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心理统计
心理统计
心理统计概述
心理统计学是研究在心理实验或调查中如何收集、整理、分析数字资料，以及如何根据这些资料所传递的信息作出科学推论的应用统计学分支。
19世纪末一些心理学家开始把数理统计方法用于心理学研究。
英国F.高尔顿首先把高斯的误差理论推广到人类行为的测量中，使用了回归直线、相关系数的概念，始创回归原理。
他不仅对人类个体测量时搜集的大量数据进行统计分析和处理，并用统计方法分析心理实验结果，使心理学研究更加科学化。
其后，英国心理学家K.皮尔逊和D.斯皮尔曼对心理统计的发展作了许多工作。
斯皮尔曼延伸了相关系数的概念，导出等级相关系数的计算方法，并用因素分析方法建立心理科学的数学模型，20世纪初，统计方法在欧洲各国广为流行，很多心理学研究者，都应用了统计方法。
当时，统计学已传入美国，在心理统计上贡献较大的有卡特尔、桑代克等人，桑代克于1904年著《心理与社会测量导论》，被知名人士为世界上第一本心理、教育统计学专著。
尔后，桑代克的学生凯利等人专门研究心理与教育统计，亦有专著出版。
美国的大学先后开设心理统计课程，并出版教材，如心理学家瑟斯顿的《统计学纲要》，实验心理学家盖瑞特的《心理与教育中的统计》等。
这些教材的内容大部分属于描述统计。
40年代以后，欧美各国较普遍地应用数理统计方法研究心理问题，心理统计也逐步进入了以推断统计为主要内容的阶段。
60年代以后，由于电子计算机的广泛应用，多因素实验设计和统计方法的普及与应用已成为可能。
多元分析方法已成为心理学家处理数据，检验假设，构造模型和分析结果的有效工具。
心理统计与心理实验、心理测量有极为密切的关系，心理统计所加工的原始数据来自心理实验和心理测量，而心理实验设计和心理测验的编制必须以统计理论为基础，心理实验与心理测验所获得的数据又必须运用统计方法去进行分析和处理。
心理统计学是心理学研究的有效工具之一。
心理学发展的历史证明，科学心理学离不开科学实验或调查，而心理实验或调查又必然要面临处理数字资料的问题。
例如：
怎样收集资料才能使数字最有意义、最能反映所研究的课题；采用什么方法整理和分析所得数据，才能最大限度地显现这些数据所反映的信息，从而对实验或调查结果作出科学的解释；怎样才能从所得局部结果推论到总体，作出一般规律性的科学结论等等。
要解决这些问题就必须依靠科学的统计方法。
心理统计学与教育统计学、生物统计学、医学统计学等相似，都是数理统计学在某一学科的具体应用。
数理统计学提供了许多处理数字资料的一般方法，心理统计学则针对心理学的特点，研究如何应用这些方法去解决心理实验或调查中的数据问题，两者既有密切联系又不等同。
随着心理学的发展，必然会有更多的数理统计方法被引进心理统计学中来，这样也会促进心理统计学的发展。
心理统计学的内容，按其目的与功能可分为描述统计、推论统计、实验设计三部分。
描述统计主要研究如何将实验或调查得到的大量数据简缩成有代表性的数字，使其能客观、全面地反映这组数据的全貌，将其所提供的信息充分显现出来，为进一步统计分析和推论提供可能。
其研究方法是通过绘制统计图表及计算各种统计量来描述这组数据的各方面特征，一般步骤为：
对原始数据进行分类，作出次数分布表及次数分布图并算出峰度，以偏度系数反映数据的分布特征；计算平均数、中数、众数等集中量数，以表示一组数据的集中趋势；计算全距、平均差、四分差、标准差或方差等差异量数，以表示一组数据的分散程度；计算相关系数、回归系数或回归方程，以反映两列变量变化之间的关系或一致性程度。
推论统计是以描述统计为基础，以解决由局部到全体的推论问题，即通过对一组统计量的计算分析，推论该组数据所代表的总体特征。
推论统计一般包括总体参数的估计和假设检验这两方面的内容。
