高中数学湘教版必修1第一章 集合与函数123.docx

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高中数学湘教版必修1第一章集合与函数123

1.2.3　从图象看函数的性质

[学习目标]　1.能从函数的图象上看出函数的性质，如最值，有界性，单调性，奇偶性等.2.掌握正比例函数，一次函数，反比例函数的性质．

[知识链接]

1．正比例函数y＝kx（k≠0）的图象是一条直线，它经过原点．

2．一次函数y＝kx＋b（k≠0），当k＞0时，随着x的增大，y增大．

3．反比例函数y＝

的图象为：

[预习导引]

1．奇函数和偶函数

（1）奇函数：

如果函数的图象关于原点中心对称．也就是说，绕原点旋转180°后和自己重合．这样的函数被说成是奇函数．

（2）偶函数：

如果一个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，这个函数被说成是偶函数．

2．单调函数

（1）单调递增函数：

函数值y随自变量x的增大而增大，这样的函数叫作单调递增函数；

（2）单调递减函数：

函数值y随自变量x的增大而减小，这样的函数叫作单调递减函数；

（3）单调递增、单调递减简称为递增或递减，递增函数和递减函数统称为单调函数．

3．函数的最值与上、下界

（1）股票指数走势图中，一般会标明最高和最低指数，以及达到最高和最低指数的时间．前者分别叫作函数的最大值和最小值，后者分别叫作函数的最大值点和最小值点．最大值和最小值统称为最值．

（2）图象向上方和下方无限伸展，这样的函数叫作无上界也无下界的函数.

要点一　奇函数与偶函数问题

例1　下面给出了一些函数的图象，根据图象说明哪些是奇函数？

哪些是偶函数？

解　从图象可以发现，

（1）（4）两个函数图象关于y轴对称，对应的函数是偶函数；

（2）（3）两个函数图象关于原点成中心对称，对应的函数是奇函数．

规律方法　判断函数的奇偶性主要根据图象的对称性来鉴别．偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点成中心对称．

跟踪演练1　

（1）如图是根据y＝f（x）绘出来的，则表示偶函数的图象是图中的________．（把正确命题的序号都填上）

（2）函数f（x）＝

（x∈（－2,0））是（　　）

A．奇函数

B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数

D．既不是奇函数也不是偶函数

答案　

（1）③　

（2）D

解析　

（1）只有③中的图象是关于y轴对称的，故表示偶函数的只有③.

（2）画出函数f（x）＝

（x∈（－2,0））的图象（如图），可知图象既不关于原点对称，也不关于y轴对称，故该函数既不是奇函数也不是偶函数．

要点二　函数的单调性

例2　

（1）一天，亮亮发烧了，早晨烧得很厉害，吃过药后，感觉好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了．下面各图能基本上反映出亮亮这一天（0～24时）体温的变化情况的是（　　）

（2）如图，是一个函数f（x）在y轴左侧的图象．

①当f（x）是奇函数时，画出该函数在y轴右侧的图象，并说明该函数在（0，＋∞）上是增函数还是减函数？

②当f（x）是偶函数时，该函数在y轴右侧的图象必经过哪个点？

（1）答案　C

解析　依题意知只有C选项最符合条件，故选C.

（2）解　①f（x）在y轴右侧图象如图，它在（0，＋∞）上是单调减函数；

②f（x）在y轴右侧的图象必经过点（2,0）．

规律方法　1.看函数的单调性主要是看在定义域中函数是否随自变量的增加而增加，若是，就是单调递增，反之则单调递减．

2．一个奇函数在y轴两侧的增减性相同，一个偶函数在y轴两侧的增减性相反．

3．若已知奇函数f（x）的图象经过点（a，b），则它一定也经过点（－a，－b）；若已知偶函数f（x）的图象经过点（a，b），则它一定也经过点（－a，b）．

跟踪演练2　

（1）若函数f（x）的图象如图，则f（x）在区间________上是单调递增函数，在区间________上是单调递减函数．

（2）从山顶到山下的招待所的距离为20千米．某人从山顶以4千米/时的速度到山下的招待所，他与招待所的距离s（千米）与时间t（时）的关系用图象表示为（　　）

答案　

（1）[－2,1]，[3,5]　[－5，－2]，[1,3]　

（2）C

解析　

（2）该人与招待所的距离随着时间增加而减少，故只有C，D符合这一条件．又0≤s≤20，故选C.

