杭州市数学中考可能考到的难题解析.docx

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杭州市数学中考可能考到的难题解析

2014年杭州市数学中考可能考到的难题解析

Ø猜题1：

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（-1，0），如图所示；抛物线

经过点B．

（1）求点B的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？

若存在，求所有点P的坐标；

若不存在，请说明理由．

答：

（1）过点B作

，垂足为D，

∵

∴

又∵

∴△

≌△

∴

=

=1，

=

=2；

∴点B的坐标为（-3，1）；

（2）抛物线

经过点B（-3,1），则得到

，

解得，所以抛物线解析式为；

（3）假设存在P、Q两点，使得△ACP是直角三角形：

①若以AC为直角边，点C为直角顶点；

则延长至点，使得，得到等腰直角三角形△，过点作,

∵1=，，；∴△≌△

∴==2,∴==1,可求得点P1（1，-1）；

经检验点P1（1，-1）在抛物线上，使得△是等腰直角三角形；

②若以AC为直角边，点A为直角顶点；则过点A作,且使得,

得到等腰直角三角形△,过点P2作，同理可证△≌△；

∴==2,==1,可求得点（2，1）；

经检验点（2，1）也在抛物线上，使得△也是等腰直角三角形.

Ø猜题2：

已知：

在Rt△ABO中，∠OAB=90°,∠BOA=30°，AB=2，若以O为坐标原点，OA所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△ABO沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处.

⑴求点C的坐标；（3分）

⑵若抛物线经过C.A两点，求此抛物线的解析式；（4分）

⑶若上述抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一动点，过P作轴的平行线，交抛物线于点M，问：

是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为很等腰梯形？

若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（5分）

答：

⑴过点C作CH⊥轴，垂足为H

∵在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2

∴OB＝4，OA＝

由折叠知，∠COB＝300，OC＝OA＝

∴∠COH＝600，OH＝，CH＝3

∴C点坐标为（，3）

⑵由抛物线（≠0）经过C（，3）、A（，0）两点，得

解得

∴此抛物线的解析式为：

⑶存在.

因为的顶点坐标为（，3）即为点C，MP⊥轴，设垂足为N，PN＝，因为∠BOA＝300，所以ON＝，∴P（，）

作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E

把代入得：

∴M（，），E（，）

同理：

Q（，），D（，1）

要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE＝QD

即，解得：

，（舍）

∴P点坐标为（，）

∴存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为（，）

Ø猜题3：

已知点A（6，0），B（0，3），线段AB上一点C，过C分别作CD⊥轴于D，作CE⊥轴于E，若四边形ODCE为正方形。

（1）求点C的坐标；

（2）若过点C、E的抛物线的顶点落在正方形ODCE内（包括四边形上），求的取值范围；

（3）在

（2）题的抛物线中与直线AB相交于点C和另一点P，若△PEC∽△PBE，求此时抛物线的解析式。

答：

（1）设直线AB的函数解析式：

则，解得

∴由题意可设C（m,m）,则有，解得

∴C（2，2）

（2）由

（1）可得E（0，2）∵抛物线的顶点在正方形内，且过C，E两点

∴,且抛物线的对称轴为∵即

∴顶点纵坐标

∴由题意得，解得

（3）∵∽

∴，∠PEB=∠ECB

过点P作PH⊥EB于点H，可知∽

∴

∴可设P（）

∵P在直线上，∴解得

∴P（），设抛物线，可知解得

∴

Ø猜题4：

（本小题满分12分）．已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P是抛物线上的一个动点．

（1）求证：

以点P为圆心，PM为半径的圆与直线的相切；

（2）设直线PM与抛物线的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：

．

答：

（1）设点P的坐标为，则

PM＝;

又因为点P到直线的距离为，

所以，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线相切．

（2）如图，分别过点P，Q作直线的垂线，垂足分别为H，R．由

（1）知，PH＝PM，同理可得，QM＝QR．

因为PH，MN，QR都垂直于直线，所以，PH∥MN∥QR，于是

，

所以，

因此，Rt△∽Rt△．

于是，从而

参考例题：

例1：

如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，连结OA，抛物线从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动．（引用）

（1）求线段OA所在直线的函数解析式；

（2）设抛物线顶点M的横坐标为m,

①用m的代数式表示点P的坐标；

②当m为何值时，线段PB最短；

（3）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【研析】：

（1）设OA所在直线的函数解析式为y=kx，

因为A（2，4），∴2k=4，k=2，

所以OA所在直线的函数解析式为y=2x；

（2）①∵顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动，

∴y=2m（0≤m≤2），∴顶点M的坐标为（m,2m），

∴抛物线函数解析式为，

∴当x=2时，（0≤m≤2），

∴点P的坐标是（2，）；

②∵PB==，又∵0≤m≤2，

∴当m=1时，PB最短；

（3）由

（2）中的②可知，当线段PB最短时，m=1，从而可知平移后抛物线的解析式为.

