第二章++建立过程的数学模型pptConvertor.docx
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第二章++建立过程的数学模型pptConvertor
第2章建立过程的数学模型
2.1过程模型概述
2.2机理法建模
2.3测试法建模
本章小结
2.1过程模型概述
2.1.1被控过程的动态特性
在过程控制中，被控对象是工业生产过程中的各种装置和设备，例如换热器、工业窑炉、蒸汽锅炉、精馏塔、反应器等。
被控变量通常是温度、压力、液位、成分等。
被控对象内部所进行的物理、化学过程可以是各式各样的，但是从控制的观点看，它们在本质上有许多相似之处。
在生产过程中，控制作用能否有效地克服扰动对被控变量的影响，关键在于选择一个可控性良好的操作变量，这就要对被控对象的动态特性进行研究。
1．被控过程的分析
数学模型有静态和动态之分。
静态数学模型是输出变量和输入变量之间不随时间变化的数学关系。
动态数学模型是过程输出变量和输入变量之间随时间变化动态关系的数学描述。
过程控制中通常采用动态数学模型，也称为动态特性。
2．被控过程的特点
1）对象的动态特性单调不振荡
对象的阶跃响应通常是单调曲线，被控变量的变化比较缓慢。
2）大多被控对象属于慢过程
大多被控对象具有很大的储蓄容积，或者由多个容积组成，对象的时间常数比较大，变化过程较慢。
3）对象动态特性的延迟性
主要来源是多个容积的存在，容积的数目可能有几个直至几十个。
容积愈大或数目愈多，容积延迟时间愈长。
有些被控对象还具有传输延迟。
由于延迟的存在，调节阀动作的效果往往需要经过一段延迟时间后才会在被控变量上表现出来。
4）被控对象的自平衡与非自平衡特性
有些被控对象，当受到扰动使原来的平衡遭到破坏，不外加任何控制作用，依靠对象本身，能自动稳定在新的平衡点上。
这种特性称为自平衡，具有这种特性的被控过程称为自平衡过程。
如图2-1中的单容水槽,其阶跃响应如图2-2所示。
当进出水阀开度不变，液位不变；当出水阀开度不变，进水阀开大，液位上升，水槽内水的静压力增大，出水增大。
自平衡过程单容水槽
也有一些被控对象，例如图2-3中的单容积分（因为传递函数是积分环节，后面有分析）水槽，当进水调节阀开度改变致使物质或能量平衡关系破坏后，不平衡量不因被控变量的变化而改变，因而被控变量将以固定的速度一直变化下去而不会自动地在新的水平上恢复平衡。
这种对象不具有自平衡特性，具有这种特性的被控过程称为非自平衡过程，其阶跃响应如图2-4所示。
5）被控对象往往具有非线性特性
严格来说，几乎所有被控对象的动态特性都呈现非线性特性，只是程度上不同，如许多被控对象的增益就不是常数。
除存在于对象内部的连续非线性特性外，在控制系统中还存有另一类非线性，如调节阀、继电器等元件的饱和、死区和滞环等典型的非线性特性。
在过程控制系统工程中，往往把被控对象、测量变送装置和调节阀三部分串联在一起统称为广义被控对象，因而它包含了这部分非线性特性。
2.1.2数学模型的表达形式与要求
研究被控过程的特性，就是要建立描述被控过程特性的数学模型。
广义上说，数学模型是事物行为规律的数学描述。
根据所描述的是事物在稳态下的行为规律还是在动态下的，数学模型有静态模型和动态模型之分。
这里只讨论工业过程的数学模型特别是它们的动态模型。
工业过程动态数学模型的表达方式很多，其复杂程度可以相差悬殊，对它们的要求也是各式各样的，这主要取决于建立数学模型的目的，以及它们将以何种方式加以利用。
1．建立数学模型的目的
在过程控制中，建立被控对象数学模型的目的主要有以下几种：
（l）设计过程控制系统
确定控制方案、分析质量指标等以数学模型为依据。
（2）控制器参数的整定和系统的调试
控制器参数的整定以数学模型为基础。
（3）利用数学模型进行仿真研究
在计算机系统上仿真计算、分析，降低试验成本。
（4）进行工业过程优化
有了确定的被控对象数学模型，才可以着手系统优化问题。
2．被控对象数学模型的利用方式
被控对象数学模型的利用有离线的和在线的两种方式。
过去被控对象数学模型只是在进行控制系统的设计研究时或在控制系统的调试整定阶段中发挥作用，这种利用方式是离线的。
