届高三数学一轮复习强化训练解析几何单元综合测试.docx

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届高三数学一轮复习强化训练解析几何单元综合测试

单元综合测试

2010届高三数学一轮复习强化训练精品一一解析几何

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1.（2008•福建文）“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的条件.

答案

充要

2.过点

（-1，3）且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为

答案

x-2y+7=0

3.（2008•安徽理）若过点A（4,0）的直线I与曲线（x-2）2+y2=1有公共点，则直线I的斜率的取值范围为

答案

l|v'3上1

4.过点

M（2，1）的直线1与x轴，y轴分别交于P、Q两点且|MP|=|MQ|，则1的方程是

答案

x+2y-4=0

5.直线x-2y-3=0与圆C:

（x-2）2+（y+3）2=9交于E、F两点，则△ECF的面积为

答案2,5

△OAB的面积为.

答案§

3

7.若a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线sinA•x+ay+c=0与bx-sinB•y+c=0的位置关系是__

答案垂直

8.（2009•姜堰中学高三综合练习）

22

已知圆（x-2）2+y2=1经过椭圆x•y=1（a>b>0）的一个顶点和一个焦点，则此椭圆

a2b2

的离心率e=

答案-

3

9.（2008•山东理）已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0.设该圆过点（3,5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD

的面积为.

答案20、_6

10.设P为双曲线X2-L=1上的一点，Fl、F2是该双曲线的两个焦点.若IPFi|：

|PF2|=3:

2，则△PF1F2的面积为.

12

答案12

11.（2009•东海高级中学高三调研）两个正数m,n的等差中项是5,等比中项是4,若m>n,则椭圆-^―=1的离心率

mn

e的大小为

答案-

4

答案5或-丄

3

二、解答题（本大题共6小题，共90分）

15.（14分）过点M（0,1）作直线，使它被直线h：

x-3y+10=0和b：

2x+y-8=0所截得的线段恰好被M平分，求此直线方程

解方法一过点M且与x轴垂直的直线是y轴，它和两已知直线的交点分别是.咕口.和（0,8），显然不满足中点是点

C3

M（0,1）的条件.

故可设所求直线方程为y=kx+1,与已知两直线l1,b分别交于A、B两点，联立方程组广

y=kx-+1,

x二3y出0=0,

f

?

x-8=0,

由①解得XA=7,由②解得XB=—

3k-2k七

t点M平分线段AB,

Xa+Xb=2xm，即一+^―=0.

3k-1k+2

解得k=--，故所求直线方程为x+4y-4=0.

4

方法二设所求直线与已知直线h,12分别交于A、B两点.

•/点B在直线b:

2x+y-8=0上,

故可设B（t,8-2t）,M（0,1）是AB的中点.

由中点坐标公式得A（-t,2t-6）.

:

A点在直线h：

x-3y+10=0上，

/•（-t）-3（2t-6）+10=0,解得t=4.

•••B（4，0），A（-4，2），故所求直线方程为x+4y-4=0.

16.（14分）已知方程x2+y2-2x-4y+m=0.

（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；

（2）若

（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点，且OM丄ON（O为坐标原点），求m；

（3）在

（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程.

解

（1）（x-1）2+（y-2）2=5-m,/•m<5.

（2）设M（X1，y1），N（X2，y2），

贝UX1=4-2y1，X2=4-2y2,

则X1X2=16-8（y’+y?

）+4yy

■/OM丄ON，二X1X2+yty2=0

16-8（y1+y2）+5y1y2=0①

*=4_2y

由』22

x2+y-2x—4y+m=0

得5y-16y+m+8=0

168*m/半、金“日8

…y】+y2=,yy=,代入①得，m=-.

555

（3）以MN为直径的圆的方程为

（x-xj（x-x?

）+（y-yj（y-y2）=0

即x2+y2-（X1+X2）x-（y1+/2）y=0

二所求圆的方程为x2+y2-8x-16y=0.

55

22

17.（14分）已知双曲线二—乞=1的右焦点是F,右顶点是A,虚轴的上端点是B,AB•AF=6-4、、3，/BAF=150°a2b2

（1）求双曲线的方程；

（2）设Q是双曲线上的点，且过点F、Q的直线I与y轴交于点M，若MQ+2QF=0,求直线l的斜率.

解

（1）由条件知A（a,0）,B（0,b）,F（c,0）

AB•AF=（-a,b）•（c-a,0）=a（a-c）=6-4.3

3_L

■-a=c，代入a（a-c）=6-4■.3中得c=22.

2

22a=、6,b2=c2-a2=2,故双曲线的方程为「丄1.

62

（2）v点F的坐标为（2.2,0）

•••可设直线I的方程为y=k（x-2,2）,

令x=0,得y=-2.2k，即M（0,-2.2k）

设Q（m,n）,则由MQ+2QF=0得

（m,n+2,2k）+2（2,2-m,-n）=（0,0）.

即（4、_2-m,2,2k-n）=（0,0）.

m=4*'2

n=2,2k

22

mn“

1.

