中间，则求法与无重复值时一致；
若重复值位于中间，则（P62）:
图示：
思路：
①连续性数字，不是一个点，是一个区间；
②有几个重复的，则将组距除以几；
分组
Md=Lb+（”）•十
众数（M0
1、直接观察法。
2、公式法。
（皮尔逊经验法&金式插补法）
1皮尔逊经验法：
Mo=3Md—2M;
2金式插补法：
Mo—Lb+fa^i;
fa5
【组中值的计算】
第四章差异量数
第五章相关关系
相关系数
适用资料
公式
积差相关
（皮尔逊）
1成对的数据（》30对）；
2连续变量；③正态双变量；④线性关系；
r=送Xy（N为成对数，x、y为离均差）；
NSxSy
原始值代入：
EY
ZXY
r一N
等级相关
斯皮尔曼等级相关
（两列）
两列具有线性关系的等级或顺序变量；
6亍n2
1、等级差数法：
rR=1D（D为对偶等级之差）
n（n-1）
2、等级序数法：
rR=3•严RxRy（N+1）"
1RN-1■'N（N+1）
3、出现相同等级时：
222
瓦x2+瓦yD2
rRC仁一K一-
2•雄x•瓦y
32
甘中匸2N-Np—p—ttn（nj）
其中，x-12一瓦Cx；zCx—为12
（N为成对数据数目，n为各列变量相同等级数）
肯德尔等级相关（多列）
肯德尔W系数（和谐系数）：
1K个评分人评N个对象，分析K个评分人的一致性程度；
2同一个人先后K次评价N个对象，分析其前后一致性；
1、基本公式：
*s;（K为评价者数，N
W—
123
石K（N-N）
为被评对象数）
W2
W——2Rj一-（）；（R为评价对象获得的K
K2N（N-1）N-10
个评价者给的等级之和，
_2_2
rZRiL2（瓦R）2
s—瓦（R-）—ZR2—'‘）；
NN
2、相同等级时：
W-s；其中，s的意义同上，T如
丄K2（N3—N）—K5：
T
12
下：
3
XTn_n；（n为相同等级数）
12
肯德尔U系数（一致性系数）：
对偶比较法：
将N个事物两两配对，可配成
N（N-1）/N对，然后对每一对进行比较，择优选择，优者记1，非优者记0;
8（送r；—K瓦rij）
U=j+1;
N（N-1）・K（K-1）
N为被评价对象数目（即等级数），K为评价者数目，
rij为对偶比较表中i>j（或ivj）格中的择优分数。
（几
个评价者认为i比j好，则为几）
质与量的相关
点二列相关正态连续变量&二分名义变量（真正的）
★
【用于非类测验（得分只有两种结果，答对得分，答错不得分）的测验内部一致性，每道题与总分的相关等问题；】
Xp_Xq
©=7pq；
st
（其中，p、q二分称名变量两个值所占比例，Xp与Xq为
二分称名变量各自对应值的平均数，St为连续变量的标准
差）；
二列相关
1两列数据均正态
2一列为连续变量，一列为二分变量（人为划分）；
Xp_XqpqXp_Xtp
lb-*;或「b—*；
StySty
其中，y为标准正态曲线中p值对应的咼度，查正态分布表可知。
多列相关
适用于两列正态变量，其中一列为连续变量，另一列被人为地划分为多种类别（名义变量）；
「丿[（yr）・Xi]•其中
Ss£心曲―
Pi
Pi为每系列的次数比率，yL与yH分别为每一名义变量下
（上）限的正态曲线高度，可由pi差正态表得知；
品质相关
四分相关
两列都是连续正态变量，且都人为地被划分为两个类别。
相关资料可以整理成四格表；
180’
LC0S（肓）或（妊口
1+j-ad；或n=cos兀）
'beVad2bc
第六章概率分布
1、几个基本概念
（1）概率：
表明随机事件出现的可能性大小的客观指标。
（2）后验概率（统计概率）：
先验概率（古典概率）：
（3）概率分布：
对随机变量取值的概率分布的情况用数学方法（函数）描述。
2、概率的基本性质：
探概率的公理系统：
任何一个随机事件的概率都是非负的；
在一定条件下必然发生的必然事件概率为1；
在一定条件下必然不发生的事件，即不可能事件的概率为0.
