第6章混凝土梁承载力计算原理doc.docx
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第6章混凝土梁承载力计算原理doc
6混凝土梁承载力计算原理
6.1概述
本章介绍钢筋混凝土梁的受弯、受剪及受扭承载力计算方法。
钢筋混凝土梁是由钢筋和混凝土两种材料所组成，且混凝土本身是非弹性、非匀质材料。
抗拉强度又远小于抗压强度，因而其受力性能有很大不同。
研究钢筋混凝土构件的受力性能，很大程度上要依赖于构件加载试验。
建筑工程中梁常用的截面形式如图6-1所示。
6.2正截面受弯承载力
6.2.1材料的选择与一般构造
1）截面尺寸
为统一模板尺寸以便施工，现浇钢筋混凝土构件宜采用下列尺寸：
梁宽一般为100mm、120mm、150mm、180mm、200mm、220mm、250和300mm，以上按
50mm模数递增。
梁高200～800mm，模数为50mm，800mm以上模数为100mm。
梁高与跨度只比
主梁为1/8～1/12，次梁为1/15～1/20，独立梁不小于1/15（简支）和1/20（连续）；梁高与梁宽之比
在矩形截面梁中一般为2～2.5，在T形梁中为2.5～4.0。
b/l，
h/b，
2）混凝土保护层厚度
为了满足对受力钢筋的有效锚固及耐火、耐久性要求，钢筋的混凝土保护层应有足够的厚度。
混凝土
保护层最小厚度与钢筋直径，构件种类、环境条件和混凝土强度等级有关。
具体应符合下表规定。
表6-1
混凝土保护层最小厚度
环境类别
板
墙
壳
梁
柱
C25～C45
C25～C45
C20
C50
C20
C50
一
20
15
15
30
25
25
a
—
20
15
—
30
25
二
b
—
25
20
—
35
30
三
—
30
25
—
40
35
注：
（1）
基础的保护层厚度不小于
40mm；当无垫层时不小于
70mm。
（2）处于一类环境且由工厂生产的预制构件，当混凝土强度不低于C20时，其保护层厚度可按表中规定减少5mm，但
预制构件中的预应力钢筋的保护层厚度不应小于15mm；处于二类环境且由工厂生产的预制构件，当表面另做水泥砂浆抹面
层且有质量保证措施时，保护层厚度可按表中一类环境数值取用。
（3）预制钢筋混凝土受弯构件钢筋端头的保护层厚度不应小于10mm，预制肋形板主肋钢筋的保护层厚度应按梁的数值
采用。
（4）板、墙、壳中分布钢筋的保护层厚度不应小于10mm，梁、柱中箍筋和构造钢筋的保护层厚度不应小于15mm。
（5）处于二类环境中的悬臂板，其上表面应另作水泥砂浆保护层或采取其它保护措施。
（6）有防火要求的建筑物，其保护层厚度应符合国家现行有关防火规范的规定。
2）钢筋直径及间距
梁的纵向受力钢筋直径通常采用
10～28mm，若用两种不同直径的钢筋，其直径相差至少为
2mm，以便施
工中能肉眼识别。
6.2.2
梁正截面工作的三个阶段
1）
截面应力分布
梁截面应力分布在各个阶段的变化特点如图
6-2所示
（1）第I阶段：
梁承受的弯矩很小,截面的应变也很小，混凝土处于弹性工作阶段，应力与应变成正比。
截面应变符
合平截面假定，故梁的截面应力分布为三角形。
中和轴以上受压，另一侧受拉，钢筋与外围混凝土应变相
同，共同受拉。
随着M的增大，截面应变随之增大。
由于受拉区混凝土塑性变形的发展。
应力增长缓慢，
应变增长较快，受拉区混凝土的应力图形呈曲线形。
当弯矩增加到使受拉边的应变到达混凝土的极限拉应
变时，就进入裂缝出现的临界状态。
如再增加荷载，拉区混凝土将开裂，这时的弯矩为开裂弯矩，在此阶
段，压区混凝土仍处于弹性阶段，因此压区应力图形为三角形。
（2）第Ⅱ阶段：
当弯矩继续增加，达到Mcr后，在纯弯段内混凝土抗拉强度最弱的截面上将出现第一批裂缝。
开裂
