椭圆与双曲线椭圆与双曲线弄混了.docx
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椭圆与双曲线椭圆与双曲线弄混了
椭圆与双曲线椭圆与双曲线弄混了
椭圆与双曲线
一、知识网络
二、高考考点
1.椭圆与双曲线的定义、国际标准方程与几何性质；
2.有关圆锥曲线的轨迹（或轨迹方程）的探求；
3.直线与单位向量的问题：
对称问题；最值问题；范围问题等；
4.圆锥曲线的探索性问题或应用问题；
5.以圆锥曲线为主要内容的综合主要用途症结；
6.数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法以及数学学科能力、一般思维能力等基本能力。
三、知识要点
（一）椭圆Ⅰ定义与推论1、定义1的的认知设M
为圆锥上任意一点，
分别为椭圆两焦点，
分别为椭圆长轴端点，则
有
（1）明朗的等量关系：
（解决双焦点半径聚焦点问题的首选公式）
（2）隐蔽的不等关系：
，
（寻求某些基本量取值范围时建立不等式的基本依据）
2、定义2的推论
根据椭圆第二描述，设
为椭圆
上任意一点，分别为椭圆左、右焦点，则有：
（d1为点M到左准线l1的距离）
（d2为点M到右准线l2的距离）
由此导出椭圆的焦点半径公式：
Ⅱ标准方程与几何性质1、椭圆的标准方程
中心在原点，焦点在x
轴上的椭圆质量标准方程①
中心在原点，焦点在y
轴上的椭圆标准方程
②
（1）标准方程①、②中的a、b、c
具有相同的意义与相同的联系：
（2
）标准方程①、②统一形式：
2
、椭圆的几何性质
（1
）范围：
（有界曲线）
（2）对称性：
关于x轴、y轴及原点对称（两轴一中心，椭圆的共性）
（3
）顶点与轴长：
顶点予a、b名称与几何意义）
，长轴2a，短轴2b（由此赋
（4
）离心率：
（5）
刻画圆形的扁平程度
准线：
左焦点
对应的左准线
右焦点
对应的右准线
椭圆共性：
若两准线垂直于长轴；两准线之间的距离为
；
中心到准线的距离为
Ⅲ挖掘与引申
；焦点到相应准线的距离为.
1、最能体现特殊联系的椭圆的方程
（1
）共焦距的椭圆的方程
且
（2
）同离稳态的椭圆的方程
且
2、弦长公式：
设斜率为k的直线l
与椭圆交于不同两点
则
；
，
或
（二）双曲线Ⅰ、定义与推论1．定义1的认知
。
设M
为双曲线上为任意一点，点，则有：
（1）明朗的等量关系：
（2）隐蔽的不等关系：
2．定义2的推论
分别为双曲线两焦点，分别为双曲线实轴端
（解决双焦点宽度问题的间距首选公式）
，
（某些基本量的取值范围时建立不等式的依据）
设右焦点，则有
为双曲线
上任意上点，分别为双曲线左、
，其中，为焦点
到相应准线li
的距离
推论：
焦点半径公式当点M
在双曲线右支上能时，当点M
在双曲线左支上能时，
Ⅱ、标准方程与二维性质3．双曲线的标准公式
；
。
中心在原点，焦点在x
轴上的双曲线标准常数为
①
中心在原点，焦点在y
轴上的抛物线标准方程为
（1）标准方程①、②中的a、b、c
具有相同的意义与相同的联系：
（2
）标准方程①、②的统一形式：
②
或：
（3
）椭圆椭圆与圆锥标准方程的统一形式：
4
．双曲线（1
）范围：
的几何性质
（2）对称性：
关于x轴、y轴及原点对称（两轴一中心）
（3）顶点与轴长：
顶点
（由此赋予a,b名称与几何意义）
（4
）离心率：
（5）
准线：
左焦点
对应的左准线
；右焦点
对应的右准线
双曲线共性：
准线垂直于实轴；
两准线间距离为；
中心到准线的距离为
；
焦点到相应准线的距离为
（6
）渐近线：
双曲线的渐近线方程：