探概率的加法定理
探概率的乘法定理
3、概率的分布类型划分
划分标准
分类
备注
依据随机变量是否具有连续性
离散分布：
离散随机变量的概率分布。
（如:
二项分布）
离散随机变量：
随机变量只取孤立的值。
（即计数数据）
连续分布：
连续随机变量的概率分布，即测量数据的概率分布。
（如：
止态分布）
依据分布函数的来源来分
经验性：
据观察或实验获得的数据而编制的次数分布或相对频率分布。
理论性：
一是随机变量概率分布的函数（数学模型），二是按数学模型计算出的总体的次数分布（总体分布）。
依据概率分布所描述的数据特征而划分
基本随机变量分布。
常用的有二项分布和正态分布。
统计量（随机变量的函数）：
平均数、平均数之差、方差、标准差、相关系数、回归系数等。
抽样分布：
样本统计量的理论分布。
4、几个重要分布
★正态分布
（1）特征：
1正态分布的形式是对称的，对称轴是经过平均数的垂线。
2正态分布的中央点即平均数最高，然后逐渐向两侧下降；曲线形式先向内弯，再向外弯，拐点位于正负1个标准差处，曲线两端向基线无线靠近，但不相交。
3正态曲线下面积为1。
4正态分布是一族分布。
平均数决定其位置，标准差决定其形态。
标准差越小，曲线越狭高。
5正态分布中各差异量数值间有固定比率。
6正态曲线下，标准差和概率（面积）有一定的数量关系。
（2）正态分布表的利用
1已知Z分数求概率p,即已知标准分数求面积。
2已知概率P求Z分数。
3已知概率或Z求概率密度y，即曲线的高。
【直接查表即可。
注意已知的y是位于中间部分，还是
两尾。
】
（3）次数分布是否为正态的检验方法
（4）正态分布理论在测验中的应用
1化等级评定为测量数据
2标准测验题目的难易度
3在能力分组或等级评定时确定人数
4测验分数的正态化
二项分布（贝努里分布）
（1）几个重要概念理解
二项试验：
必须满足几个条件一一任何一次实验恰好只有2个结果；共有n次实验，n是事先给定的
一个正整数；某种结果出现的概率在任何一次实验中都是固定的。
二项分布：
试验仅有两种不同性质结果的概率分布。
（两个对立事件的概率分布）。
具体定义如下：
设有n次试验，各次试验是彼此独立的，每次试验某事件出现的概率都是p,某事件
不出
现的概率都是q,即（1-p），则对于某事件出现X次的概率分布为：
b（x,n,p）二C：
pxqn」；
Cn
n!
x!
（n-x）!
）
表示在n次试验中有X次成功，成功的概率为p。
（2）二项分布的性质
1二项分布是离散型分布，概率直方图是跃阶式。
（p=q与pzq）
2二项分布的平均数与标准差
当p5,二项分布接近正态。
此时有，卩=np,e=npq
（3）二项分布的应用
当p用其概率分布计算
当npv5,直接用二项分布函数计算
5、抽样分布一览表【样本分布：
指的是样本统计量的分布。
】
正态分布
样本平均数的分布
总体分布为正态，总体方差已知，样本平均数分布为正态分布。
2CT2CT
【卩X=卩；变异误°X=；标准误（SE）◎x=―^;】
nJn
总体分布为非正态，但总体方差已知，样本足够大（n>30）,样本平均数渐进正态分
布。
【》X=A；aX】
pn
T
分布
含义及基本公式
学生式分布。
左右对称、峰态比较高狭，分布形态随样本容量n-1的变化而变化的一
、X-卩忆X2
族分布。
【t=/；S=J】
分布特点
1、平均值为0；
2、以平均值0左右对称分布，左侧t为负值，右侧为正值。
3、变量取值在
4、当n趋近于无穷大时，t分布为正态分布，方差为1；
当n-1>30,t分布接近正态分布，方差大于1,随n-1的增大而渐趋于1；
当n-1v30,t分布于止态分布相差较大。
分布表的使用
t0.05（双侧）=t0.025（单侧）
总体分布为正态，总体方差未知时，样本平均数为t分布。
样本
平均
数的
【Sx=注1=手，其中，2栏1】
分布
总体非正态，总体方差未知，右n>30,则近似正态分布。
随机变量平方和的分布；或随机变量转为标准分数，标准分数的平方和的分布也服从
堅分布。
概念
与公
2乞（X-W2
【工2-2或用样本平均数估计总体总体平均数卩时为
式
a