假设在抛物线上存在点Q，使，

设点Q的坐标为（x，）.

①当点Q落在直线OA的下方时，过P作直线PC//AO，交y轴于点C，

∵PB=3，AB=4，∴AP=1，∴OC=1，∴C点的坐标是（0，-1）.

∵点P的坐标是（2，3），∴直线PC的函数解析式为y=2x-1.

∵，∴点Q落在直线y=2x-1上，

∴=2x-1，解得，所以点Q（2，3），

∴点Q与点P重合，此时抛物线上不存在点Q，使△QMA与△APM的面积相等；

②当点Q落在直线OA的上方时，

作点P关于点A的对称称点D，过D作直线DE//AO，交y轴于点E，

∵AP=1，∴EO=DA=1，∴E、D的坐标分别是（0，1），（2，5），

∴直线DE函数解析式为y=2x+1.

∵，∴点Q落在直线y=2x+1上，

∴=.解得：

，.

代入y=2x+1，得，，

∴此时抛物线上存在点，，使△QMA与△PMA的面积相等.

综上所述，抛物线上存在点，，使△QMA与△PMA的面积相等.

【概括总结】：

动态的函数图象问题常常涉及到方程知识、坐标方法和数形结合思想.在抛物线上的存在性问题中，又经常需要用到一元二次方程的根及其判别式进行探索，先假设存在，后得出结论似乎已是解决存在性问题的基本方法.

Ø猜题1：

如图（22），点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结CP并延长，交AD于E，交BA的延长线点F．问：

（1）图中△APD与哪个三角形全等？

并说明理由．

（2）求证：

△APE∽△FPA．

（3）猜想：

线段PC、PE、PF之间存在什么关系？

并说明理由．

答：

（1）△APD≌△CPD

理由：

∵四边形ABCD菱形

　　　　∴AD=CD,∠ADP=∠CDP

又∵PD=PD

∴△APD≌△CPD

（2）证明：

∵△APD≌△CPD∴∠DAP=∠DCP

∵CD∥BF∴∠DCP=∠F∴∠DAP=∠F

又∵∠APE=∠FPA∴△APE∽△FPA

（3）猜想：

理由:

∵△APE∽△FPA

∴∴

∵△APD≌△CPD

∴PA=PC∴

Ø猜题2：

如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE．

（1）求证：

△ABC≌△EAD．

（2）若AE平分∠DAB，，∠EAC=250，求∠AED的度数．

答：

（1）证明：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD∥BC,AD=BC

∴∠DAE=∠AEB

∵AB=AE∴∠AEB=∠B,

∴∠DAE=∠B

∴△ABC≌△EAD

（2）∵∠DAE=∠BAE，∠DAE=∠AEB

∴∠BAE=∠AEB=∠B

∴△ABE为等边三角形

∴∠BAE=600，∵∠EAC=25

∴∠BAC=850

∵△ABC≌△EAD，∴∠AED=∠BAC=850

Ø猜题3：

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E.

⑴求证：

点E是边BC的中点；

⑵若EC=3，BD=，求⊙O的直径AC的长度；

⑶若以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由.

答：

⑴证明：

连接DO，

∵∠ACB=90°，AC为直径，

∴EC为⊙O的切线，

又∵ED也为⊙O的切线

∴EC=ED.

又∵∠EDO=90°

∴∠BDE+∠ADO=90°，

∴∠BDE+∠A=90°，

又∵∠B+∠A=90°

∴∠BDE=∠B，

∴EB=ED.

∴EB=EC，即点E是边BC的中点.

⑵∵BC，BA分别是⊙O的切线和割线，

∴BC2=BD·BA

∴（2EC）2=BD·BA

即BA·=36

∴BA=，（6分）

在Rt△ABC中，由勾股定理得AC===.

⑶△ABC是等腰直角三角形.