Ⅲ、挖掘与延伸
1．具有特殊有著联系的双曲线的方程
或：
（3
）圆形椭圆与双曲线标准方程的统一形式：
4
．双曲线（1
）范围：
的几何性质
（2）对称性：
关于x轴、y轴及原点对称（两轴一中心）
（3）顶点与轴长：
顶点
（由此赋予a,b名称与几何意义）
（4
）离心率：
（5）
准线：
左焦点
对应的左准线
；右焦点
对应的右准线
双曲线共性：
准线垂直于实轴；
两准线间距离为；
中心到准线的离为
；
焦点到相应准线的距离为
（6
）渐近线：
双曲线的渐近线方程：
Ⅲ、挖掘与延伸
1．具有例如联系的双曲线的方程
对于双曲线（※）
（1）当λ+μ为定值时，（※）为共焦点的双曲线（系）方程：
c2=λ+μ;
（2）
当
为定值时，（※）为共离心率亦为共淅近线的双曲线（系）方程：
；
（3
）以直线为渐近线的双曲线（系）方程为：
特别：
与双曲线
（左边相同，区别却仅在于右边的常数）
2．弦长公式
设斜率为k的直线l
与双曲线退还于不同两点
一共共渐近线的双曲线的方程为：
则
经典例题1、
（1）若椭
圆。
的一个焦点是（-2，0），则a等于
（2
）已知椭圆
的焦点为F1、F2，点P
是其上的动点，当
为钝角时，
点P的横坐标的取值范围为。
分析：
（1）从此椭圆的标准方程切入。
由题设知已知得：
这里
由此解得
（2）这里a=3,b=2,c=
①
∴以线段F1F2
为厚度的圆的方程为
设
又由∴
，则由点P
在椭圆上得：
为钝角得：
②
∴
由①、②联立，解得：
∴所求点P
曲线图的取值范围为
点评：
注意到点P对
的大小的影响可用点P
与圆
推出
相对位置关系来反
的范围，请爸爸妈妈尝试和比
映，故选择这一解法。
当然，本题亦可由较。
2、
已知
为椭圆的两个焦点，过
的直线交椭圆于P、Q
两点，
且
，求椭圆的离心率。
分析：
不防设椭圆方程为，为等腰直角三角形，注意
到这一三角形含有两点P、Q处与的两条焦点半径，通过故想到利用椭圆第一定义构建有关方程。
解：
设椭圆方程为
设
，则由
为等腰
得：
又由椭圆第一定义得
∴
∴
即
注意到∴
∴
即
的周长为4a
①为
，
②②′
因此，①代入②′得
由此解得∴
点评：
这里对条件运用颇为充分：
两次运用球状定义，第一次用于导出①，第二项用于导
出②；两次运用用
为
条件：
第一次利用
为等腰
表示出
，第二次利
导出②′。
充分利用题设条件，也是解题成功的保证之一。
3、
已知双曲线
，
成等比数列且
的左、右两个焦点为
，求双曲线方程。
，P
为双曲线上的点，又
分析：
这里要求b
的值。
注意到的定理或不等式。
由题设得
，为了求b，首先要从题设条件入手寻找关于b，为便于将其设为关于b的方程，考虑推导并利
用双曲线的焦点问题半径公式。
因此，解题便以判定点P位置拉开序幕。
解：
这里
∵
，即
（4的特殊性），
∴点P在双曲线右支上
设点
，则由双曲线第二定义以及点P在双曲线右支上以得
又由题设得∴
①代入②得
再注意到由∴
∴
即
于是③、④得而
①
②
③
得，
④
⑤
，所以由⑤得b=1
因此，所求双曲线方程为：
点评：
这里对已知条件
的两次运用：
第一次“粗”用，利用4=2a的特殊性判定点P
（将4作为一般正数）导出点P横坐标存在的
在双曲线右支上；第二次“细”
用，利用
范围：
。
粗细结合，将如上所述条件运用得建构酣畅淋漓。
4、
设椭圆
的焦点为，P为椭圆上一点，的最大
值为。
（1）求椭圆的离心率；
（2）设直线l与椭圆交于M、N两点，且直线l与圆心在原点，半径等于b的圆相切，已知线段MN长度的最大值为4，求椭圆方程和直线l的方程。