要点三　函数的最值

例3　给出函数的图象如图所示，则该函数的最大值和最小值分别是多少？

该函数有上界吗？

有下界吗？

解　观察图象可知图象的最高点的函数值为2，但该点无意义，最低点的函数值为0.故函数无最大值，最小值是0.从图象可知，该函数既有上界，也有下界．

规律方法　1.最高点对应的是最大值，最低点对应的是最小值．在看这两个点时要注意在该点自变量是否有意义，如果x在该点不能取值，那么即使是图象的最高点和最低点也不是最值．

2．如果一个函数的图象上不封顶、向上方无限延伸，就称该函数无上界，否则有上界；如果一个函数的图象下不保底，向下方无限延伸，就称其无下界，否则有下界．

跟踪演练3　给出函数的图象如图所示，则该函数的最大值和最小值分别是多少？

该函数有上界吗？

有下界吗？

解　最大值是2，没有最小值．该函数既有上界，也有下界.

1．函数f（x）＝－3x是（　　）

A．奇函数

B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数

D．既不是奇函数也不是偶函数

答案　A

解析　画出y＝－3x的图象（图略），观察图象知其关于原点中心对称，所以它是奇函数，选A.

2．函数f（x）＝－x2在区间（－1，＋∞）上（　　）

A．是增函数　　　　　　　B．是减函数

C．不具有单调性D．无法判断单调性

答案　C

解析　画出f（x）＝－x2的图象（图略），观察可知它在（－1，＋∞）上先单调递增后单调递减，不具有单调性，选C.

3．下图的四个函数图象中奇函数的个数为（　　）

A．1　　　　B．2C．3　　　　D．4

答案　B

解析　从图中可以看出

（2）（4）两个图象关于原点成中心对称，故有两个奇函数．

4．已知函数f（x）的图象如图所示，则以下说法正确的是（　　）

A．函数有最大值，无最小值

B．函数无最大值，有最小值

C．函数有上界，无下界

D．函数无上界，无下界

答案　D

5．已知y＝f（x）的图象如下图（包括端点），则函数的单调递增区间为________．

答案　[－1,0），[1,2]

1.一次函数定义：

y＝kx＋b（k≠0），不要漏掉条件k≠0.当b＝0时，此函数为正比例函数，它是一次函数的特例．

2．一次函数的性质：

k＞0时，y＝kx＋b单调递增；k＜0时，y＝kx＋b单调递减．

3．函数的图象有着重要的应用，读图、识图作为一种能力在高考中越来越受重视．常见的思考方法：

定性法、定量法、模型函数法、转化法．用图象法要通过图象不仅看出函数的定义域、值域，更要看出图象反映出的其他性质．

一、基础达标

1．下列四个函数，不是正比例函数的是（　　）

A．f（x）＝－2x　　　　　　　B．f（x）＝πx

C．f（x）＝2（x＋1）D．f（x）＝－

x

答案　C

2．下列命题中错误的是（　　）

A．图象关于原点为中心对称的函数一定为奇函数

B．奇函数的图象一定过原点

C．偶函数的图象若不过原点则它与x轴交点的个数一定为偶数

D．图象关于y轴对称的函数一定为偶函数

答案　B

3．下列函数中，y随x的增大而增大的是（　　）

A．y＝4－xB．y＝10－

C．y＝－

－xD．y＝

x

答案　D

解析　一次函数y＝kx＋b（k≠0）当y随x增大而增大时，k必须大于零．

4．若函数f（x）在区间（a，b）上是增函数，在区间（b，c）上也是增函数，则函数f（x）在区间（a，b）∪（b，c）上（　　）

A．必是增函数B．必是减函数

C．是增函数或减函数D．无法确定单调性

答案　D

解析　函数在区间（a，b）∪（b，c）上无法确定单调性．如y＝－

在（0，＋∞）上是增函数，在（－∞，0）上也是增函数，但在（－∞，0）∪（0，＋∞）上并不具有单调性．

5．下列图象中能作为偶函数图象的是（　　）

答案　D

解析　偶函数图象关于y轴对称，而B项是一对多对应，不能作为函数图象，而D项符合题意，因此选D.