总体参数即反映总体特征的量，一般可以通过适当的样本统计量进行估计。
直接用样本统计量估计总体相应参数所得到的值称为点估计。
除点估计外，最常用的是区间估计。
其特点是根据样本分布及标准差，算出一个区间作为对总体参数的估计，同时给出这种估计的置信度，即总体参数落在该区间的可能性。
假设检验是一种统计的推理过程。
其方法是首先对于所研究的问题建立假设，但检验时并不直接验证它，而是提出与此假设对立的假设，然后通过论证给出相应的显著性水平。
在心理统计中，常用的是平均数、方差、比率、相关系数及回归系数等统计量的差异检验。
也就是要检验从样本得到的统计量差异究竟是真实代表总体之间的相应参数的差异，还是仅仅由取样误差所造成。
统计学意义上的实验设计主要研究如何运用统计手法决定样本的选择及其合理分组方式，并通过对实验结果中各种因子及误差的统计分析，发现各种对实验数据的变异有影响的因子以及各因子的主效果或因子间的交互作用，从而决定该类型实验因子的合理设置及各因子应取的不同水平，使实验更加有效。
常用的具体方法有方差分析及协方差分析等。
由于心理现象的复杂性、多元性，尤其是各因子间的交互作用，会使单因子实验结果的可靠性受到影响，因此就需要多因子实验，需要多元统计方法。
因计算过程复杂，多元统计的应用曾一度受到限制。
近年来随着电子计算机的发展与应用，计算上的困难逐步得到解决，越来越多的多元统计方法为心理统计学所引用，从而促进了心理统计学的发展。
目前，多元回归、因素分析、主成分分析、聚类分析、判别分析等多元统计方法已普遍应用到心理学的研究中，成为心理统计学中的重要内容。
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2007年3月16日编辑：
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假设检验中常见的基本概念
假设检验中有关的基本概念
1.假设检验
假设检验就是先对总体的参数或作出某种假设,然后用适当的方法根据样本对总体提供的信息,推断此假设应当拒绝或接受。
其结果将有助于研究者作出具,采取措施。
2.原假设（零假设）焊择假设（对立假设）
原假设:
根据检验结果准备予以拒绝或接受的假设,以H0表示;备择假设:
与原假设不相容（即对立）的假设,以H1表示。
如:
对总体随机变量X的均数μ不小于一给定值μ0的假设的检验（见式（2.1.1））;又如:
对2批不合格品率π1和π2相等（未知）的假设的检验（见式（2.1.2））。
H0:
μ≥μ0及H1:
μ<μ0 （2.1.1） H0:
π1=π2及H1:
π1≠π2 （2.1.2）
3.参数检验与非参数检验
检验统计量的函数依赖于观测值的函数类型的检验,称为参数检验;如当总体的方差未知时,对于原假设“均数等于某给定值”的t检验中,必须假定总体的是正态的。
反之,则称为非参数检验。
4.拒绝域（或否定域）、显著性水平
拒绝域:
所使用的统计量可能取值的集合的某个子集合。
如果根据观测值得出的统计量的数值属于这一集合,拒绝原假设;反之,接受原假设。
（检验的）显著性水平:
当原假设正确时,而被拒绝的概率的最大值,记为α。
α的值一般取为0.05或0.01。
5.单侧检验、双侧检验和临界值
单侧检验:
所用的统计量是一维的,而拒绝域是小于（或大于）某给定数的所有数值的集合;如:
已知甲药的疗效不会低于乙药,检验的目的是为了得出甲药的疗效是否明显地优于乙药,此时应选用单侧检验。
单侧检验容易得愁别显著的结论来,但必须有专业知识为依据。
双侧检验:
所用的统计量是一维的,而拒绝域是小于第1个给定数而大于第2个给定数的所有数值的集合。
临界值:
作为上述拒绝域界限的给定数。
6.交互作用
设A、B是2个试验因素,分别有m和n个水平,则它们共有m×n种水平搭配。
如果在这m×n种试验条件下获得的试验结果之间差别显著,就说A、B之间存在显著的交互作用。