理由：

∵四边形ODEC为正方形

∴∠DOC=∠ACB=90°

即DO∥BC，

又∵点E是边BC的中点

∴BC=2OD=AC,

∴△ABC是等腰直角三角形.

Ø猜题4：

如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O2的弦相交于D，DE⊥OC，垂足为E．

（1）求证：

AD=DC．

（2）求证：

DE是⊙O1的切线．

答：

证明：

（1）连结OD，AO是直径AD=DC．

（2）连结O1D，

DE是切线．

参考例题：

例1：

全等证明

如图，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直线AE是经过点A的任一直线，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，若BD>CE，试问：

（引用）

（1）AD与CE的大小关系如何？

请说明理由．

（2）你能说明DE=BD-CE的理由吗？

【研析】

（1）∠CAE=∠ABD．

又∵AB=AC，∠ADB=∠AEC=90°，

∴△ABD≌△CAE，∴AD=CE．

（2）∵△ABD≌△CAE，∴BD=AE．

∴DE=AE-AD=BD-CE．

【归纳总结】三角形全等证明考生需要注意：

1.全等判定定理（“SSS”，“SAS”等）必须牢固掌握，同时有几条特殊线：

中位线、中垂线、中线、角平分线及垂线的概念与性质和三角形内外角关系也是考试时经常要用到的。

毛

例2：

相似证明

如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．（引用）

（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系式时，△ACP∽△PDB．

（2）当△PDB∽△ACP时，试求∠APB的度数．

【研析】

（1）在△ACP与△PDB中，∠ACP=∠PDB，PC=PD．

要想△ACP∽△PDB，则

①DB·AC=PC·PD=CD2

②=1，即BD=AC，

即满足CD2=AC·DB或BD=AC时，△ACP∽△PDB．

（2）∵△PDB∽△ACP∠APC=∠PBD．

∴∠APB=∠APC+∠CPD+∠DPB=∠PBD+60°+∠DPB=60°+60°=120°．

【归纳总结】三角形相似的证明一如全等证明一样，首先需要注意的是必须掌握几个判定，其次需要注意的是如何找到相似的那两个三角形，再次就是找准对应边和对应角，最后就是根据相似性质进行应用。

特别地，如果再运用对应变成比例书写比例等式的时候请万不能偷懒，要书写完全部的比例等式。

否则会给解题带来不便。

例如08年杭州中考卷填空题15题.

例3：

与圆相关的证明

如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A=28°．（引用）

（1）求∠ACM的度数．

（2）在MN上是否存在一点D，使AB·CD=AC·BC，说明理由．

【研析】

（1）连结BC，

∠B=62°．

MN是切线∠ACM=∠B=62°．

（2）过点B作BD⊥MN，则

△ACB∽△CNB

AB·CD1=AC·BC．

过点A作AD2⊥MN，则

△ABC∽△ACD2

CD2·AB=AC·CB

【归纳总结】圆的证明中需要注意的是圆的一些基本定理：

垂径定理、圆心角定理、圆周角定理、切线的判定定理，切割线定理、弦切角定理等这些定理的掌握，圆的证明中常常会与相似结合，所以会有一定的难度。

需得回顾下辅助线的常用几种填法！

Ø猜题1：

杭州某公司经销一种绿茶，每千克成本为元．市场调查发现，在一段时间内，销售量（千克）随销售单价（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：

．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为（元），解答下列问题：

（1）求与的关系式；

（2）当取何值时，的值最大？

（3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于元/千克，公司想要在这段时间内获得元的销售利润，销售单价应定为多少元？

答：

⑴

⑵

∴当时，的值最大．

⑶当时，可得方程

解这个方程，得，

根据题意，不合题意应舍去

∴当销售单价为元时，可获得销售利润元

Ø猜题2：

光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台。

现将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区。

两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：

每台甲型收割机的租金

每台乙型收割机的租金

A地区

1800元

1600元

B地区

1600元

1200元

（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元），求y与x间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；

