中考数学综合专题训练几何综合题解析docx.docx
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中考数学综合专题训练【几何综合题】（几何）精品解析
在中考中，几何综合题主要考察了利用图形变换（平移、旋转、轴对称）证明线段、角
的数量关系及动态几何问题。
学生通常需要在熟悉基本几何图形及其辅助线添加的基础上，
将几何综合题目分解为基本问题，转化为基本图形或者可与基本图形、方法类比，从而使问
题得到解决。
在解决几何综合题时，重点在思路，在老师讲解及学生解题时，对于较复杂的图形，根
据题目叙述重复绘图过程可以帮助学生分解出基本条件和图形，将新题目与已有经验建立联
系从而找到思路，之后绘制思路流程图往往能够帮助学生把握题目的脉络；在做完题之后，
注重解题反思，总结题目中的基本图形及辅助线添加方法，将题目归类整理；对于典型的题
目，可以解析题目条件，通过拓展题目条件或改变条件，给出题目的变式，从而对于题目及相应方法有更深入的理解。
同时，在授课过程中，将同一类型的几何综合题成组出现，分析讲解，对学生积累对图形的“感觉”有一定帮助。
一.考试说明要求
图形与证明中要求：
会用归纳和类比进行简单的推理。
图形的认识中要求：
会运用几何图形的相关知识和方法（两点之间的距离，等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识，全等三角形的知识和方法，平行四边形的知识，矩形、菱
形和正方形的知识，直角三角形的性质，圆的性质）解决有关问题；能运用三角函数解决与
直角三角形相关的简单实际问题；能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题；能解决与切线有关的问题。
图形与变换中要求：
能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。
二.基本图形及辅助线
解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累
的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解
决问题。
在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。
举例：
1、与相似及圆有关的基本图形
A
A
C'
C'
B'
B'
A
A
A
B'
A
B'
B'
O
C'
B'
C'
C'
B
CB
C
C
O
B
O
B
CB
CB
C
A
AA
A
DE
DE
OFCBC
D
D
BOCBCECBOD
F
G
AEB
A
C
E
BFD
2、正方形中的基本图形
3、基本辅助线
（1）角平分线——过角平分线上的点向角的两边作垂线（角平分线的性质）、翻折；
（2）与中点相关——倍长中线（八字全等），中位线，直角三角形斜边中线；
（3）共端点的等线段——旋转基本图形（60°，90°），构造圆；垂直平分线，角平分线
——翻折；转移线段——平移基本图形（线段）线段间有特殊关系时，翻折；
（4）特殊图形的辅助线及其迁移——梯形的辅助线（什么时候需要这样添加）等
．．．．
作双高——上底、下底、高、腰（等腰梯形）三推一；面积；锐角三角函数平移腰——上下底之差；两底角有特殊关系（延长两腰）；梯形——三角形平移对角线——上下底之和；对角线有特殊位置、数量关系。
注：
在绘制辅助线时要注意同样辅助线的不同说法，可能会导致解题难度有较大差异。
三.题目举例
（一）基本图形与辅助线的添加
例1、已知：
AC平分MAN
ABC
ADC
90
ABAD___AC。
（1）在图
1中，若
MAN
120
，
，
（填写
“”或“
”或“
”）
（2）在图
2
中，若
MAN
120
，ABC
ADC
180，则
（1）中结论是否仍然成
立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）在图
3
中：
①若
理由；
②若
MAN
60，
ABC
ADC180
，判断AB
AD与AC的数量关系，并说明
MAN
（0
180）
，
ABC
ADC180
，则
ABAD
_____AC
（用
含的三角函数表示，直接写出结果，不必证明）
解
：
（1）
AB
＋
AC．
--------------------------------------------------------------------------
1
（2）仍然成立．
证明：
如图2过C作CE⊥AM于E，CF⊥AN于F，则∠CEA=∠CFA=90°．
∵AC平分∠MAN，∠MAN=120°，∴∠MAC=∠NAC=60°．
又∵AC=AC，∴△AEC≌△AFC，∴AE=AF，CE=CF．
∵在Rt△CEA中，∠EAC=60°，
