n
f
小区间，在每个小区间［xi—1,xi］上取任一点Ei（i=1,2,…n）作和式ln=1曰（&）△x（其中△
x为小区间长度），把门-^即厶x-0时，和式In的极限叫做函数f（x）在区间［a,b］上的定积分，
记作：
n
bblimf
f（x）dxf（x）dxlnimf
a，即a'，=i1（△X。
这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间［a,b］叫做积分区间，函数f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式。
2.定积分的性质
bb
kf（x）dxkf（x）dx「「丄
aa（k为常数）；
bbb
af（x）g（x）dxaf（x）dxag（x）dx
aaa
bcb
f（x）dxf（x）dxf（x）dx»亠）
aa''c''（其中avcvb）。
3.定积分的几何意义
f（x）所围成的曲边梯形的面积
b
当f（x）0时，f（x）dx表示由x轴，直线x=a,x=b及曲线y
a
11
6•由直线x=-，x=2，曲线y=-及x轴所围成图形的面积为
2x
三、导数的应用
（1）设函数yf（x）在某个区间（a，b）可导，如果f（X）0,则f（x）在此区间上为增函数;如果f'（x）0，则f（x）在此区间上为减函数。
1.函数单调性
（1）简单函数单调性
F面四个图象
例1.已知函数yxf（x）的图象如图所示（其中f（x）是函数f（x）的导函数），
中yf（x）的图象大致是（
例2.设f（x）ax3x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间
（2）含有参数的函数单调性
例1:
已知函数f（x）axxlna，其中a（1,e]
（I）讨论f（x）的单调性；（n）求证：
对X1,X2[1,1]，都有If（xjf（X2）Ie2
32
例2：
已知函数f（x）=x3-3ax2+3x+1。
（I）设a=2,求f（x）的单调期间；
（U）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围
例3：
已知函数f（x）=x3-3ax+3x+1设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的范围
2.极值与最值
在区间［a，b］上连续的函数f（x）在［a，b］上必有最大值与最小值。
但在开区间（a，b）内连续函数f（x）不一定有最大值，例如f（x）x3,x（1,1）。
（1）函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。
（2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。
函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。
例3：
已知函数f（x）（x2ax2a23a）ex（xR）,其中aR
⑴当a0时，求曲线yf（x）在点（1,f
（1））处的切线的斜率；
2
（2）当a彳时，求函数f（x）的单调区间与极值。
（1）恒成立与能成立问题
例1:
设函数f（x）exex.（I）证明：
f（x）的导数f（x）>2;（H）若对所有x>0都有
f（x）>ax，求a的取值范围.
例2:
设函数f（x）2x33ax23bx8c在x1及x2时取得极值.
（I）求ab的值；（U）若对于任意的x[0,]，都有f（x）c2成立，求c的取值范围.
1a例3:
已知函数f（x）lnxax1（aR）.
x
1（I）当a一时，讨论f（x）的单调性；
2
一21
（U）设g（x）x2bx4.当a—时，若对任意为（0,2），存在他1,2，使
4
f（xjg（X2），求实数b取值范围.
例4:
设函数f（x）x3ax2a2xm（a0）
（1）求函数f（x）的单调区间;
（2）若函数f（x）在x[1,1]内没有极值点，求a的取值范围;
（3）若对任意的a[3,6]，不等式f（x）1在x[2,2]上恒成立，求m的取值范围
（2）
例1：
fx
例2：
（1）
（2）
围。
交点个数的问题
已知x3是函数fxaln1xx210x的一个极值点。
（I）求a;（H）求函数
的单调区间；（川）若直线yb与函数yfx的图象有3个交点，求b的取值范围。
已知函数f（x）=x3-2ax-1,a工0
求f（x）的单调区间
f（x）在x=-1处取得极值，直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，求m的取值范
13.已知函数f（x）（a-）x2Inx.（aR）
2
（I）当a1时，求f（x）在区间［1,e］上的最大值和最小值；
（U）若在区间（1,）上，函数f（x）的图象恒在直线y2ax下方，求a的取值范围.
1a
14.已知函数f（x）Inxax1（aR）.
x
1
（I）当a时，讨论f（x）的单调性；
（U）设g（x）x22bx4.当a丄时，若对任意为（0,2），存在x?
1,2，使
4
f（xjg（X2），求实数b取值范围.
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