换句话说,所谓交互作用,就是一个因素的各水平对试验结果的影响随另一个因素水平的改变而改变。
由此可知:
当假设检验的结果发现A、B２因素的交互作用显著时,应将A因素分别控制在它的各水平下,检验B因素所有水平之间的差别是否显著;同理,还可依次把B因素控制在不同水平下,检验A因素。
这样才能弄清这2个因素究竟应分别取什么水平时,其共同作用的结果最符合研究者的专业要求。
在统计学上,把2因素之间的交互作用称为1级交互作用、3因素之间的交互作用称为2级交互作用,…。
7.不显著因素与无用因素
经假设检验,若发现某因素不显著,不能简单地理解为该因素在此试验中是无用因素。
因素在试验中是否有用,取决于专业知识;而假设检验的结果只能说明因素的各水平对试验结果所产生的影响相差是否足够的大。
即使某因素在试验中是必不可少的,但由于所取的水平过于接近,其结果自然相差无几。
统计学上的四型错误
统计学上的四型错误
Ⅰ型错误:
也称假阳性错误。
即当原假设H0客观上成立,但根据假设检验的规则,将有α大小的概率错误地拒绝H0,同时错误地接受备择假设H1。
Ⅱ型错误:
也称假阴性错误。
即当H0客观上不成立,但根据假设检验的规则,将有β大小的概率错误地拒绝H1,同时错误地接受H0。
Ⅲ型错误:
即最终回答的是1个错误的问题。
此错误主要是由于试验设计不周密不完善所致,如在试验设计中未将重要的试验因素包括在内。
Ⅳ型错误:
即对1个假设进行了多项正确的检验,但在对因果关系的分析时作出了错误的比较和解释,这些比较并非是由被使用的模型所定义的。
此错误主要出现在结果的解释阶段。
假设检验的理论依据
假设检验的理论依据
通常,我们所作的检验多数场合下属于参数检验,即要求出1个检验统计量的值,并且,这个检验统计量必须服从于某个已知的概率。
从而,以这个概率为理论依据进行统计推断。
如:
U检验和t检验,分别以标准正态和t为其理论依据;卡方检验和F检验,分别以卡和F为其理论依据。
方差分析的应用场合及其基本思想
方差分析的应用场合及其基本思想
当影响因素是定性变量（一般称为分组变量或原因变量）,观测结果是定量变量（一般称为结果变量或反应变量）,常用的数据处理方法是对均数或均值向量进行假设检验。
若只有一个原因变量,而且,其水平数K≤2,一元时常用U检验、t检验、秩和检验,多元时用多元检验（T2检验或Wilks'∧检验）;若原因变量的水平数K≥3或原因变量的个数≥2,一元时常用F检验,也叫一元方差分析（简写成ANOVA）或非参数检验,多元时用多元方差分析（简写成MANOVA,其中最常用的是Wilks'∧检验）。
无论是进行ANOVA还是MANOVA,严格地说,都要求资料满足正态性和方差齐性,但方差齐性有时较难满足,此时如何进行方差分析,至今尚未找到十分满意的处理方法。
尽管如此,由于方差分析适用的范围比较广泛,所以,它在假设检验中起到了举足轻重的作用。
因此,弄清方差分析的基本思想,将有助于读者尽快学会如何用此法处理各种试验设计条件下收集的定量资料。
方差分析的基本思想可概述为:
把全部数据关于总均数的离差平和分解成几缚分,每一部分表示某一影响因素或诸影响因素之间的交互作用所产生的效应,将各部分均方（即方差）与误差均方相比较,依据F作出统计推断,从而确认或否认某些因素或交互作用的重要性。
由于试验设计的类型多种多样,不同的设计类型往往需用不同的数学模型去处理,因此,用来作为度量影响因素作用大小的尺子─误差的均方,也就不是一成不变的了。
这就出现了误差项相对固定的设计类型及其定量资料的统计分析方法（见本章第２节以后的内容）和误差项不固定的设计类型及其定量资料的统计分析方法。
回归分析的任务和种类
回归分析的任务和种类
１．回归分析仅哪些问题
当人们从一组对象上获得２个或多个指标的观测值时，往往需要回答下述几个问题：