部分混凝土承受的拉力将传给钢筋，使开裂截面的钢筋应力突然增大，但中和轴以下未开裂部分混凝土仍可负担一部分拉力。
随着弯矩增大，截面应变增大；但截面应变分布基本上符合平截面假定；而压区混凝上则越来越表现出塑性变形的特征，压区的应力图形呈曲线形。
当钢筋应力到达屈服时，为第Ⅱ阶段的结
束，这时的弯矩称为屈服弯矩My。
（3）第III阶段：
钢筋屈服后应力不增加，而应变急剧发展，钢筋与混凝土间的粘结遭到明显的破坏，使钢筋到达屈服的截面形成一条宽度很大，迅速向梁顶发展的临界裂缝。
虽然此阶段钢筋承担拉力不增大，但中和轴急剧上升，压区高度很快减小，内力臂增大，截面弯矩仍能有所增长。
随压区高度的减小，混凝土受压边缘
的压应变显著增大。
最大压应变可达0.003～0.004，压应力图形将为带有下降段的曲线形，应力图形的峰
值下移。
当压区混凝土的抗压强度耗尽时，在临界裂缝两侧的一定区段内，压区混凝土出现纵向水平裂缝，随即混凝土被压酥，梁达到极限弯矩。
2）破坏特征
上述讨论仅适用于适量配筋的梁，它们的破坏是由于受拉钢筋首先到达屈服，然后混凝土受压破坏；
破坏前临界裂缝显著开展，顶部压区混凝上产生很大局部变形，形成集中的塑性变形区域。
在这个区域内，
在M不增加或增加不多情况下，截面的转角急剧增大，反映了截面的屈服；同时梁的挠度迅速增大，预示着梁的破坏即将到来，其破坏形态具有“塑性破坏”的特征，即在破坏前裂缝和变形急剧发展。
6.2.3正截面受力分析
1）基本假设
（1）截面应变符合平截面假定
构件正截面弯曲变形后，其截面依然保持平面，截面应变分布服从平截面假定，即截面内任意点的应变与该点到中和轴的距离成正比，钢筋与外围混凝上的应变相同。
国内外大量试验也表明，从加载开始至
破坏，所测得破坏区段的混凝土及钢筋的平均应变，基本上是符合平截面假定的。
试验还表明构件破坏时，受压区混凝土的压碎是在沿构件长度一定范围内发生的，受拉钢筋的屈服也是在沿构件长度一定范围内发
生的。
因此，在承载力计算时采用平截面假定是可行的。
（2）不考虑混凝土的抗拉强度
在裂缝截面处，受拉区混凝土已大部分退出工作，虽然在中和轴附近尚有部分混凝土承担拉力，但与
钢筋承担的拉力或混凝土承担的压力相比，数值很小。
并且合力离中和轴很近，承担的弯矩可以忽略。
（3）混凝土应力—应变关系
混凝土的应力—应变曲线有多种不同形式，常采用的由一条二次抛物线和水平线组成的曲线，即不考
虑其下降段，并简化如图6-3的形式。
（4）钢筋应力—应变关系
钢筋应力取等于钢筋应变与其弹性模量的乘积，但不大于其强度设计值，受拉钢筋的极限拉应变取
0.01。
其简化的应力-应变曲线如图6-4所示。
2）受力分析
适筋梁在正截面承载力极限状态，受拉钢筋己经达到屈服强度，压区混凝上达到受
压破坏极限。
以单筋矩形截面为例，根据上述假设，截面受力状态如图6-5所示。
此时，压区边缘混凝土压应变达到极限压应变。
对于特定的混凝土强度等级，
0与cu均可取为定值；
因此，根据截面假定与混凝土应力
-应变关系，压区混凝土应力分布图形由压区高度唯一确定，压区混凝
土合力C的值为一积分表达式，压区混凝土合力作用点与受拉钢筋合力作用点之间的距离
z称为内力臂，
也必须表达为积分的形式。
根据轴向力与对受拉钢筋合力作用点的力矩平衡，可以建立两个独立平衡方程
T
AsfyC（xc）
（6.1）
M
Asfyz（xc）
（6.2）
通过联立求解上述两个方程虽然可以进行截面设计计算，但因混凝土压应力分布为非线性分布，计
算过程中需要进行比较复杂的积分计算，不利于工程应用。
《规范》采用简化压应力分布的简化方法。
3）等效矩形应力图形
正截面抗弯计算的主要目的仅仅是为了建立Mu的计算公式，实际上并不需要完整地给出混凝土的压应
力分布，而只要能确定压应力合力C的大小及作用位置就可以了。