6．已知一次函数y＝（m－2）x＋m2－3m－2，它的图象在y轴上的截距为－4，则m的值为________．

答案　1

解析　令x＝0，得y＝m2－3m－2＝－4，

∴m2－3m＋2＝0，∴m＝1或2，

又m－2≠0，即m≠2，∴m＝1.

7．如果一个函数是奇函数，那么它在y轴两侧的增减性有什么关系？

如果一个函数是偶函数呢？

解　奇函数在y轴两侧的增减性是相同的，偶函数在y轴两侧的增减性是相反的．

二、能力提升

8．函数y＝1－

的图象是（　　）

答案　B

9．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（－∞，0]上是减函数，且f

（2）＝0，则使得f（x）＜0的取值范围是（　　）

A．（－∞，2）B．（2，＋∞）

C．（－∞，－2）∪（2，＋∞）D．（－2,2）

答案　D

解析　由图象法可解，由函数的性质可画出其图象如图所示：

显然f（x）＜0的解集为{x|－2＜x＜2}．

10．关于x的一次函数y＝（2a－5）x＋a－2的图象与y轴的交点在x轴上方，且y随x的增大而减小，则a的取值范围是______．

答案　（2，

）

解析　因为一次函数y＝（2a－5）x＋a－2与y轴的交点在x轴上方，即截距大于0，且y随x的增大而减小，所以

⇒2＜a＜

.

11．甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模（产量）进行调查，提供了两个方面的信息如图所示．

甲调查表明：

每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第六年2万只．

乙调查表明：

甲鱼池个数由第一年30个减少到第六年10个，请你根据提供的信息说明：

（1）第二年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；

（2）到第六年这个县的甲鱼养殖业的规模比第一年是扩大了还是缩小了？

说明理由；

（3）哪一年的规模最大？

说明理由．

解　

（1）由题图可知，直线y甲＝kx＋b，

经过（1,1）和（6,2）．

可求得k＝0.2，b＝0.8.

∴y甲＝0.2（x＋4）．

同理可得y乙＝4（－x＋

）．

故第二年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为26×1.2＝31.2（万只）．

（2）规模缩小，原因是：

第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只．

（3）设第x年规模最大，

即求y甲·y乙＝0.2（x＋4）·4（－x＋

）

＝－0.8x2＋3.6x＋27.2的最大值．

当x＝－

＝2

≈2时，

y甲·y乙＝－0.8×4＋3.6×2＋27.2＝31.2最大，

即第二年规模最大，为31.2万只．

三、探究与创新

12．设函数g（t）＝t2－2at，若a∈[－1,1]时，g（t）≥0恒成立，求t的取值范围．

解　设f（a）＝－2at＋t2，

∵a∈[－1,1]时，g（t）≥0恒成立，

∴只须f（a）的图象在横轴及横轴上方．

即

解得t≤－2或t＝0或t≥2.

13．某公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是推销费，如图表示了该公司每月付给推销员推销费的两种方案．

看图解答下列问题：

（1）求y1与y2的函数解析式；

（2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的；

（3）如果你是推销员，应如何选择付费方案？

解　

（1）设y1＝k1x，y2＝k2x＋b，

观察图象，点（30,600）在y1＝k1x上，

由此得k1＝20，∴y1＝20x，

把点（0,300）和（30,600）代入y2＝k2x＋b，

得k2＝10，b＝300，∴y2＝10x＋300.

（2）方案一　没有基本工资，每推销1件产品，付推销费20元（即y＝20x）．

方案二　每月发基本工资300元，每推销1件产品，再付10元推销费（即y＝10x＋300）．

（3）可以根据自己的业务能力和市场行情选择付费方案．

由y1＝y2，即20x＝10x＋300，得x＝30.

所以，若每月可以推销30件产品，则两种方案都一样；若每月推销量不足30件，则y2＞y1，选择方案二；若每月推销量可以超过30件，则y1＞y2，选择方案一．