62

•（4百）2_（2尿）2=1得k2=^,k=±点9

126

18.（16分）过点（1,0）的直线I与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为—的椭圆C相交于A、B两点，直线y=-x

22

过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线I对称，试求直线I与椭圆C的方程.

解设椭圆C的方程为=1（a>b>0），显然，直线I的斜率存在且不为0,设I的方程为y=k（x-1）代入椭圆方程,

a2b2

整理得

222、2222222

（ka+b）x-2kax+ak-ab=0.

因为直线I与C交于A、B两点

/•△=4k"a"-4（a2k2-a2b2）（k2a2+b2）>0.

即k2a2-k2+b2>0,

（xo,yo）,则

当4>0时，设直线I与椭圆C的交点为

A（xi,yi）、B（X2,y2）,AB中点为M

X0=1（X1+x2）=_”,

2k2a2b2

/•y0=l（y1+y2）=丄:

k（x「1）+k（x「1）

22

kb2k2a2亠b2

vM（xo,yo）在直线

/•k=-

/•k=-

kb2=1

2^_b2=2

2b2

申

2b2

k2a2

k2a2b2

b2

.又L=1-e2=1-1

2

a2

=-1.

2a

因此直线I的方程为

y=-x+1.

va2=2b2,「.椭圆C

的方程为

2

x

2b2

2

+y_=1,其右焦点为（b,0），设（b,0）点关于直线y=-x+1的对称点为（x‘，y'）,b2

「1

则"'弋

x'=1

y'=1-b

因为点（1,1-b）在椭圆上.

/•1+2（1-b）2=2b2，解得b2=—

16

9--9,k2=1代入①式，得△>0.

8

把b2=-9,a2=-9

16

•••b2=9

16

a2=9

8

直线I的方程为y=-x+1.

19.（2008•海南（宁夏）理，20）（16分）在直角坐标系xOy中,椭圆Ci：

2

+-y2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为Fi、

5

|MF2|=上

3

F2.F2也是抛物线C2:

y2=4x的焦点，点M为Ci与C2在第一象限的交点,

（1）由C2：

y2=4x,知F2（1,0）,

设M（xi,yi）,M在C2上,

因为|MF2|=5,所以xi+1=5,

3

3

M在Ci上，且椭圆Ci的半焦距c=i,

48

1

于是9a23b2

b2二a2-1

消去b2并整理得9a4-37a2+4=0.

解得a=2（a=1不合题意，舍去）.

3

故b2=4-仁3.

故椭圆Ci的方程为<•/=1

43

O,

⑵由MN=MF1+MF2,知四边形MF1NF2是平行四边形，其中心为坐标原点

因为I/MN,所以I与OM的斜率相同

6.

-3-2-3

2

故I的斜率k=

设I的方程为y=-,6（x-m）.

消去y并整理得

y=、6（x-m）.

22

9x-16mx+8m-4=0.

设A（xi,yi）,Bgy2）,

2

则xi+x2=16m,xix2=8m-4.

99

因为OA丄OB,所以XiX2+yiy2=0.

所以XiX2+y’y2=XiX2+6（Xi-m）（X2-m）

2

=7xiX2-6m（xi+X2）+6m

=7.8后_4亦•空+6m2

99

=l（14m2-28）=0.

9

所以m=±.2.此时△=（16m）2-4x9（8m2-4）>0.

故所求直线I的方程为y=6x-2.3,或y=,6x+23.

20.（16分）已知定点C（-1，0）及椭圆x2+3y2=5,过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点.

（1）若线段AB中点的横坐标是-丄，求直线AB的方程;

2

（2）在x轴上是否存在点M，使MA•MB为常数？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由

解

（1）依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x+1）.

将y=k（x+1）代入x2+3y2=5,

消去y整理得（3k2+1）x2+6k2x+3k2-5=0.

设A（xi,yi）,B（X2,y2）,

也=36k4—4<3k2十1）（3k2—5）A0,①

则彳6k2

XiX2"2-.②

3k2+i

由线段AB中点的横坐标是-丄

2

得竺x2=-f=-丄,解得k=±，适合①.

23k2123

所以直线AB的方程为x-.,3y+1=0,或x+、_3y+仁0.

⑵假设在x轴上存在点M（m,0）,使MA•MB为常数.

（i）当直线AB与x轴不垂直时，由

（1）知

22

%卄2=-_6k,X1X2=3k

3k2+13k2+1

所以mA•MB=（X1-m）（X2-m）+y1y2

2

=（X1-m）（X2-m）+k（X1+1）（X2+1）

=（k2+1）XiX2+（k2-m）（Xi+X2）+k2+m2.

将③代入，整理得

2

MA•層笃十

1214

（2m）（3k21）-2m-

=m2+2m-1

3

6m14

3（3k21）

注意到MA•

MB是与k无关的常数，从而有

7————-4

6m+14=0，m=-，此时MA•MB=-

39

（ii）当直线AB与x轴垂直时,

此时点A，B的坐标分别为

7「IFA

当m=--时，亦有MA•MB=.

39

综上，在x轴上存在定点M_70，使MA•MB为常数.

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