为此，《规范》对于非均匀受压构件，如受弯、偏心受压和大偏心受拉等构件的受压区混凝土的应力分布进行简化，即用等效矩形应力图形来代
换二次抛物线加矩形的应力图形（图6-6）。
其代换的原则是：
保证两图形压应力合力C的大小和作用点位置不变。
等效矩形应力图由无量纲参数1及1所确定。
1及1为等效矩形应力图块的特征值，1为矩形应力
图的强度与受压区混凝土最大应力fc的比值；1为矩形应力图的受压区高度与平截面假定的中和轴高度
xc的比值．即1x/xc；x为等效压区高度值，简称压区高度。
根据试验及分析，可以求得1与1的值。
1及1与混凝土强度等因素有关。
对中低强混凝土．当
0=0.002，cu＝0.0033时，1=0.824，1=0.969。
为简化计算取1=0.8，1=1。
对高强混凝土，用随
混凝土强度提高而逐渐降低的系数
1值来反映高强混凝土的特点。
应当指出，将上述简化计算规定用于三
角形截面、圆形截面的受压区，会带来一定的误差。
《规范》规定：
当
fcu,k≤50
N/mm2时，
1取为0.8
，当fcu,k=80N/mm2时，
1
取为0.79
，其间按
直线内插法取用；当
fcu,k≤50N/mm2
时，
1取为1.0，当fcu,k=80N/mm2时，
1
取为0.94
，其间按
直线内插法取用。
相应的值列于表
6-2。
表6-2
混凝土受压区等效矩形应力系数
混凝土等级
≤C50
C55
C60
C65
C70
C75
C80
1
1.0
0.99
0.98
0.97
0.96
0.95
0.94
1
0.8
0.79
0.78
0.77
0.76
0.75
0.74
4）界限相对受压区高度与最小配筋率
（1）界限相对受压区高度b
界限相对受压区高度b，是指在适筋粱的界限破坏时，等效压区高度与截面有效高度之比。
界限破坏的
特征是受拉钢筋屈服的同时，压区混凝土边缘达到极限压应变。
根据平截面假定，正截面破坏时，不同压区高度的应变变化如图
6-7所示．中间斜线表示的为界限
破坏的应变。
对于确定的混凝土强度等级，
u的值为常数，1
x/xc也为常数。
由图中可以看出，破坏
时的相对压区高度越大，钢筋拉应变越小。
破坏时的相对压区高度
x
1xc
（6.3）
h0
h0
相对界限受压区高度
xb
1xcb
（6.4）
b
h0
h0
当b，破坏时钢筋拉应变，受拉钢筋不屈服，表明发生的破坏为超筋破坏。
当b，破坏时钢筋拉应变，受拉钢筋已经达到屈服，表明发生的破坏为适筋破坏或少筋破坏。
根据平截面假设，相对界限受压区高度可用简单的几何关系求出
1xcb
1
cu
1cu
1
（6.5
）
b
fy
fy
h0
cu
y
cu
1
Es
cuEs
《规范》规定；
对有屈服点的钢筋
1
b（6.6）
fy
1
cuEs
对无屈服点的钢筋
b
1
（6.7）
0.002
fy
1
cuEs
cu
截面受拉区内配有不同种类的钢筋时，受弯构件的相对界限受压区高度应分别计算，并取其小值。
（2）最小配筋率min
少筋破坏就是一旦出现裂缝，构件就会失效。
《规范》规定：
对受弯梁类构件，受拉钢筋百分率不
应小于45ft/fy，同时不应小于0.2；当温度因素对结构构件有较大影响时，受拉钢筋最小配筋百分率应
比规定适当增加；原则上讲，最小配筋率规定了少筋截面和适筋截面的界限，即配有最小配筋率的钢筋混凝土梁在破坏时所能承担的弯矩等于相同截面的素混凝土梁所承担的弯矩。
6.2.4受弯构件正截面承载力计算
1）基本公式与适用条件
（1）计算公式
根据前面所述钢筋混凝土结构设计基本原则，对受弯构件正截面受弯承载力，应满足作用在结构上的
荷载在所计算的截面中产生的弯矩设计值
M
不超过根据截面的设计尺寸、配筋量和材料的强度设计值计
算得到的受弯构件的正截面受弯承载力设计值，即
MM
u
（6.8）
