秋人教版八年级数学上册第十二章全等三角形专题训练五 角平分线的六种运用.docx

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秋人教版八年级数学上册第十二章全等三角形专题训练五角平分线的六种运用

专题训练（五）　角平分线的六种运用

►　运用一　确定点的坐标和线段的长

1．如图5－ZT－1所示，在平面直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，点D到AB的距离DE＝3，则点D的坐标是________．

图5－ZT－1

2．如图5－ZT－2，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为________．

图5－ZT－2

►　运用二　确定三角形的面积

3．如图5－ZT－3，在△ABC中，∠A＝90°，BD是角平分线．若AB＝8，BC＝10，S△ABD＝

，求△BDC的面积．

图5－ZT－3

4．如图5－ZT－4，D，E，F分别是△ABC三边上的点，AD平分∠BAC，CE＝BF.若S△DCE＝4，求S△DBF.

　图5－ZT－4

5．如图5－ZT－5，现有一块三角形的空地，其三条边长分别是20m，30m，40m．现要把它分成面积比为2∶3∶4的三部分，分别种植不同种类的花，请你设计一种方案，并简单说明理由．（要求：

尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

图5－ZT－5

►　运用三　确定三角形的周长

6．如图5－ZT－6，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，AD平分∠BAC，DE⊥AC，AC＝20，求△CED的周长．

图5－ZT－6

►　运用四　证明两条线段相等

7．如图5－ZT－7，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M，N分别是垂足．求证：

PM＝PN.

图5－ZT－7

8．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图5－ZT－8，四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD.对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F.

求证：

OE＝OF.

图5－ZT－8

►　运用五　角平分线的性质和判定的综合

9．如图5－ZT－9所示，△ABC的外角∠CBD，∠BCE的平分线相交于点F，则下列结论一定成立的是（　　）

A．AF平分BCB．AF⊥BC

C．AF平分∠BACD．FA平分∠BFC

图5－ZT－9

10．如图5－ZT－10所示，已知∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.

求证：

（1）AM平分∠DAB；

（2）AD＝AB＋CD.

图5－ZT－10

11．已知：

如图5－ZT－11，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，BO平分∠ABC交AC于点O.求证：

DO平分∠ADC.

图5－ZT－11

►　运用六　角平分线在实际生活中的应用

12．如图5－ZT－12所示，O为码头，A，B两个灯塔与码头O的距离相等，OA，OB为海岸线．一轮船P离开码头O，计划沿∠AOB的平分线航行．

（1）用尺规作出轮船的预定航线OC；

（2）在航行途中，轮船P始终保持与灯塔A，B的距离相等，则轮船航行时是否偏离了预定航线？

请说明理由．

图5－ZT－12

详解详析

1．[答案]（3，0）

[解析]欲求点D的坐标，先求线段OD的长．因为AD是Rt△OAB的角平分线，DE⊥AB，OD⊥OA，所以DE＝OD＝3，

所以点D的坐标是（3，0）．

2．[答案]4

[解析]由垂线段最短可知，当DP⊥BC时，DP的长最小．

∵∠A＝∠BDC＝90°，∠ADB＝∠C，

∴∠DBA＝∠DBC，∴BD平分∠ABC.

∵DA⊥AB，DP⊥BC，∴DP＝DA＝4.

3．[解析]由已知BC＝10，欲求△BDC的面积，需求出BC边上的高，从而考虑过点D作DE⊥BC，由角平分线的性质可知DE＝AD，从而问题转化为求AD的长．

解：

如图，过点D作DE⊥BC，垂足为E.

因为AB＝8，S△ABD＝

，所以

AB·AD＝

，所以AD＝

.

因为BD是角平分线，DA⊥AB，DE⊥BC，

所以DE＝AD＝

，

所以S△BDC＝

BC·DE＝

×10×

＝

.

4．[解析]猜想△DCE和△DBF的面积相等，由已知CE＝BF，故只需说明两个三角形中以CE，BF为底边上的高相等．

解：

如图，过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥AC于点G.

因为点D在∠BAC的平分线上，

所以DG＝DH.

又因为CE＝BF，

所以

CE·DG＝

BF·DH，

所以S△DBF＝S△DCE＝4.

5．解：

分别作∠ACB和∠ABC的平分线，相交于点P.连接PA，则△PAB，△PAC，△PBC的面积之比为2∶3∶4（如图所示）．

理由如下：

∵P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，

如图，过点P分别作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，PH⊥BC于点H，则PE＝PF＝PH，

∴S△PAB＝

AB·PE＝10PE，S△PAC＝

PF·AC＝15PF，S△PBC＝

PH·BC＝20PH，

∴S△PAB∶S△PAC∶S△PBC＝10∶15∶20＝2∶3∶4.

6．[解析]△CED的周长为CE＋DE＋CD，而题中仅给出AC＝20，于是猜想CE＋DE＋CD＝AC，可通过角平分线的性质及全等三角形的性质进行线段间的转化，进而验证猜想．

解：

因为AD平分∠BAC，DE⊥AC，DB⊥AB，所以DE＝DB.又AD＝AD，所以Rt△ADE≌Rt△ADB，所以AE＝AB，

所以△CED的周长为CE＋DE＋CD＝CE＋DB＋CD＝CE＋（DB＋CD）＝CE＋BC＝CE＋AB＝CE＋AE＝AC＝20.

7．[解析]结合已知条件PM⊥AD，PN⊥CD，欲证明PM＝PN，只需证明DP平分∠ADC.问题可转化为证明∠ADB＝∠CDB，从而需证明△ADB≌△CDB.

证明：

因为BD是∠ABC的平分线，

所以∠ABD＝∠CBD.

又AB＝CB，BD＝BD，

所以△ADB≌△CDB，

所以∠ADB＝∠CDB，

所以∠ADP＝∠CDP.

又因为PM⊥AD，PN⊥CD，所以PM＝PN.

8．证明：

在△ABD和△CBD中，

∴△ABD≌△CBD（SSS），

∴∠ABD＝∠CBD，

∴BD平分∠ABC.

又∵OE⊥AB，OF⊥CB，∴OE＝OF.

9．C

10．[解析]作ME⊥AD，证明△DEM≌△DCM，Rt△AEM≌Rt△ABM.

证明：

（1）过点M作ME⊥AD于点E.

∵DM平分∠ADC，∠C＝90°，∴MC＝ME.

∵M是BC的中点，∴MC＝MB＝ME.

又∵ME⊥AD，MB⊥AB，

∴∠EAM＝∠BAM，即AM平分∠DAB.

（2）在Rt△DEM和Rt△DCM中，

∴Rt△DEM≌Rt△DCM，∴DE＝DC.

在Rt△AEM和Rt△ABM中，

∴Rt△AEM≌Rt△ABM.

∵AE＝AB，∴AD＝AE＋DE＝AB＋CD.

[点评]作出点M到角两边的垂线段，利用垂线段相等是解决这个问题的关键，因此当遇到角平分线的问题时，如果不能打开思路，不妨过角平分线上的点作出到角两边的垂线段．

11．证明：

如图，过点O作AB，BC，CD，DA的垂线，垂足分别为E，F，G，H.

∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝

AC，

∴△ACB≌△ACD（SSS），

∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝

∠DCA，

即AC平分∠BAD，CA平分∠BCD.

由角平分线的性质可知OE＝OH，OF＝OG.

∵BO平分∠ABC，

∴OE＝OF，

∴OG＝OH，

∴DO平分∠ADC.

12．解：

（1）如图．

（2）轮船航行时没有偏离预定航线．

理由：

在△AOP和△BOP中，

∴△AOP≌△BOP（SSS），

∴∠AOP＝∠BOP，

即点P在∠AOB的平分线上．

故轮船航行时没有偏离预定航线．