∴∠ECA=30°，∴AC=2AE．
∴AE+AF=2AE=AC．∴ED+DA+AF=AC．
∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠CDE+∠ADC=180°，
∴∠CDE=∠CBF．
又∵CE=CF，∠CED=∠CFB，∴△CED≌△CFB．
∴ED=FB，∴FB+DA+AF=AC．
∴AB+AD=AC．-----------------------------------------
4分
（3）①AB+AD=3AC．
证明：
如图3，方法同
（2）可证△AGC≌△AHC．
∴AG=AH．
∵∠MAN=60°，∴∠GAC=∠HAC=30°．
∴AG=AH=3AC．∴AG+AH=3AC．
2
∴GD+DA+AH=3AC．
A
方法同
（2）可证△GDC≌△HBC．
∴GD=HB，∴HB+DA+AH=3AC．
∴AD+AB=3AC．-----------------------------------------------------------------------------
AD=
分
MC
E
D
N
AFB
M
G
C
D
HBN
--------6分
②AB＋AD＝2cos
·AC．-------------------------------------------------------------------
7
2
分
例2、已知：
△AOB中，ABOB2，△COD中，CDOC3,∠ABO∠DCO.
连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点.
BA
M
BA
M
O
P
O
N
P
D
N
图1
图2
（1）
如图1，若A、O、C三点在同一直线上，且
∠ABO
60o，则△PMN的形状是
________________，此时AD
________；
BC
（2）
如图2，若A、O、C三点在同一直线上，且
∠ABO2
，证明△PMN∽△BAO，
并计算AD的值（用含
的式子表示）；
BC
（3）
在图2中，固定△AOB，将△COD绕点O旋转，直接写出PM的最大值.
例3、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=1.点D在边AC上（不与A，C重合），连结
2
BD，F为BD中点.
（1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1．设CFkEF，则k=；
（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如
图2所示．求证：
BE-DE=2CF；
（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值．
A
A
A
D
E
E
D
F
F
C
B
C
B
C
B
图1
图2
备图
解：
（1）k=1；
⋯⋯⋯⋯.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2
分
（2）如2，点
C
作
的垂交
于点
，
与
的交点.
CE
BD
G
BD
AC
Q
由意，tan∠
=
1
，∴BC
DE
1
.
BAC
AC
AE
2
A
2
∵、、
B
三点共，∴
⊥.
D
D
E
AEDB
∵∠
=∠
，∠
=90°,∴∠
=∠
E
BQCAQD
ACB
QBCEAQ.
∵∠
∠
=90°，∠
∠
=90°，
Q
ECA+ACG
BCG+ACG
F
G
CB
图2
∴∠ECA=∠BCG.∴△BCG∽△ACE.
∴BCGB1.∴GB=DE.ACAE2
∵F是BD中点，∴F是EG中点.
在Rt△ECG中，CF
1EG,
∴BE
DE
EG
2CF.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
2
（3）情况1：
如，当=
1
AB
M
MF
CM
AD
AC
，取
3
的中点
，
和
，
A
∵∠ACB=90°，tan∠BAC=1
，且BC=6,
D
2
∴AC=12，AB=65.
∵
中点，∴
=
5
M
AB
CM3
M
1
∵=
F
AD
AC，
3
∴AD=4.
∵MAB中点，FBD中点，
∴FM=1AD=2.
C
B
2
∴当且当
、、
C
三点共且
在段
上
最大，此
=+=
35
.6分
MF
M
CF
CF
CFCMFM2
情况2：
如，当
=
2
AC，取AB的中点M，
A
AD
3
D
和，
MF
CM
似于情况1，可知
的最大
43
5
.
⋯7分
M
CF
F
合情况
1与情况2，可知当点
在靠近点
C
的
D
三等分点，段CF的度取得最大
4
3
5.⋯⋯⋯8分
C
B
（二）直角三角形斜边中线+四点共圆
例4、已知：
在△ABC中，∠ABC=90?