7.2
分布
了2》（Xi-X））ns2-
acr
1、正偏态分布。
df趋近无穷大时，为正态分布。
分布
2、■/2值都是正值。
特点
3、工2分布的可加性。
即卡方分布的和也是乂2分布。
应用
计数数据的假设检验；样本方差和总体方差差异是否显著的检验；
含义
与公
“22.22
【FLi/dfiFF"】
F
分布
式
'2/df2Sn24/°2Sn2」
分布特点
1、正偏态分布；
2、F总为正值；
应用
F检验：
考察任意两个样本的方差是否取自冋一整体；方差齐性检验与方差分析；
第七章参数估计
1几个重要概念
a）、置信度（置信水平即1-a）、
2、参数估计步骤总结
（1）分析条件，选择方法，计算样本统计量;
（2）计算样本平均数的标准误；【是关键！
！
】
T分布表：
X-1：
/2齐丁X」-Xt/2或X-t（1_：
.）/2y「X_」-X't（i_：
.）/2y「X
3、参数估计一览表
总体平均
总体方差已知
（正态估计法）
①总体正态分布。
②总体非正态，
标准误为crX=上二
n>30（近似正态估计法）。
数
①总体正态分布。
②总体非正态，
n>30（近似t分布估计法）。
的估
总体方差未知
（t分布估计
标准误采用样本的无偏方差作为总体方差的估计值刖仃s
.一気-1
计
法）
XJn-1
Vn
法1:
米用总体方差估计区间的平方根。
法2：
n>30（样本标准差的分布为渐进正态），
标准差
标准差的平均数为X=G，标准差分布的标准差为
V2n
标
准
则置信区间为：
Snj-Z^^s
差
自正态总体中，随机抽取容量为
n的样本，其样本方差和总体方差的比值的分布为
与方
7-分布，故可直接查7-表来确定
乞和鼻亠/2，置信区间为：
方差
（n-1）s：
」厶2/n-1）sn_L
差的
了2、、了2
区
仪2（1£/2
间
亠22
2
估
置信区间为1VvMf/T；
计
FCt2Sn2-1°2
Sn2-1
一总体方差之
巧2
比
定区间内（即区间是否包含1）,
可推论二总体方
根据样本方差估计2在1上下一
©2
差相等。
若只关注两个总体方差是否相等则用单侧，若要比较二者谁大谁小则用双侧。
相
积差
总体
即P=0时。
样本相关系数分布为
t分布,。
T
关
相关
系数
【思
相关
系数
rg
路：
先
置信区间为：
r—tg汉S兰卩兰
的
假设
为0
r+t皿5;
区间估计
P=0,求出置信区间，若不包含0,说明假设错误，再根据P不为0的情况来解题。
】
总体相关系数不为
0
一2、、
当n>500,crr畑;置信区间为：
r—Z^/2汽0|•兰4兰r+Z创2工口\
利用费舍Z函数分布计算（应用广泛，不论P是否为0,不论样本容量n的大小）。
步骤：
1将样本相关系数转换为Z函数。
11+r1+r
法1：
公式法。
Z-loge或Z—1.1513xlog10（）
21-r1-r
法2：
查r-乙转换表，直接由r值查乙值。
1
2计算标准误：
SEZ=J
7^3
3计算乙的置信区间：
乙土Z肿S&；
4将Zr的置信区间转换为相关系数。
（公式法或查表）
等级相关
（斯皮尔曼）
1当9wnw20时，rR的分布近似为df=n—2,S£=的t分布。
Jn-2
置信区间为：
rR土以2汉（df=n-2）Jn-2
/TV
2当n>20时，rR的分布近似正态分布，标准误为R
Jn-2
置信区间改为：
rR土Z癡2汇£=（df=n-2）
Jn-2
比率及比率差异的区间估计
比率的区间估计
当np>5，标准误ap或SEp^Pq;置信区间为
p-Zg・SEpY4pYp+Z/・SEp
【ps:
样本比率p=x/n,是总体比率p的点估计值，可代替总体比率。
故▽p=^-pq】
当np兰5，此二项分布不接近正态，此时置信区间的估计直接查二项分布计算的统
计表。
比率差异的区
间估计
当色5,n2P2兰5时，比率差异的置信区间可用正态分布概率计算。
|>*AA|
1.1'I
①口式P2时，标准误为▽p,』一jP"1+卩凶2；置信区间为
2*n,n2
A
（p1一p2）土Z&2沃◎p,_p2；
②ppp时匕沁泪出斥r丿（山5+匕卩2）（口5十nzq?
