双曲线学案.docx
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双曲线学案
§2.2.1双曲线的标准方程
（1）
【学习目标】
学习要求：
1、理解双曲线的定义；
2、掌握双曲线的标准方程及其推导方法；
3、能根据已知条件求双曲线的标准方程，根据标准方程求a、b、c焦点。
高考要求：
理解掌握双曲线的定义及标准方程，熟练运用。
【学习过程】
（一）问题情境
我们前面一起研究学习了圆锥曲线中的椭圆的定义、标准方程及其几何性质。
今天我们继
续研究学习。
我们来看一个拉链实验，它体现了我们学习过的圆锥曲线的特征？
它的定义
是什么？
用数学式子表达,当2a=|FiF2|时它
的轨迹是当2a>|FiF2|时它的轨迹是
（二）学生活动
如何推导双曲线的标准方程呢？
可否类比求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程呢？
请同学们自己尝试推导焦点在x轴上双曲线的标准方程.
焦点在x轴上双曲线的标准方程
类比：
写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程
阅读课本第34页完善自己的推导过程
我们来观察一下双曲线的标准方程与椭圆的方程比较，有什么区别？
椭圆
双曲线
定义
方程
焦占
八'、八、、
a、b、c的关系
在双曲线的标准方程中，根据确定其焦点在
哪个坐标轴上。
（三）数学应用
例1：
请判断下列方程哪些表示双曲线？
若是，请求出a、b、c和它的焦点坐标。
（1）
=1
2
x
（2）
2
（3）16x2—9y2=144
22
⑷-4x-3y--1
4
22
xy「c、
（5）2—r1（m=0）
mm+1
变式运用：
22
已知X.y=1表示双曲线，求k的取值范围。
1k1-k
22
创新运用：
方程必y1表示
9—kk—3
A.椭圆B•圆C•双曲线B•椭圆或圆或双曲线
x2y2
知识归纳：
形如1的方程所表示的曲线形状由mn确定。
mn
若，方程表示圆；若，方程表示椭圆;
若，方程表示双曲线。
（四）回顾反思
1、思想方法：
2、知识体会：
3、要点回顾：
（1）焦点在Y轴上的双曲线的方程是
（2）椭圆的焦点由
决定；双曲线的焦点由决定。
（3）在双曲线的标准方程中a,b,c的关系是。
22
（4）方程Ax-By1表示双曲线的充要条件是
（五）课后作业
1、复习课本45—48页，巩固当天所学，将知识系统化;
2、课本第54页习题2.2
（1）第1、5题。
§2.2.1双曲线的标准方程
（2）
【学习目标】
1、进一步理解双曲线的定义和标准方程；
2、能根据给定条件求出双曲线的标准方程。
［知识回顾］
1、双曲线的定义：
2、双曲线的标准方程：
［问题探究］
例2、已知双曲线两个焦点分别为Fi-5,0，F25,0，双曲线上一点P到Fi，F2距离的
差的绝对值等于8,求双曲线的标准方程.
变式一：
已知两点Fi（-5,0）、F2（5,0），动点P到F1和P到F2的距离的差等于8,求动点P的轨迹.
变式二：
已知两点Fi（-5,0）、F2（5,0），动点P到F1,F2距离的差的绝对值等于10,求
动点P的轨迹.如果动点P到F1,F2距离的差的绝对值等于12,点P会出现什么情形？
例3、求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）a=3,b=4，焦点在坐标轴上；
（2）a=2-.5，经过点A（2,-5）,焦点在y轴上；
4J3
⑶过点M（,1）和N（4,—3）。
3
变式练习
（1）焦点在X轴上，a=4,b=3;
（2）
焦点为（0，—6），（0，6），且过点（2，—5）。
（一忑J3）,（届厢
（3）焦点在x轴上，过点3。
例4、相距2000m的两个哨所A,B,听到远处传来的炮弹爆炸声。
已知当时声速是330m/s,
在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所听到时晚4s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并
求出曲线的方程。
（四）回顾反思
思想方法：
知识体会：
（五）课后作业
1、复习课本45—48页，巩固当天所学，将知识系统化；
2、课本第54页习题2.2
（1）A组2题,B组2题。
［学习目标］
1掌握双曲线标准方程中a、b、c、e之间的关系；
2、了解双曲线的渐近线的概念和证明；
3、尝试用对比的方法分析双曲线的范围、对称性、顶点离心率等几何性质。
［问题引导，自我探究］
22
（1）以双曲线标准方程务-当=1为例进行说明。
ab
1、范围：
观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：
双曲线在两条直线
x二a的外侧。
注意：
从双曲线的方程如何验证？
2、对称性：
是双曲线的对称轴，
的对称中心叫做。
3、顶点：
双曲线和x轴有两个交点是
22
是双曲线笃_与=1的对称中心，双曲线
ab
，他们是双曲线
x2
=1的顶点。
4、渐近线：
.