分析：
中
的最大值为
的最小值为
，循着特殊
的最小值切
相辅相成与一般相互依存的辩证关系，想到从在入。
解：
（1
）设
则在
=，中由余弦定理得
，
中会运用余弦定理推导
，
即①
∴
的最小值为
又由题设知
的最大值，即
的最小值为
∴
∴
即a=2b
∴
（2）由已知椭圆方程为
②
由题设知直线l不垂直于x轴设直线l
的方程为
设
则由直线l
与圆
将③代入②得：
∴
④代入⑤得
相切得：
⑤
④
③
∴直线l与椭圆交叉点于不同两点
又由韦达定理得：
∴
，
⑥
∴
（当且仅当
的最大值为2b
（当
时取得）（此时
，即时等号成立）
∴由题设得
）⑦
∴a=2b=4⑧
进而由④得
，即
⑨
因此，由⑦、⑧、⑨得所求椭圆方程为直线l的方程为
或
，
点评：
这里导出的①式为此类问题的共同理论指导：
设P为椭圆上任
意一点，
，则最小值为
据此
若
的最大值为
，则（即）；
若
的最大值为
，则
（即）；
若
的最大值为
，则
（即）。
5、已知斜率为1的直线l
与离心率为两点，又直线l与y轴交于点R
，且
的双曲线
，
交于P、Q
，求直线和双曲线方程组。
分析：
主要借力已知条件借助向量表出，故主要问题是认知主要就已知条件，进而根据问题的具体情况或进行推理或转化。
解：
由
得
，
①
，直线l
的方程为
②
∴双曲线方程为
设
将②代入①得
对于方程③，
③恒成立
由韦达定理得
∵
∴
即
④⑤
由此得
又由题设得
，故得
⑥
∴
由④、⑥联立解得
将⑦代入⑤得
再注意到
∴
将⑦、⑧代入⑨得
解得∴
，
⑦
⑧得
⑨
⑩
因此，由①，②得所求双曲线定理为
所求直线方程为
点评：
，
（Ⅰ）关于此类直线与圆锥曲线相交的风险问题，对于交点坐标系的处置适当与否，成为程式设计繁简成败的关键。
于是，围绕着对交点月面的“解”与“设”的应用选择，产生出解题策略：
解而不设与设而不解；“既设又解”与“不设不解”。
在这里，我们对交点P、Q的坐标运用的是“既设又解”，
请同学们警觉品悟这里“解”的分寸的把握。
（Ⅱ）这里解题的层次分明，已知式一转化一代入一结论：
已知式（
已知式（
6、
已知
，
）→转化→代入→结论⑧；
）→转化→代入→结论⑩。
同学们应注意学习这样与追求这种解题的明晰与漂亮。
（1）求点P（x，y）的轨迹C的轨迹方程；
（2）
若直线试求m的取值范围。
分析：
对于
（1），从已知条件入手，利用表示向量的坐标表示需要进行推理；
对于
（2），此类关于直线与圆锥曲线的比较复杂的问题，要刻意向基本的弦中点或弦长问题转化。
解：
（1
）由已知得∴
由
得
，
与曲线C交于A、B两点，D（0，-1），
且有
，
，得
∴所求点P的轨迹C
的方程为：
（2
）设
则将l的方程代入①得
，弦AB的中点
①
，
②
由题意得③
且
④
∴
即中点M
的坐标为
注意到
点D在弦AB的垂直平分线上
∴
∴
于是将⑤代入③得（，且
，且
））⑤或⑥
此时再注意到由⑤得
（关于k的二次函数隐含范围的发掘）⑦
于是由⑥、⑦所求m的取值范围
点评：
（1
）认知已知条件，这时将其向基本的弦长或弦中点转化，这是解决直线与圆锥曲线复杂问题的基本水平线思路之一；
（2）注意在寻求参数的取值范围的过程中，对所使用的二次函数等有关函数的用到值域的发掘与运用：
在这里，为k
的二次函数，又由这里，故。
因此
可解关于k的二次函数m的取值范围：
知这一些，便会导出。
这是本题导出正确结果的最后的屏障，不认
的错误结果。
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