（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理建议。

答：

（1）若派往A地区的乙型收割机为x台，则派往A地区的甲型收割机为（30―x）台；派往B地区的乙型收割机为（30―x）台，派往B地区的甲型收割机为（x―10）台。

∴y=1600x+1800（30―x）+1200（30―x）+1600（x―10）

=200x+74000

x的取值范围是：

10≤x≤30（x为正整数）

（2）由题意得200x+74000≥79600

解得x≥28，又10≤x≤30

∴x取28、29、30这三个值。

∴有3种分配方案

①当x=28时，即派往A地区甲型收割机2台，乙型28台；

派往B地区甲型收割机18台，乙型2台。

②当x=29时，即派往A地区甲型收割机1台，乙型29台；

派往B地区甲型收割机19台，乙型1台。

③当x=30时，即30台乙型收割机全部派往A地区；

20台甲型收割机全部派往B地区。

（3）由于一次函数y=200x+74000的y值随x增大而增大，所以

当x=30时，y取得最大值，y取大值=200×30+74000=80000元

即建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区；20台甲型收割机全部派往B地区，可使公司获得的租金最高。

Ø猜题3：

众所周知，“水乃生命之源”。

西南大旱，给当地百姓的正常生产、生活带来了极大的困扰。

一方有难，八方支援，全国各地纷纷向旱区捐款。

A市政府为提高抗旱能力，保证百姓正常生产、生活，计划从2011年开始投入800万元用于修缮，修筑水利工程，以后每年以相同的增长率投资，2013年该市计划投资1800万元．

（1）求A市投入修缮，修筑水利工程的年平均增长率；

（2）从2011年到2013年，A市三年共计划投入多少万元？

答：

（1）设年平均增长率是x，

则．

解之，得或（不合题意，舍去）．

所以年平均增长率为40%．

（2）800＋800×1.5＋1800＝3800（万元）．

A市三年共计划投入3800万元．

Ø猜题4：

某校八年级举行英语演讲比赛，拍了两位老师去学校附近的超市购买笔记本作为奖品．经过了解得知，该超市的A、B两种笔记本的价格分别是12元和8元，他们准备购买者两种笔记本共30本．

（1）如果他们计划用300元购买奖品，那么能卖这两种笔记本各多少本?

（2）两位老师根据演讲比赛的设奖情况，决定所购买的A种笔记本的数量要少于B种笔记本数量的，但又不少于B种笔记本数量的，如果设他们买A种笔记本n本，买这两种笔记本共花费w元．

①请写出w（元）关于n（本）的函数关系式，并求出自变量n的取值范围；

②请你帮助他们计算，购买这两种笔记本各多少时，花费最少，此时的花费是多少元？

答：

（1）设能买A种笔记本x本，则能买B种笔记本（30-x）本．依题意得：

12x+8（30-x）=300，解得x=15．因此，能购买A、B两种笔记本各15本．

（2）①依题意得：

w=12n+8（30-n），

即w=4n+240．且有解得≤n＜12．

所以，w（元）关于n（本）的函数关系式为：

w=4n+240，自变量n的取值范围

是≤n＜12，且n为整数．

②对于一次函数w=4n+240，∵w随n的增大而增大，故当n为8时，w值最小．此时，30-n=22，w=4×8+240=272（元）．

∴当买A种笔记本8本，B种笔记本22本时，所花费用最少，为272元

参考例题：

例1：

一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从5月1日起的50天内，它的市场售价y1与上市时间x的关系可用图（a）的一条线段表示；它的种植成本y2与上市时间x的关系可用图（b）中的抛物线的一部分来表示．（引用）

（1）求出图（a）中表示的市场售价y1与上市时间x的函数关系式．

（2）求出图（b）中表示的种植成本y2与上市时间x的函数关系式．

   （3）假定市场售价减去种植成本为纯利润，问哪天上市的这种绿色蔬菜既不赔本也不赚钱？

（市场售价和种植成本的单位：

元/千克，时间单位：

天）

【研析】

（1）设y1=mx+n，因为函数图象过点（0，5.1），（50，2.1），

∴解得：

∴

（2）又由题目已知条件可设．因其图象过点（15，3），

∴，∴【开口朝上】

∴（或）（0≤x≤50）

（1）第x天上市的这种绿色蔬菜的纯利润为：

（0≤x≤55）．

∴依题意：

即，∴，

解得：

所以从5月1日起的第9天或第35天出售的这种绿色蔬菜，既不赔本也不赚钱．

【归纳总结】函数的应用中考出题时经常会以实际问题为背景，但是其本质考的是一次函数、反比例函数、二次函数的概念、性质、图像，特别是这三个函数的解析式求解有哪几种方式，二次函数的话还需要注意韦达定理的应用。