点E在直线AB上,ED与直线AC垂直,垂足为D，且点M为EC中点,连接BM,DM.
（1）如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系,并直接写出你得到的结论；
（2）如图2，若点E在BA延长线上，你在
（1）中得到的结论是否发生变化写出
你的猜想并加以证明;
（3）若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM
与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系.
BB
B
E
AA
M
DD
CC
A
D
图1
C
MM
EE
图2
（三）倍长过中点的线段
例5、请阅读下列材料：
问题：
如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF
的中点，连结PG，PC．若ABC
BEF
60o，探究PG与PC的位置关系及PG的
PC
值．
小聪同学的思路是：
延长
GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
D
C
D
C
P
F
P
G
G
F
A
B
A
E
B
图2
E
图1
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）写出上面问题中线段
PG与PC的位置关系及PG的值；
PC
（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形
ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图
2）．你在
（1）中得到
的两个结论是否发生变化写出你的猜想并加以证明．
（3）若图1中ABC
BEF2
（0o
90o），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任
意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出
PG的值（用含
的式子表示）．
PC
解：
（1）线段PG与PC的位置关系是
；PG
．
PC
（四）共端点的等线段，旋转
例6、如图1，在
中，
⊥
于
，
E
恰为
的中点，
tanB2
.
□ABCD
AE
BC
E
BC
（1）求证：
AD=AE；
（2）如图2，点P在BE上，作EF⊥DP于点F，连结AF.
求证：
DFEF2AF；
（3）请你在图3中画图探究：
当P为射线EC上任意一点（P不与点E重合）时，作EF⊥DP于点F，连结AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系直接写出你的结论.
ADADAD
F
B
E
C
BP
E
C
B
E
C
图1
图2
图3
证明：
（1）在Rt△
中，∠
90°，
ABE
AEB=
∴tanB
AE
2
A
D
BE
H
∴AE
2BE．················1分
∵E为BC的中点，
1
∴BC
2BE．
F
2
∴.
AE=BC
∵ABCD是平行四边形，
BP
E
C
∴.
AD=BC
图8
∴
.
2分
·······························
AE=AD
（2）在
上截取
=
（如图8）．
DP
DHEF
H
∵四边形
是平行四边形，
⊥
，
ABCD
AEBC
∴∠EAD=90°．
A
D
∵EF⊥PD，∠1＝∠2，
∴∠ADH=∠AEF．
∵AD=AE，
∴△
≌△
．
·······4分
ADH
AEF
∴∠
=∠
，
=．
HAD
FAEAHAF
B
∴∠
=
90°．
PC
FAH=
E
在Rt△
中，
=，∴
2AF．
F
FAH
AHAF
FH
图9
∴FH
FD
HD
FD
EF
2AF．即DFEF
2AF．
5分
（3）按题目要求所画图形见图
9，线段
、
、
之间的数量关系为：
DFEF
2AF
．
DF
EF
AF
（五）利用平移变换转移线段，类比梯形平移对角线
例7、我们给出如下定义：
若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形。
请解答下列问题：
（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；
（2）探究：
当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论。
利用平移变换转移线段
+作图8、（2011西城一模，25）在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分
别为CB，CA延长线上的点，BE与AD的交点为P.
（1）若BD=AC，AE=CD，在图1中画出符合题意的图形，并直接写出∠
APE的度数；
（）若AC3BD
，CD
3AE，求∠
的度数
.
2
APE
解：
（1）如9，∠APE=45°.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
（2）解法一：
如10，将AE平移到DF，接BF，EF．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分四形AEFD是平行四形．
∴AD∥EF，AD=EF．
∵
AC
3BD，CD
3AE，
∴
AC
3
CD
CD
3．
BD
，
DF
AE
9
∴
AC
CD．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
BD
DF
∵∠=90°，
C
∴
BDF
180
C
90．
∴∠
∠
．
C=BDF
∴△
∽△
．⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
ACD
BDF
∴
AD
AC
3，∠1=∠2．
BF
BD
∴
EF
AD
3．
BF
BF
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°．
∴BF⊥AD．
∴BF⊥EF．⋯
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