数学 创新实验版教案 四升五5 巧用等差数列.docx

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数学创新实验版教案四升五5巧用等差数列

第5讲神机妙算

——巧用等差数列

【教学内容】

暑期创新实验版，四升五年级第5讲“神机妙算——巧用等差数列”。

【教学目标】

知识技能

通过自主探究，合作交流，理解并掌握等差数列的概念，以及等差数列的首项、公差、末项、和的公式推导，并能运用公式解决简单的问题。

数学思考

通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法.对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平。

问题解决

给出几组公差不同的等差数列，学生会熟练求和，并推理感悟等差数列的求和公式。

情感态度

通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。

【教学重和难点】

等差数列的首项、公差、末项、和的公式推导，并能运用公式解决简单的问题。

【教学准备】

动画多媒体语言课件。

第一课时

教学过程：

教学路径

学生活动

方案说明

一、课前谈话①

师：

同学们，你们最崇拜什么职业的人？

为什么？

老师最崇拜的是军人，因为军人勇猛果断、严于律己，全心全意为人民服务，也崇拜军人保家卫国无私奉献的精神。

在抗洪第一线，在矿难的现场，在艰苦的边疆，到处都有军人笔挺的身影。

今天老师将要带领大家去军营，观看解放军叔叔的军事科目表演，文艺节目演出，与解放军叔叔进行互动游戏！

同学们要注意军营里是否有今天要学习的数学知识呢？

二、自主探究

（一）第一站：

运动场

师：

首先请同学们随老师去观看解放军叔叔的刻苦训练吧。

1、课件出示

例1：

少先队员们兴致勃勃地观看解放军叔叔的刻苦训练，不时地为他们精湛的军事技术喝彩。

训练队伍是这样的：

（点击字体缩小到左上角）第一排1人，第二排3人，第三排5人，第四排7人，……一共站了15排，你知道最后一排有多少名解放军叔叔？

同学们，你知道最后一排有多少名解放军叔叔吗？

2、师：

同学们，从题目中你们能获得哪些信息？

生：

解放军叔叔的训练队伍有这样的特点：

1，3，5，7，9……，后一排都比前一排多2人。

师：

1，3，5，7，9，……像这样，相邻两个数的差都相等的一列数，我们称为等差数列，这个差称为公差。

数列中的每个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

那么本题要我们求得是什么？

生：

末项

3、课题板书：

等差数列，并在黑板上写出：

1，3，5，7，9，……并对应标出“首项、公差、末项”

4、对于求末项，你们有什么好的方法吗？

大家相互交流一下。

②

生:

直接列出来：

1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29

生：

第二项是第一项加上一个公差，第三项是第一项加两个公差，第四项是第一项加三个公差，那么第十五项应该是第一项加14个公差。

5、各小组选派代表汇报方法。

由于数据较小，学生通常采取直接列出来的方法来解决此题，此时教师要适当引导：

如果是100排呢？

也全都一一列出来吗？

谁能用算式表示出来？

（学生继续探讨）

学生若有困难，则师：

我们发现题目告诉我们第一项是1，而后面的每一项都比前一项多2，即：

解析：

以表格的形式出示，第1项等都设计成按钮。

第1项1

第2项3=1＋2=1+2×（2-1）

第3项5=1＋2＋2=1+2×（3-1）

第4项7=1＋2＋2＋2=1+2×（4-1）

第15项1+2×（15-1）

第n项1+2×（n-1）

师：

你发现了什么规律？

答案：

1+2×（15-1）=29（名）

答：

最后一排有29名解放军叔叔。

6、学生完成例1.