有时候也会把函数与不等式综合起来。

实际问题通常还需要主要定义域。

参考例题：

例1：

为了了解市民对杭州交通的满意程度，采取电脑随机抽样的方式，对本市年龄在16—65岁之间的居民，进行了300个电话抽样调查，并根据每个年龄段的抽查人数和该年龄段对杭州交通感到满意的人数绘制了下面的图1和图2（部分）。

（引用）

请你根据图中提供的信息回答下列问题:

（1）被调查的居民中，人数最多的年龄段是多少岁？

（2）已知被调查的300人中有83%的人对杭州交通感到满意，请你求出21—30岁年龄段的满意人数，并补全图2；

（3）请你比较21～30岁和41～50岁这两个年龄段对杭州交通满意率的高低（四舍五入到1%）。

[注:

某年龄段的满意率=该年龄段满意人数÷该年龄段被抽查人数×100%]

第21题图

【研析】

（1）人数最多的年龄根据图1（扇形统计图）易得为：

21—30岁【比例最大】

（2）由图2（条形统计图），只需要求出满意的总人数，然后再减去其它年龄段的人数即为所求的答案，∴21—30岁满意人数为:

300×83%-（41+50+40+18+7）=93（人）【图略】

（3）21-30岁的满意率为93÷（300×39%）×100%≈79%＜40÷（300×15%）≈89%=41-50岁的满意率

【归纳总结】根据近三年杭州市中考规律分析，概率和统计的应用是必考题型，考生复习的时候必须牢固掌握扇形统计图、条形统计图及折线统计图这三类统计的概念，作图法和性质，同时概率和统计中的基本概念例如：

平均值，方差，众数，中位数等也必须牢固掌握。

复习建议以课本为主：

课本的概念，例题。

一、参考例题

例1：

尺规作图：

如图，已知线段，只用直尺（没有刻度的尺）和圆规：

（原创）

（1）求作一条线段，长度为

（2）求作一条线段，长度为（要求保留作图痕迹，不必写出作法）；

【研析】

（1）由勾股定理可得:

要作一条长度为的线段只需要构造一个直角三角形，∴只需要按如下步骤即可：

a.先作一条线段AB长度等于已知线段；

b.在B点做一条垂线，取线段BC长度等于；c.连接AC，则AC的长度即为；d.作一条线段DE长度长度AC即可。

（2）同

（1）理，只需把BC的长度取为AC然后重新构造直角三角形，那么重新得到的AC长度即为（图略）

【归纳总结】尺规作图有一下几个考法：

1.根据已知线段作另外长度要求的线段，这类提醒主要考的就是勾股定理；2.根据已知角，作另外要求的角，这个一般考得是角平分线，详见08年杭州中考数学卷3.根据已知线段，作一个特定要求的等腰三角形，这个考的是中垂线。

注意：

在尺规作图过程中，必须保留好作图痕迹。

例2：

图形的位似：

如图19，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，2），C（6，4）.以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△DEF与△ABC对应边的比为1∶2，在图中画出△DEF，并写出线段AC的中点P变换后对应的点的坐标；（引用）

【研析】根据位似变换性质（浙教版九年级上P124）：

若原图形上点的坐标为（x，y），像与原图形的位似比为k，则像上的点对应点的坐标为（kx，ky）或者（-kx，-ky），

∴只需按D（1,1）,E（2,1）,F（3,2）【由已知图像负坐标省略】作图即可；∵P的原坐标为P（4，3）【根据图像易得】，∴位似变换后P’（2，3/2）.图略.

【归纳总结】图形的位似变换只要考的就是考生对于课本定律的掌握，只需要根据定律求出变换后的坐标点，那么接下来就是根据坐标点画图了.

一、参考例题：

例1：

如图，是由几个小正方体所组成的几何体，设小正方体的棱长均为a：

（改编）

（2）画出该图的左视图

（3）计算主视野内可见部分表面积

【研析】

（1）左视图如下:

（2）∵每一个正方体都是同样大小的，所以一个面的面积是恒定的，为,而主视野内可见的面一共有16个，∴可见部分的表面积为。

【归纳总结】三视图主要考的是学生观察事物的能力，主要是几何体的空间想象能力。

三视图出题类型：

几个小正方体堆在一起，然后让考生画出三视图，计算表面积、体积或者告诉考生三视图，让考生还原并计算表面积、体积；另外的话就是圆锥的三视