根据图6-8，取轴向力以及弯矩平衡，即截面上水平方向的内力之和为零，截面上内、外力对受拉钢筋合力点的力矩之和等于零，可写出单筋矩形截面受弯构件正截面受弯承载力计算的基本公式为
1fcbx
fyAs
（6.9）
M
x
（6.10）
Mu1fcbx（h0）
2
式中
M—─弯矩设计值；
Mu——正截面极限抵抗弯矩；
fc——混凝土轴心抗压强度设计值；
fy——钢筋的抗拉强度设计值；
As——受拉区纵向钢筋的截面面积；
1——矩形应力图的强度与受压区混凝土最大应力fc的比值；
b——截面宽度；
x——按等效矩形应力图计算的受压区高度；
h0——截面有效高度，h0
has，as为受拉钢筋合力点至截面受拉边缘的距离，当为一排钢筋时，
asc
d
，其中d为钢筋直径，c为混凝土保护层厚度。
2
由（6.9）
式可得
x
fyAs
（6.11）
1fcb
则相对受压区高度即为
x
fyAs
fy
（6.12）
h0
1fcbh0
1fc
由上式得
fc，对于材料给定的截面，相对受压区高度
和配筋率
之间有明确的换算关系。
1fy
对应于b的
即为该截面允许的最大配筋率
max。
（2）适用条件
6.9式、6.10式仅适用适筋梁，而不适用于超筋及少筋梁，因为超钢梁破坏时的实际拉应力为
sfy，
并未达到屈服强度，这时，钢筋应力s为未知值，放在以上公式中不能按fy考虑；少筋梁一旦开裂，裂
缝就延伸至梁顶部，不存在受压区。
因此，对于上述适筋梁计算公式，必须满足下列适用条件：
①为防止超筋破坏，应满足：
b
（6.13
）
xxb
bh0
（6.14
）
max
b
1
fc
（6.15）
fy
以上三式是同一含义，为了便于应用，写成三种形式，满足其中之一，其余两个必然得到满足。
②为了防止少筋破坏，应满足
min
（6.16）
当温度因素对结构构件有较大影响时，受拉钢筋最小配筋百分率应比规定适当增加。
（3）截面构造要求
构件截面配筋除进行承载力计算外。
还要考虑构造要求。
这部分内容也是结构设计中的一个重要组成部
分。
①截面尺寸
为了统一模板尺寸便于施工，梁的截面宽度b和梁肋的高度应尽量与定型钢模板的模数协调，目前常采
50mm为模数。
矩形截面梁的高宽比
h/b一般取2.0～3.5，T形截面梁的梁高
h与肋宽b的比值一般取2.5～4.0。
②纵向受力钢筋
对采用绑扎骨架的钢筋混凝土梁，其纵向受力钢筋的直径，当梁高
h
300mm时，不应小于10
mm，
当梁高h<300mm时，不应小于6mm。
梁的纵向受力钢筋伸人支座的数量，
当梁宽b≥150mm时，不应
少于2根，当梁宽b
150mm时，可为1根。
为了便于浇筑混凝土时保证钢筋周围混凝土的密实性，
并确
保钢筋的锚固，梁的上部纵向钢筋的净距，不应小于
30mm和l5
d（d为钢筋最大直径），下部纵向钢筋净
距，不应小于25
mm
和。
如图6-9所示的要求。
若钢筋必须排成两排时，上、下两排钢筋应当对齐。
梁
d
的下部纵向钢筋配置多于两层时，上层钢筋水平方向的净距应比下面面层的净距增大一倍。
③梁的保护层厚度
为了保证钢筋不被锈蚀，并保证钢筋与混凝土良好粘结。
梁内钢筋靠梁外边缘的一侧都应设有保护层c，
其最小厚度见表6-1。
梁的截面有效高度h0当为一排钢筋时，可取h0h—35mm，当为两排钢筋时，可
取h0h—（50～60mm）。
④纵向构造钢筋
为了固定箍筋并与受力钢筋共同形成钢筋骨架，在梁内无纵向钢筋处应设置架立钢筋。
当梁的跨度小
于4m时，其直径不宜小于6mm；跨度等于4～6m时，其直径不宜小于8mm；跨度大于6m时，其直
径不宜小于10mm，当梁高超过700mm时，在梁的两侧面沿高度每隔300～400mm，应设置一根直径
不小于10mm的纵向构造钢筋。
2）基本公式的应用
设计受弯构件时，一般仅需对控制截面进行受弯承载力计算。
受弯构件正截面承载力计算可分为两类问题：