7、巩固训练：

第22排有多少人？

100排呢？

8、教师引导学生小结出求末项的公式。

③

课件出示：

总结：

本题是等差数列中的求末项类问题，所用公式：

末项＝首项＋公差×（项数－1）

师：

刚才的题目告诉我们首项和公差，要求末项，现在老师将题目稍微变一下，你们还会做吗？

（二）第二站：

会议厅

探究类型之二：

师：

参观完解放军叔叔的表演，下面请各位同学随老师来到会议厅吧，联欢活动就要开始了。

1、课件出示例2：

例2：

同学们观看完解放军叔叔的表演后，又来到了会议厅。

会议厅里座无虚席，联欢活动就要开始了。

（点击字体缩小）。

张玲同学数了一下，第一排有20个座位，每往后一排都比前一排多2个座位，最后一排有58个座位。

你们知道有多少排座位吗？

2、学生独立思考，尝试解答例2.（本题的附加分是1分）④

3、请两三位学生讲解其解题思路及过程。

生：

末项比首项多项数减1个公差，那么项数减1个公差就是：

末项－首项，项数减1就是（末项－首项）÷公差，从而求出项数。

4、引导学生说出等差数列求项数的公式：

项数＝（末项-首项）÷公差＋1

解析：

因为末项＝首项＋公差×（项数－1），所以

项数＝________________________。

下一步：

（末项-首项）÷公差＋1

答案：

（58-20）÷2+1=20（排）

答：

有20排座位。

5、教师小结。

（三）第三站：

告别

活动要结束了，在告别仪式上，张指导员代表驻地部队送给我们一套书，可是我们要答对了问题才能得到哦，同学们有信心吗？

1、课件加入过度场景《高斯求和》的故事。

出示例3：

例3：

活动要结束了，在告别仪式上，张指导员代表驻地部队送给我们一套书。

他拿出一本《钢铁是怎样炼成的》，问我们。

如果他第一天看了20页，以后每天比前一天多看5页，最后一天看了60页恰好看完。

这本书一共有多少页？

2、师：

这是一个什么问题？

要求什么？

说一说，你是怎么想的。

师：

关于这一类问题，还有一个著名的小故事呢。

⑤

3、学生尝试解答例3。

（本题的附加分为2分）

4、学生讲解、评析。

（角色互换）

解析：

等差数列和＝__________________；

下一步：

（首项+末项）×项数÷2

下一步：

所以要先求出项数：

项数=（末项-首项）÷公差+1

答案：

（60-20）÷5+1=9（天）

（20+60）×9÷2＝360（页）

答：

这本书一共有360页。

5、教师引导学生小结。

三、课堂小结

刚才同学们表现的都很好，特别是某某、某某同学。

好，让我们下节课继续努力！

学生广泛发言

学生分组交流讨论。

生：

……

①课前交流，融洽关系，铺垫教学，并适当的对学生进行德育。

②给学生探索和交流的空间与时间，在交流的过程中，学生把自己的想法表述出来，大家相互借鉴、相互补充，调动学生的积极性，增强自信心。

而教师主要是引导，并给予学生适当的点拨与评价。

③通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平。

④对于有难度，但学生又能做出的题目设置附加分，可以调动学生的学习热情，降低学生的畏难心理。

⑤教师适时引入高斯求和的故事，借助高斯求和的故事寻找两个题的相关性，帮助同学们总结规律。

第二课时

教学过程：

预设材料与教学路径

预计学生活动

方案说明

一、过渡语

师：

在第一节课上，你有什么收获呢？

教师指明学生回答。

师：

大家有没有信心迎接这堂课的挑战？

二、拓展应用，巩固提高

师：

参观军营后，同学们受益匪浅，决定向解放军叔叔学习。

（一）出示大胆闯关第1题。

1.小茜决定向解放军叔叔学习，进行体能训练。

她和爸爸从第一周起每天跑步500米，第二周每天跑步650米，第三周每天跑步800米，照这样的进展，到第11周她每天跑多少米？

1、课件出示题1，学生独立思考，完成题1。

2、小组内推选出代表，各小组间进行比赛，看哪个小组讲的更好。

⑥

3、教师小结。

（二）大胆闯关第2题

2.晚上18名同学相约每两人之间互通一次电话，他们一共通了多少次电话？

解析：

第一位打电话的同学要打17次，第二位打电话的同学要打16次，……，第17位打电话的同学要打一次，第18位同学一次电话也不需要打。

答案：

（17+1）×17÷2=153（次）

答：

他们一共通了153次电话。

1、学生独立思考，完成题2。

生：

这是一个等差数列求和的问题，我们已经知道了首项、公差、末项。

只要再知道项数就行了。

2、请两三位学生讲解其解题思路及过程，由大家评比谁说的好。

