打印版高中数学必修四知识点非常详细.docx
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打印版高中数学必修四知识点非常详细
高中数学必修4知识点
第一章三角函数
正角:
按逆时针方向旋转形成的角
1、任意角负角:
按顺时针方向旋转形成的角
零角:
不作任何旋转形成的角
2、象限的角：
在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落
在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何
象限，叫做轴线角。
第一象限角的集合为k360k36090,k
第二象限角的集合为k36090k360180,k
第三象限角的集合为k360180k360270,k
第四象限角的集合为k360270k360360,k
终边在x轴上的角的集合为k180,k
终边在y轴上的角的集合为k18090,k
终边在坐标轴上的角的集合为k90,k
3、与角终边相同的角，连同角在内，都可以表示为集合{|k360,kZ}
4、弧度制：
（1）定义：
等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。
半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是
l
r
．
o
（2）度数与弧度数的换算：
3602
，180rad，1rad
180
（）
57.30
57
'
18
注：
角度与弧度的相互转化：
设一个角的角度为
o
n，弧度为；
-1-
n
oo
nno
①角度化为弧度：
180180
，②弧度化为角度：
o180
180
o
（3）若扇形的圆心角为（是角的弧度数），半径为r，则：
n
弧长公式：
ll||r（用弧度表示的）；
（用度表示的）180
2
nr121
扇形面积：
（）
s用度表示的Srlr
扇||（用弧度表示的）扇
36022
5、三角函数:
y
（1）定义①：
设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标
P（x,y）
是x,y，它与原点的距离是
220
rOPrxy，
o
x
则sin
y
r
，cos
x
r
y
，tanx0
x
y
定义②：
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x,y），
那么v叫做α的正弦，记作sinα,即sinαy;u叫做α的余
P（x,y）
o
x
弦，记作cosα，即cosα=x;当α的终边不在y轴上时，
y
x
叫做α的正切，记作tanα,即tanα=
y
x
.
（2）三角函数值在各象限的符号：
口诀：
全正，S正，T正，C正。
y
yy
_
_
+++
+
Ox
x
O
__
_
+
+
Ox
_
tansin
cos
口诀：
第一象限全为正；
二正三切四余弦.
（3）特殊角的三角函数值
的角度030456090120135150180
的弧度0
2
64323
3
4
5
6
-2-
sin0
1
2
2
2
31
2
3
2
2
2
1
2
0
cos1
3
2
2
2
10
2
1
2
2
2
31
2
tan0
313不存在31
3
30
3
的角度210225240270300315330360
的弧度
7
6
5
4
4
3
3
2
5
3
7
4
11
6
2
sin
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
cos
3
2
2
2
1
2
0
1
2
2
2
31
2
tan
313不存在31
3
30
3
（4）三角函数线：
如下图
（5）同角三角函数基本关系式
22
（１）平方关系：
sincos1
（２）商数关系：
tan
sin
cos
6、三角函数的诱导公式：
1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank．
口诀：
终边相同的角的同一三角函数值相等．
2sinsin，coscos，tantan．
-3-
3sinsin，coscos，tantan．
4sinsin，coscos，tantan．
5sin2sin，cos2cos，tan2tan．
口诀：
函数名称不变，正负看象限．
6sincos
2
，cossin
2
，tancot
2
．
7sincos
2
，cossin
2
，tancot
2
．
口诀：
正弦与余弦互换，正负看象限．
诱导公式记忆口诀：
“奇变偶不变，符号看象限”。
即将括号里面的角拆成k2的
形式。
7、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
函
yxycosxytanx
sin
数
图
象
定RRxxk,k
2
-4-
义
域
值域：
R
值域：
1,1值域：
1,1值
当x2kk时，
2
当x2kk时，
既无最大值也无最小值
ymax1；当x2kymax1；当x2k
2
域
k时，ymin1．k时，ymin1．
ysinx是周期函数；周期为ycosx是周期函数；周期ytanx是周期函数；周周
T2k,kZ且k0；为T2k,kZ且k0；期为Tk,kZ且期
最小正周期为2最小正周期为2
性
k0；最小正周期为
奇
偶奇函数偶函数奇函数
性
在2k,2k
22
单
在2k,2kk上
调
k上是增函数；在
是增函数；在2k,2k
在k,k
22
性
3
2k,2k
22
k上是减函数．
k上是增函数．
k上是减函数．
对称中心对称中心
对
对称中心k,0k
对称轴
xkk
2
k,0k
2
k
2
0k称
性
对称轴xkk
无对称轴
8、
（1）ysinxb的图象与ysinx图像的关系：
图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍
-5-
①振幅变换：
ysinxyAsinx
1图象上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变
②周期变换：
ysinxysinx
图象整体向左（0）或向右（0）平移个单位
③相位变换：
ysinxysin（x）
④平移变换：
yAsin（x）
图象整体向上（b0）或向下（b0）