截面设计和截面校核。
（1）截面设计
在进行截面设计时，通常是已知弯矩设计值
Mu要求确定构件的截面尺寸及配筋。
就适筋梁而言，
对正截面受弯承载力起决定作用的是钢筋的强度，而混凝土强度等级的影响不很明显。
采用高强混凝土还
存在降低结构延性等方面问题。
因此普通钢筋混凝土构件的混凝上强度等级不宜选得过高。
《规范》规定，
混凝土强度不应低于C15；而当采用HRB335级钢筋时，混凝土强度等级不低于
C20；当采用HRB400级钢
筋时，混凝土强度等级不低于C20。
一般现浇构件用
C20～C30，预制构件一般用
C20～C40。
常用的钢筋是
HPB235或HRB335级钢筋。
关于截面尺寸的确定，截面高度一般是根据受弯构件的刚度、常用配筋率以及构造和施工要求等确
定。
如果构造上无特殊要求，一般可根据设计经验给定
bh，也可按以下公式估算：
h0（1.05~1.1）
M
（6.17）
fyb
（2）截面复核
在实际工程中，经常遇到已经建成的或已完成设计的结构构件，其截面尺寸、配筋量和材料等均已
知，要求计算截面的受弯承载力，或复核截面承受某个弯矩值是否安全。
此类问题的根本是求截面极限承
载力Mu值。
3）计算表格
按基本公式求解，一般必须解二次联立方程，为简化计算，可根据基本公式编制计算表格。
以下是编制思路。
将基本公式（6.9）式（6.10）式改写为
1fcbx
fyAs
1fcbh0
（6.18）
MMu
1
fcbx（h0
x）
1fcbh0
2（10.5）
（6.19）
2
设
s
（10.5）
（6.20
）
s1
0.5
（6.21
）
可得
M
s1fcbh02
（6.22）
对混凝土压力合力作用点取力矩平衡，可得
Mu
fyAs（h0
x）fyAsh0（10.5）sfyAsh0
（6.23
）
2
系数s、s仅与受压区相对高度有关，可以预先算出，列成表格以便应用。
在具体计算中，若查表
不便时，亦可直接用下式计算。
1
1
2s
（6.24）
1
1
2
s
s
2
（6.25）
【例6-1】已知矩形截面承受弯矩设计值
M145kNm，试设计该截面。
【解】本例题属于截面设计。
①选用材料
混凝土用
C20
，
fc
9.6N/mm
2，
1
1.0；采用
HRB335级钢筋，
fy
300N/mm2
②确定截面尺寸
取1%，假定b250mm,则
h0
1.05
M
145
10
6
1.05
0.01300
461.7mm
fyb
250
因
不高，假定布置一层钢筋，混凝土保护层厚
c
25mm,as
35mm,h
461.7
35497mm，实际取h500mm。
此时，
b/h250/5001/2，合适。
于是，截面实际有效高度h050035465mm
③计算钢筋截面面积和选择钢筋
145
106
1.09.6
250x（4650.5x）
x2
930x
120833
0
x
156.1mm
或
x773.9mm
因为x不可能大于
h，所以
取x156.1mm
0.55h0
255.8mm。
将x156.1mm代入式（6.9），得
1.0
9.6250156.1300As
As
1249mm2
配4
20，As1249mm2
AS
1256
1.00%
min0.15%
bh
250500
钢筋布置如图6-10所示。
【例6-2】有一截面尺寸b
h200mm450mm的钢筋混凝土梁，采用C20混凝土和HRB335级钢筋，
截面构造如图6-11所示，该梁承受最大弯矩设计值M
66kNm，复核该截面是否安全。
【解】本例题属于复核截面。
材料同例题
6-1，As
603mm2
钢筋净间距
200
2
25
3
16
d，
sn
2
51mm
且sn
25mm，符合要求。
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