近十多年来，由于计算机的发展和普及，相继推出一类新型计算机控制系统，其特点是要求把被控对象的数学模型作为一个组成部分放入控制系统中，如预测控制系统。
这种利用方式是在线的，要求数学模型具有实时性。
3．对被控对象数学模型的要求
工业过程数学模型的要求因其用途不同而不同，总的来说是既简单又准确可靠，但这并不意味着愈准确愈好，应根据实际应用情况提出适当的要求。
超过实际需要的准确性要求必然造成不必要的浪费。
在线运用的数学模型还有一个实时性的要求，它与准确性要求往往是矛盾的。
一般说来，用于控制的数学模型并不一定要求非常准确。
因为闭环控制本身具有一定的鲁棒性，对模型的误差可视为干扰，而闭环控制在某种程度上具有自动消除干扰影响的能力。
4.建立数学模型的依据
要想建立一个好的数学模型，要掌握好以下主要的信息源。
（1）要确定明确的输入量与输出量
（2）要有经验知识
（3）试验数据
5．被控对象数学模型的表达形式
被控对象的数学模型可以采取各种不同的表达形式，主要可以从以下几个方面加以划分：
（l）按系统的连续性划分为：
连续系统模型和离散系统模型。
（2）按模型的结构划分为：
输入输出模型和状态空间模型。
（3）输入输出模型又可划分为：
时域表达（阶跃响应，脉冲响应）和频域表达（传递函数）。
6.被控过程传递函数的一般形式
根据被控过程动态特性的特点，典型工业过程控制所涉及被控对象的传递函数一般具有下述几种形式：
①一阶惯性加纯延迟
（2-1）
②二阶惯性环节加纯延迟
（2-2）
③n阶惯性环节加纯延迟
（2-3）
或
式中，n=n1+α，n1为整数，α为小数。
④用有理分式表示的传递函数
（2-4）
上述4个公式只适用于自衡过程。
对于非自衡过程，其传递函数应含有一个积分环节，即
（2-5）
和
（2-6）
2.1.3建立过程数学模型的基本方法
建立过程数学模型的基本方法有两个，即机理法和测试法。
1．机理法建模
用机理法建模就是根据生产过程中实际发生的变化机理，写出各种有关的平衡方程。
如：
物质平衡方程；能量平衡方程；动量平衡方程；以及反映流体流动、传热、传质、化学反应等基本规律的运动方程；物性参数方程和某些设备的特性方程等，从中获得所需的数学模型。
把研究的过程视为一个透明的匣子，也叫白箱模型。
机理法建模的主要步骤：
（1）根据过程的内在机理，写出有关的平衡方程式；
（2）消去中间变量，建立状态变量、控制变量、输出变量之间的关系；
（3）在工作点附近对方程进行增量化，建立增量化方程；
（4）在工作点附近进行线性化处理，简化过程特征；
（5）列出状态方程和输出方程。
（本课程不涉及状态变量）
2．测试法建模
测试法一般只用于建立输入输出模型。
它是根据工业过程的输入和输出的实测数据进行某种数学处理后得到的模型。
它的主要特点是把被研究的工业过程视为一个黑匣子，完全从外特性上测试和描述它的动态性质，因此不需要深入掌握其内部机理。
为了有效地进行这种动态特性测试，仍然有必要对过程内部的机理有明确的定性了解，例如究竟有哪些主要因素在起作用，它们之间的因果关系如何等。
用测试法建模一般比用机理法建模要简单和省力，尤其是对于那些复杂的工业过程更为明显。
如果机理法和测试法两者都能达到同样的目的，一般采用测试法建模。
2.2机理法建模
（此处注意区分：
绝对量、增量、相对量的概念及输入量）
以上对被控对象的动态特性进行了简要的定性分析。
下面将通过机理法建模对几个简单的例子进行具体分析，以便使一些概念进一步明确。
2.2.1单容对象的传递函数
在不同的生产部门中被控对象千差万别，但最终都是可以由微分方程来表示的。
微分方程阶次的高低是由被控对象中储能部件的多少决定的。
最简单的一种形式，是仅有一个储能部件的单容对象。
1．单容液位对象
单容液槽如图2-5所示。
不断有液体流入槽内，同时也有液体不断由槽中流出。
流入量由调节阀开度加以控制，流出量则由用户根据需要通过负载阀来改变。
被控变量为液位H，它反映液体的流入量与流出量之间的平衡关系。
分析液位在调节阀开度扰动下的动态特性。
图2-5单容液槽
对于上述液槽而言，在起始稳定平衡工况下，有，。