①如何实现预测，即如何由１个或多个指标（自变量）的值去推算另１个或多个指标（因变量）的值；②如何实现控制，即事先给锄品质量应达到的标准（因变量的取值范围），根据变量之间的数量关系去控制那些影响产品质量的因素（自变量）的变化区间；③如何实现修匀，由于所研究的指标带有变异性，当用散布图将变量之间的关系呈现出来时，散点所形成的轨迹并非像数学中初等函数那样有规律，需要用合适的数学方法（如用直线或某种光滑曲线）对资料进行修匀，使变量之间本质联系更清楚地呈现出来。
回归分析正是回答上述问题的一种最常用最有效的统计分析方法之一。
２．回归分析的种类
如果因变量是（非时间的）连续变量（即一般定量资料），设自变量的个数为ｋ，当ｋ＝１时，回归分析的种类有：
①直线回归分析；②通过直线化实现的简单曲线回归分析（以下简称为曲线拟合）；③非线性曲线拟合；④一般多项式曲线拟合；⑤正交多项式曲线拟合。
当ｋ≥２时，称为多元回归分析（注：
前面的④、⑤２种情况实质上是用多元回归分析仅只含１个自变量时较复杂的曲线拟合问题）。
当同时对多个因变量进行回归分析时，称之为多重回归分析。
在多元回归分析中，简单而又实用的则是多元线性回归分析（其中某些自变量可以是原观测指标经过某种初等变换的结果，如对数变换、开平根变换等，因为这里所说的线性是指∶函数f（x）相对于回归参数是线性的，并非相对于自变量而言）。
这是本篇中要论述的问题。
如果因变量是与时间有关的连续变量且未被离散化（如：
生存时间、复发时间、死亡时间等），而自变量可以是定量的，也可以是定性的。
此时需用生存分析中的半参数或参数回归分析方法，将在本书第５篇中论述。
如果因变量是名义或有序变量，无论它取二个离散值（如：
死与活、复发与未复发等）还是多个离散值（自变量可以是定性和定量的）时，都可选用logistic回归分析；如果把列联表中每个格内的理论频数的对数当作因变量，把分组变量（包含影响因素和观测结果变量２类）当作自变量，可用对数线性模性分析。
这部分内容请参见本书第３篇中有关章节。
在自变量代表时间的情况下，通常不假定因变量y的各次观察值独立，而具有某种非独立的结构，例如构成一平稳序列。
这种回归模型的研究被划入统计学的另一个重要分支──时间序列统计分析的范围，本书不作讨论。
直线回归与相关分析的比较
直线回归与相关分析的概念和要点
１．两种分析方法的异同点
研究在专业上有一定联系的两个变量之间是否存在直线关系以及如何求得直线回归方程等问题，需进行直线相关和回归分析。
从研究的目的来说，若仅仅为了了解两变量之间呈直线关系的密切程度和方向，宜选用线性相关分析；若仅仅为了建立由自变量推算因变量的直线回归方程，宜选用直线回归分析。
从资料所具备的条件来说，作相关分析时要求两变量都是随机变量（如：
人的身长与体重、血硒与发硒）；作回归分析时要求因变量是随机变量，自变量可以是随机的，也可以是一般变量（即可以事先指定变量的取值，如：
用药的剂量）。
在统计学教科书中习惯把相关与回归分开论述，其实在应用时，当两变量都是随机变量时，常需同时给出这２种方法分析的结果；另外，若用计算器实现统计分析，可用对相关系数的检验取代对回归系数的检验（理由见下节），胀方便地达到了化繁为简的目的。
故本书把这２个内容放在一起讲解。
２．散布图在这两种分析中的作用
功能齐全的计算器和统计软件，会蒙骗盲目运用统计方法的人，进行直线相关和回归分析时，尤其要注意！
因为统计方法只能帮助人们揭示数据之间内在的统计规律性，但它不能创造规律，也就是说，资料之间是否存在本质联系要靠专业知识来解释；另外，在专业上有一定联系的２项指标之间的关系并非都是直线关系。
实事上，如果２项指标之间呈一条弯曲度不大的“Ｓ”型或倒“Ｓ”型曲线趋势，错误地用一条直线回归方程来描述，在统计学上往往会得到较高的显著性，即该直线回归方程是成立的，但在生物学上是解释不通的（当因变量是某种率时最易发生这种现象）。