）；
②口—p2—P时，标准误为◎Dp—DA申—弘1/、；
pp2¥mn2（m+n2）
A
置信区间为（p；一P2）±Z&2汽▽p,_p2；
当pi=p2=P，总体比率之差为o，对于它的置信估计可理解为，样本比率之差
A
（»-p2）在多大范围内可以认为是取自比率差为0的总体。
第八章假设检验
【假设检验】，即差异显著性的检验，包括总体和样本之间的差异以及样本和样本之间的差异。
1几个重要概念
假设检验小概率原理、I型错误&n型错误、统计检验力（1-B）、双侧8单侧检验、
2、假设检验的步骤
①根据问题要求，提出
H0和H1;
②选择适当的统计检验量；
③确定显著性水平a；
④计算检验统计量的值;
（计算标准误，计算临界的
Z或t值）
⑤做出决策；
5、假设检验一览表（
4种主要的检验方法：
Z检验、
t检验、F检验、
2检验）
平均数的显著性检验
（样本是否来自总体）
总体正态
XPb
1、总体方差已知：
【Z（卩）检验】临界值Z=0（卩），其中，SEX=bX=$；
sexJn
Xps
2、总体方差未知：
【t检验】临界值t=X0，其中，SEX=旦=乍
SEXJn-1Jn
总体非正态
1、当n》30（样本容量足够大）
1总体方差已知可用Z检验。
（因为是近似正态，故用Z'表示，公式方法冋上）
2总体方差未知时，可直接用样本标准差s代替总体标准差巴，其他不变）
2、当nv30,不可用Z或t检验，只能选择非参数检验。
平均数差异的显著性检验
两个总体
两个总体方差都已
（X1-X2）-（叫一卩2）Dx—%一
彳训」T卄卄旳田/古7*12F»1乙'入X
1、独立样本：
临界值Z—-
SEdxSEdx
（两个样本是否来自
都正态
知【Z】
其中，SEdx
加-
2
^2
同一总
DX-七
体）
2、相关样本•临界值同上为Z_（Xl—X2）—（已—巴）
11_1、111♦1宀>
J—
—
SEdx
SE-
其中，SEdx=、
2
°2°°1°2
1、独立样本。
①两个总体方差一
xX
致或相等。
（齐性）临界值t=Xi—2
（df=a+n2-2）
SEdx
其中，SE^、
]sp（—+—）;其中，Sp为联合方差，sp
ini压
2丄2
口$+n2s2
n,+n2-2
一、》,、、，2
（联合方差Sp是总体方差取好的估计值）
②两个总体万差不齐性。
-
柯克兰-柯克斯t检验
t'Xi-乂2
X-x
12（用各自的无偏估计量）
22汽4+Sn2
-1
22
E
n-1n2-1
两个
总体
SEX.吠诡
+SE：
•t2（c）
3・/杏f借Fb十rlf—4、
+seX
；（查t值时，df=l丿
方差
aSE2i
都未
知【t】
【PS:
若实际得到的t'
>ta，则认为两个样本的平均数在
a水平差异显著】
2、相关样本。
①相关系数未知。
t=X「X2（df=n
-1）;（用d表示每一对数据对应的数据之差。
）
SEd一
X
-拓，20
d）2
其中，二、
2工（d—d）2瓦d-；sd-一
n_.
nn
②相关系数已知。
x“一x2
...一Is.2+s2-2rs1s2
t-（df-n
-1）；其中，SEdxp
SEdx
xVn-1
两个总体非正态
当样本容量足够大时：
【Z】
1、独立样本：
Z‘—XlX2或Z‘—XlX2（方差未知时以样本方差代替各自的总体方差）
丫n-jn2qn1n2
2、相关样本：
X1—X2
2
+员一20£
n
Z'
-X-X2或Z'_
^2+（J2-2^^t2忖
VnV
样本
■-j2I-.j
2
2ns
止态总体中样本，其样本方差与总体方差比值的分布为
上分布，即/
2
与总
a0
体
从
/表中查//、鼻（1以2）（df1，）
，当尤I］或北2YJ
，差异显著。
方差的
2
独立样本：
【F检验】F大
差异检
1、
验
样本
2
s小
之间
2、
相关样本：
【t检验】+
22
S—S2
（（df=n-2））
Rs2s2（1-r2）
n-2
1、
p=0（r的分布近似正态）【t检验】t—一r_—
（df=n-2）
\n—2
积差
2、
p工0,将r和P都转化为费舍Zr,
然后再进行【
Zr
Z检验】Z--
-Zp
相关
J.
1
相关系
n-3
数的显
著性检
【总结思路】：
题目若未说明p是否为
0,则先假定
p为0，若计算得出要拒绝H0（P=0）,
验
则必须重新再用p丰0的方法来算一遍。
1、
点二列相关
2、
二列相关
其他
3、
多列相关
类型
4、
四格相关
相关
5、
斯皮尔曼等级相关
6、
肯德尔W系数
相关系数差异
（仅论积差相关情况）
1、r1和r2分别由两组彼此独立的被试得到。
将r1、r2分别进行费舍Zr的转换。
【Z检验】
2、两个样本相关系数由同一组被试算得P12、
首先计算3列变量的两两相关系数P12、P23、
Z=-
。
23、
卩13,=n-
Zp,_Zr2
11+1
*n,—3n2-3
13，检验卩12与卩13的差异。
然后进行【t检验】
-3）
t=
（r12-「13）n-3）（1+r23）（df
J2（1—r12-r13-r23+2*r12*r13*r23）
比率
np》5,【Z检验】Z_P0
的显
1、
著性
2、
Po叫
Vn
npW5，直接查表一项分布置信上下界限
升级会员 