bysinxb
注：
函数ysinx的图象怎样变换得到函数yAsinxB的图象：
（两种方法）
①先平移后伸缩：
yx平移||个单位ysinx
sin
（左加右减）
纵坐标不变ysin（x）
横坐标变为原来的
1
||倍
横坐标不变yAsinx
纵坐标变为原来的A倍
平移|B|个单位yAsinxB
（上加下减）
②先伸缩后平移：
ysinx纵坐标不变ysinx
横坐标变为原来的
1
||倍
平移个单位ysin（x）
-6-
（左加右减）
横坐标不变yAsinx
纵坐标变为原来的A倍
平移|B|个单位yAsinxB
（上加下减）
（2）函数yAsin（x）b（A0,0）的性质：
①振幅：
；②周期：
2
；③频率：
1
f；④相位：
x；⑤初相：
．
2
定义域：
R
值域：
Ab,Ab
当2
xkk时，ymaxAb；
2
当x2kk时，yminAb．
2
2
周期性：
函数yAsin（x）b（A0,0）是周期函数；周期为T
单调性：
x在2k,2kk上时是增函数；
22
x在
3
2k,2kk上时是减函数．
22
k
对称性：
对称中心为,0
k；对称轴为x
kk
2
第二章平面向量
1、向量定义：
既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示．
2、零向量：
长度为0的向量叫零向量，记作0；零向量的方向是任意的．
3、单位向量：
长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量a平行的单位向量：
a
e．
|a|
4、平行向量（共线向量）：
方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作a//b；
-7-
规定0与任何向量平行．
5、相等向量：
长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等.
注意：
任意两个相等的非零向量，
都可以用同一条有向线段来表
示，并且与有向线段的起点无关。
6、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：
首尾相接
⑵平行四边形法则的特点：
起点相同
C
⑶运算性质：
a
①交换律：
abba；
b
②结合律：
abcabc；③a00aa．
⑷坐标运算：
设ax1,y1，bx2,y2，则
abCC
ab1x,2x1y．2y
7、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：
共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运算：
设
ax1,y1，bx2,y2，则
abx1x2,y1y2．
设、两点的坐标分别为x1,y1，x2,y2，则
x2x1,y2y1．
8、向量数乘运算：
-8-
⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a．
①aa；
②当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；
当0时，a0．
⑵运算律：
①aa；②aaa；③abab．
⑶坐标运算：
设ax,y，则ax,yx,y．
9、向量共线定理：
向量aa0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba．
设
ax1,y1，bx2,y2，其中b0，则当且仅当x1y2x2y10时，向量a、bb0
共线．
10、平面向量基本定理：
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内
的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使a1e12e2．（不共线的向量e1、e2作为
这一平面内所有向量的一组基底）
11、分点坐标公式：
设点是线段12上的一点，1、2的坐标分别是x1,y1，x2,y2，
当12时，点的坐标是
xxyy
12,12
11
．
12、平面向量的数量积：
⑴定义：
ababcosa0,b0,0180．零向量与任一向量的数量积为0．
⑵性质：
设a和b都是非零向量，则①abab0．②当a与b同向时，abab；
当a与b反向时，abab；
2
2
aaaa或aaa．③abab．
⑶运算律：
①abba；②ababab；③abcacbc．
⑷坐标运算：
设两个非零向量
axy，
1,1
bx2,y2，则
abxxyy．
1212
若ax,y，则
222
axy，或
22
axy．
设ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2y1y20．
-9-
设a、b都是非零向量，ax1,y1，bx2,y2，是a与b的夹角，则
cos
ab
xxyy
1212
2222
abxyxy
1122
．
第三章三角恒等变形
1、同角三角函数基本关系式
22
（１）平方关系：
sincos1
（２）商数关系：
tan
sin
cos
（３）倒数关系：
tancot1
2
2
tan
sin；
2
1tan
2
cos
1
1
2
tan
注意：
sin,cos,tan按照以上公式可以“知一求二”
2、两角和与差的正弦、余弦、正切
S：
sin（）sincoscossin
（）
S：
sin（）sincoscossin
（）
C：
cos（a）coscossinsin
（）
C：
cos（a）coscossinsin
（）
T：
（）
tan（）
tan
1tan
tan
tan
T：
（）
tan（）
tan
1tan
tan
tan
正切和公式：
tantantan（）（1tantan）
22
ab
3、辅助角公式：
asinxbcosxabsinxcosx
2222
abab
2bxxa2b2x
2
a（sincoscossin）sin（
）
（其中称为辅助角，的终边过点（a,b），
b
tan）
a
4、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
-10-
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