5、双曲线的离心率是。
说明：
①由c>a>0可得:
②双曲线的离心率越大，它的。
6、叫做等轴双曲线；等轴双曲线的渐近线
是;离心率是。
x2
b2
=1（a0,b0）
的几何性质
［问题探究］
1、求双曲线9y2-16x2=144的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程。
2、根据下列条件，写出双曲线的标准方程
（1）中心在原点，一个顶点是（0,6），且离心率是1.5.
22
⑵与双曲线xy1有公共焦点，且过点3.2,2;
164
22
⑶以椭圆△y1的长轴端点为焦点，且过点P4..2,3;
259
⑷双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为2,且过点4,-10.
［当堂检测］
1.双曲线mX+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=
2222
2.双曲线务-与=1和椭圆令岂=1（a>0,m>b>0）的离心率互为倒数，那么以
abmb
a,b,m为边长的三角形是三角形.
22
3.双曲线—1的渐近线方程是（）.
9
4
A.3
A.yx
2
2
4.双曲线—
4
A（=,0）
2
B.yx
3
94
C.yxD.yx
49
5.若方程
2
X
m-3
2
=1的离心率
k
B.（-3,0）
2
y1表示焦点在y轴上的双曲线，则m的范围是
e（1,2），则k的取值范围是（）.
C-（-12,0）
D.（-60,-12）
回顾反思
课后作业
课本第54页习题2.2
（1）A组3,4题,B组1题。
一、［学习目标］
1.了解双曲线的渐近线的概念和方程。
2.能根据双曲线的简单几何性质求双曲线的标准方程。
二、［知识回顾］
1、双曲线的定义与标准方程：
2、双曲线的简单几何性质：
3、渐近线为mx二ny=0的双曲线的统一方程为：
。
三、［问题探究］
1、根据下列条件，求双曲线的标准方程。
22
（1）与双曲线—-y1有共同渐近线，且过点（-3，2•.一3）；
916
22
（2）与双曲线Xy1有公共焦点，且过点（3、.2，2）；
164
（3）与双曲线x2—2y2=2有公共渐近线，且过点M（2,—2）;
（4）经过点15,3，且一条渐近线方程为4x•3y=0。
U1丿
2、已知双曲线方程为
2
x
2
a
古"（a0，b0）的左、右两焦
点F1>F2,P为双曲线右支上的一点，
PF1
37
1312
3「F1PF2的平分线交x轴于Q.L°，求双曲线方程.
四、反思与小结
五、［反馈训练］
22
1.双曲线—
y
=1的渐近线方程是（
）。
4
9
3
厂2
c9
4
A.y=
-x
B.yx
C.yx
D.yx
2
3
4
9
1
2.双曲线的渐近线方程为八一2X，且焦距为10，则双曲线方程为（
2
Ax-
2
-y=1
2
B.x
2
y.
2
=1或x
20
5
5
20
0
2
=1C.
=1
D.
3.双曲线
x
Vy
=1的两个焦点,
点P在双曲线上,
20
20
且.RPF2=60，则厶F1PF2的面积
）。
是（
c.J3
B.』
4
4.与圆（x⑶2•y2=1及圆（x-3）2•y2=9都外切的圆的圆心轨迹方程为
22
5.
AB是双曲线左支上过点F）的弦，
如果F1，F2分别是双曲线沁「的左、右焦点，
且AB=6，贝V△ABF2的周长是
22
6.双曲线—-—1的左支上的P点到右焦点的距离为9,则点P的坐标为
169
22
7.过点（0,3）作直线l，如果它与双曲线xy1有且只有一个公共点，则直线l的条
43
数是。
222双曲线的几何性质（5）
一、知识目标
1、进一步理解双曲线的定义和性质。
2、了解双曲线的第二定义。
3、能根据定义和性质求解简单的双曲线问题。
二、问题探究
1、已知动圆M与圆C:
（x+4）2+y2=2外切，与圆C2:
（x-4）2+y2=2内切，求动圆圆心M的轨迹方程.
165
2、点M（x,y）到定点F（5,0）的距离和它到定直线|:
x的距离的比是常数，求点M
54
的轨迹。
小结：
双曲线的第二定义：
。
、、^x2y2
变式练习：
设r、f2分别为双曲线1的左、右焦点，i为左准线，pxO）,y0为
45
双曲线左支上一点，P点到l的距离为d，已知d，PF1，PF2成等差数列，求怡的值
3、已知双曲线的中心在原点，焦点Fi、F2在坐标轴上，离心率为.2,且过点P
（4,-jo）.
（1）求双曲线方程；
（2）若点（3,m在双曲线上，求证：
MF!
・MF2=0;
（3）求厶FiMF的面积.
4、（重庆卷文21）如题（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点,
1
2
PM
n）设d为点P到直线1
x=的距离，若
PM
=2
PN
求・
-的值
2
d
动点P满足：
|PM—PN|=2.（I）求点P的轨迹方程；
22
Xy
5、（湖北卷文20）已知双曲线C:
二2-1（a0,b0）的两个焦点为
ab
F:
（-2,0）,F:
（2,0）,点P（3,、、7）的曲线C上.（I）求双曲线C的方程；（n）记O为坐标
原点，过点Q（0,2）的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若厶OEF勺面积为2、,2,求
直线l的方程
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