正确的做法是：
将（ｘ，ｙ）的ｎ对数值绘在直角坐标系内，得到ｘ与ｙ变化趋势的散布图，如果ｎ个点形成的散布图呈一条明显的曲线趋势时，宜拟合一条曲线回归方程；如果ｎ个点在一条不太宽的长带内随机地着，且不存在明显的曲线趋势，可考虑进行直线相关和回归分析；如果ｎ个点形成的散布图近似于一个圆盘，则说明ｘ与ｙ之间无确定的变化趋势，几乎是互相独立的，不必硬把它们捏合在一起分析。
协方差分析的条件、方法和特点
协方差分析的概述
１．什么是协方差分析
在介绍医学试验设计时曾谈到，严格按试验设计的４项基本原则设计试验，目的就是为了排除非处理因素的干扰和影响，使试验误差的估计降到最低限度，从而可以准确地获得处理因素的试验效应。
但在某些实际问题中，有些因素在目前还不能控制或难以控制，如在动物饲养试验中，各组动物所增加的平均体重不仅仅与各种饲料营养价值高低有关，还与各动物的进食量有关，甚至与各动物的初始重量等因素及其交互作用都有关系。
如果直接进行方差分析，会因为混杂因素的影响而无法得出正确结论。
协方差分析（AnalysisofCovariance）是将回归分析与方差分析结合起来使用的一种分析方法。
在这种分析中，先将定量的影响因素（即难以控制的因素）看作自变量，或称为协变量（Covariate），建立因变量随自变量变化的回归方程,这样就可以利用回归方程把因变量的变化中受不易控制的定量因素的影响扣除掉，从而,能够较合理地比较定性的影响因素处在不同水平下，经过回归分析手段修正以后的因变量的总体均数之间是否有显著性的差别，这就是协方差分析仅问题的基本思想。
只有１个定量的自变量时称为一元协方差分析、含有２个及２个以上定量的自变量时称为多元协方差分析。
２．协方差分析的模型
下面我们结合用SAS中GLM过程进行协方差分析时MODEL语句的书写方式，从实用的角度介绍处理几种常见试验设计类型资料的协方差分析的模型。
设定性的影响因素为A、B、C等,它们之间的交互作用为A*B、A*C等；定量的影响因素为X或X1、X2、…；定量的观测结果（即因变量）为Y，则有∶
（1）单因素ｋ水平设计的协方差分析模型为∶ MODELY=X A/SS3;
（2）配伍组设计的协方差分析模型为∶ MODELY=X A B /SS3;
（3）两因素析因设计的协方差分析模型为∶ MODELY=X A B A*B /SS3;
[说明] 若定量的影响因素在２个或２个以上，则可用X1X2X3等取代上述诸模型中的变量X。
另外，还需写上相应的LSMEANS语句，参见下节的SAS程序。
３．协方差分析的应用条件
理论上要求各组资料都来自方差相同的正态总体；各组的总体直线回归系数相等，且都不为０。
因此，严格地说，在对资料作协方差分析之前，应先对这两个前提条件作假设检验，若资料符合上述两个条件，或经变量变换后符合上述条件，方可进行协方差分析。
回归分析实验设计方法的发展
回归分析试验设计方法的发展
回归分析的试验设计起源于五十年代初[Box,G.E.P.&Wilson,K.B.,1951;Box,G.E.P.,1952],近三十年来出现很多设计方法,包含了相当丰富的内容[茆诗松,丁元,周纪芗和吕乃刚,1981;刘朝荣,1990]。
根据试验因素的个数和要考虑的交互作用的多少,选用一合适的正交表，将每一因素的各个水平适当地安排在表的某一列上，便得正交设计。
一般来说,对于正交设计的资料可以用直观分析（Profile Analysis）和方差分析（ANOVA）,也可用回归分析进行处理。
如果一次回归拟合得不好，则需作二次或高次回归的试验设计，所得回归方程也稍为复杂。
用正交设计获得二次回归可以采用２种不同的方法。
一是基于３水平因素全面试验的正交设计；一是基于2水平正交表的组合设计。
基于3水平因素全面试验的二次回归实际上是一种特殊的正交多项式回归，其缺点是因素较多时所要做的试验太多。