3、教师小结。

（三）大胆闯关第3题

3.在北京与上海之间往返的火车，除起点站和终点站外，还要停靠8个火车站。

问：

一共要准备多少种火车票？

1、教师引导学生画出线段图来思考问题。

师：

如果我们把北京站与上海站之间看作一条线段，那么这条线段中间用八个点表示北京站与上海站中间的八个站，该如何理解这个问题呢？

2、学生小组合作交流，讨论出可以用数线段的方式来解决此问题。

3、教师请学生说说自己小组的解题思路。

4、学生说完自己小组解题思路之后，请其他小组补充说明。

注：

此处若某一小组学生能够想到火车往返相同两站之间的火车票是不同的，那自然很好，如果学生想不到此点，教师应加以引导，举实例说明。

5、学生整理解答。

（四）大胆闯关第4题

4.一本书的页码从1～62共有62页，小强在把这本书所有页码数累加起来的时候，发现这本书有一张被撕掉了，他把其它页码加起来的和是1858。

问被撕掉的这张纸上的页码是多少？

1、师：

同学们，你们有什么想法？

大家相互交流一下。

2、学生汇报想法。

3、学生尝试解答。

解析：

这本书的页码总和是（1+62）×62÷2=1953（页）。

下一步

因为1953-1858=95，所以被撕掉的（一张）两页页码和是95。

下一步

95=47+48

4、讲解，讲解以学生为主。

5、同桌间相互讲解，确保会做会讲。

6、教师小结。

三、课堂小结

同学们，通过今天的学习，你有什么收获？

还有什么问题要解决？

同学们今天表现很棒，现在我们来评选出今天的优秀个人和优秀小组……

希望其他同学以他们为目标，再接再厉，在以后的学习中超越他们，夺取最后的神秘积分大奖！

学生回答。

学生分小组汇报讲解

⑥角色互换，放手让学生自主讲解、评价。

小组比赛，调动积极性。

培养学生独立解答及讲解的能力。

教师要及时给予鼓励和表扬。

评出优秀个人和优秀小组，树立榜样作用。

【教学后记】：

本讲教材及练习册答案：

例题

例1、1+2×（15-1）=29（名）

例2、（58-20）÷2+1=20（排）

例3、（60-20）÷5+1=9（天）（20+60）×9÷2=360（页）

大胆闯关：

1、500+（650-500）×（11-1）=2000（米）

2、17+16+15+……+2+1

=（17+1）×17÷2

=153（次）

3、90种

4、（1+62）×62÷2=1953（页）

（1953-1858+1）÷2=48

48-1=47页码为47与48的那张被撕掉了。

练习册

1、5+1×（25-1）＝29（根）（5+29）×25÷2=425（根）

2、24+2＝26（个）（25+24+23+……+2+1）×2＝650（种）

3、（299-5）÷3+1＝99（项）

4、20+17×2＝54（米）10×20+（20+2+54）×17÷2＝846（米）

5、第一次后是4只球，第二次后是10只球……每一次后都比前一次多3n只（n表示次数），经推理，第10次后盒子里共有166只球。

1+3+6+9+…+30=1+（3+30）×10÷2=166（只）

补充练习：

1.求100以内所有奇数的和？

2.求（3+4+5+6+……+14+15）÷13的值。

3.数列：

6、10、14、18、……最后一项是86，则这个数列共有多少项？

4.求1——100的数中能被3整除的所有数的和是多少？

5.求1+4+7+10+13+...+67+70=？

6．一串算式按规律排列：

1+1，2+3，3+5，4+7，5+9，6+11，……。

那么第    个算式的结果等于2015；第2014个算式的和等于      。

7．按1，4，7，10，13，…,排列的一列数中，第51个数是      ；其中2014是第    项。

8．7个小队共种树100棵，各小队种的棵数都不相同，其中种树最多的小队种了18棵，种树最少的小队最少种多少棵？

补充练习参考答案：

1.25002.93.21项4.16835.852

6.1+1

2+3

3+5

4+7

5+9

6+11

…

发现了这个算式，前半部分是1,2,3,4,5,6…这样的等差数列；后半部分是1,3,5,7,9…

所以分别来计算即可。

所以2015=n+2n-1

2015=3n-1

n=672

所以，第672项的结果是2015。

那第2014个算式，就是2014+2014×2-1=6041。

7.151；672

8.要使种树最少的小队种树尽可能少，那么其他小队就要尽可能的多，18+17+16+15+14+13=（18+13）×6÷2=93（棵），所以种树最少的小队最少要种100-93=7（棵）。