例如，3个3水平因素全面试验是27次,4个3水平因素全面试验是81次,因素个数超过4时,3水平因素全面试验次数的增加会使得试验者完全无法接受。
为了克服这一缺点，人们提出了一种基于２水平正交表的组合设计。
所谓基于2水平正交表的组合设计，或称为中心组合设计，就是在试验区域中选取３类具有不同性质的实验点，把它们适当组合起来而形成的试验设计。
回归正交设计的优点是试验次数较少、计算简单方便和消除了回归系数间的相关性，其缺点在于回归预测值的方差依赖于试验点在试验区域中的位置。
因为按回归方程求得的预测值不仅与预测点有关,而且与回归系数的方差和协方差都有关,从而与各试验点在试验区域内的位置有关。
回归预测值的方差刻划了回归方程的精度。
回归方程精度对试验点位置的依赖，使得试验者不能根据回归预测值直接寻求最优区域，因为预测值的误差随试验点在试验区域中的取法而有所不同。
所求最优区域在一种试验点取法下是有意义的，可能在另一种试验点的取法下已无一定精度保证。
回归试验的旋转设计与分析可以部分地克服上述缺点。
所谓回归的旋转设计是指，为了作回归分析所选取的试验点，能使回归预测的方差在以试验中心为原点、半径为ｐ的球面上相等的设计。
随着生产技术的发展，人们对于已有的各种各样设计，思考如下的问题：
如何比较设计的好坏？
能否构造出一定意义下的最优设计，从而获得这种意义下的最优回归方程？
回归试验的正交设计适当地减少了试验的次数并使统计计算和分析得到了简化；回归试验的旋转设计保证了试验区域中同一球面上各点的回归预测值的方差相等。
但是，它们都未涉及到从严格的统计意义上比较不同试验设计好坏和构造一定意义下的最优设计的问题。
从本世纪７０年代以来,人们对这一问题进行了系统的研究,先后提出多种比较试验设计好坏的标准，例如，A-最优性、G-最优性、E-最优性和D-最优性等。
并由此出发构造出了一系列相应的最优设计[Atkinson,.C.&Donnev,A.N.1992]。
早在第二次世界大战中,就出现了序贯设计；在我国，该方法在临床试验,药物评价,药物筛选中的应用,徐端正已有详尽的论著[徐端正,1986]。
在回归试验设计领域中的序贯设计,是针对多因素多水平问题,将中心组合设计分为几个区组按序贯安排试验,每个区组的安排都有正交性和近似的旋转性。
对于试验过程中每一区组的实验数据都要及时分析处理,一旦找到合适的回归模型,就不再继续试验[Lorenzen,TJ& Anderson,VL.,1993]。
本世纪７０年代末，我国数学家方开泰和王元将数论方法用于多因素试验设计，提出“均匀设计”[方开泰,1980]，在形式上与正交设计相似，但从理论上则是创造出了一种新的适用于多因素、多水平试验的设计方法。
正交设计为了实现“整齐可比”性,对所考察的多因素中的任意两因素而言，必须是全面试验，即每个因素的各水平必须有重复，于是试验点在其试验范围内，并不能做到充分地“均匀分散”；同时为了达到“整齐可比”性，试验点矩须比较多。
在均匀设计中，首先舍弃“整齐可比”性，让试验点在其试验范围内充分地“均匀分散”，这样每个试验点就可以有更好的代表性。
试验点的数目也可以大幅度地减少。
这种单纯从“均匀分散”性出发的试验设计称为均匀设计。
由于没有考虑“整齐可比”性和试验点少，可能使试验结果的分析误差大、不稳定。
因此，为克服这只足，在选择使用表时,可以首先考虑稳定性准则，即让所选各列对应的设计矩阵的条件数最小;其次考虑优良性准则;第三考虑均匀性准则[张学中，1992]。
以上所介绍的各种设计的共同点是把实际因素的各水平对号入座地填到现成的表中去，因而可称为“间接试验设计”。
把因素各水平的真实数值规范成为某个现有的表中的正整数，就难免有“削足适履”之嫌
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