在流出侧负载阀开度不变的情况下，当进液体阀开度发生阶跃变化时，若进出液体流量的变化量分别为
则在任何时刻液位的变化均满足下述物料平衡方程：
V为储槽体积，为液体密度。
公式表示流入储槽的液体质量与流出储槽液体质量之差在动态情况下等于储槽储存液体质量的变化率。
Q为体积流量。
（2-7）
假设储槽底面积为A，常数，上式变为：
（2-8）
对于流出侧的负载阀，其流量与液槽的液位高度有关，公式如下，R表示阀门液阻。
（2-9）
比照物理中电流强度的定义，电流等于电压U与电阻R之比。
上式的物理含义：
推动力是液位高度，阻力是出口阀门的液阻。
将（2-9）式带入（2-8）式中，令AR=T，R=K，得到如下变换。
储槽底面积越大，对液体的容量越大，相同流量的改变造成的液位改变越小。
T也可理解为时间常数，T越大，Qi改变后液位H达到新的稳态的过渡过程时间越长。
（此处建立的是以液位高度为输出、液体流入量为输入的传递函数）
（2-10）
式（2-10）是最常见的一阶惯性系统，它的阶跃响应
是指数曲线，如图2-6所示。
图2-6单容液槽液位的阶跃响应
2.具有纯迟延的单容液位对象（输入量为阀的开度）
对于如图2-7所示的单容液槽，它与图2-5不同是输入调节阀距入槽有一段较长的距离。
因此该调节阀开度变化所引起的流入量变化，需要经过一段传输时间才能对槽液位产生影响。
图2-7具有纯迟延的单容液槽
对于上述液槽而言，在起始稳定平衡工况下，有，。
在流出侧负载阀开度不变的情况下，当进水阀开度发生阶跃变化时，若进入流量和流出流量的变化量分别为
则在任何时刻液位的变化均满足下述物料平衡方程：
（液体密度省略）（参看教材P197）
（2-11）
当流入阀前后压差不变时，与成正比关系，即（为阀门特性常数）
（2-12）
对于流出侧的负载阀，其流量与液槽的液位高度有关，即（k为与输出阀有关的常数）
（2-13）
式（2-11）是一个非线性微分方程。
这个非线性给下一步的分析带来很大的困难，应该在条件允许的情况下尽量避免。
如果液位始终保持在其稳态值附近很小的范围内变化，那就可以将上式加以线性化。
如考虑液位只在其稳态值附近的小范围内变化，故由式（2-13）可以近似认为
则（2-14）
将式（2-12）和式（2-14）代入式（2-11）中得
或
（2-15）
如果假设系统的稳定平衡工况在原点，即各变量都以自己的零值（）为平衡点，则可去掉上式中的增量符号，直接写成
（2-16）
根据式（2-15）可得液位变化与阀门开度变化之间的传递函数为
（2-17）
其中，，
参照式（2-15）的推导关系式，可得具有纯迟延的单容液槽的微分方程为
（2-18）
其中，为纯迟延时间；其它参数定义同上。
对应式（2-18）的传递函数为
（2-19）
与式（2-17）相比多了一个纯延迟环节。
3．单容积分液槽
单容积分液槽如图2-8
所示，它与图2-5中的单容液
槽只有一个区别，在它的流
出侧装有一只泵。
在图2-8中，泵的排量仍然可以用负载阀R来改变，但排量并不随液位高低而变化。
这样，当负载阀开度固定不变时，液槽的流出量也不变，储槽液位与出口流量无关。
由此可以得到液位与液体流入量Qi的变化规律为：
或（t较小时）
图2-8单容积分液槽
根据上式可得液位变化与流入量变化之间的传递函数为
（2-20）
式（2-20）代表一个积分环节，它的阶跃响应
（2-21）
为一条直线，如图2-9所示。
图2-9单容积分液槽液位的阶跃响应
2.2.2多容对象的传递函数
以上讨论的是只有一个储能部件的对象，实际对控过程往往要复杂一些，即具有一个以上的储能部件。
1．双容水槽
对于如图2-10
所示的双容水槽。
图2-10双容水槽
根据图2-10可知，水槽1和水槽2的物料平衡方程分别为
水槽1：
（2-22）
水槽2：
（2-23）
假设调节阀均采用线性阀，则有
；；（2-24）
将式（2-24）代入式（2-22）和式（2-23）中，消去中间变量后可得
（2-25）
其中，；；
对应式（2-25）的传递函数为
由式（2-26）可知，双容水槽为一个
二阶系统，其阶跃响应如图2-11所示。
图2-11双容水槽的阶跃响应
若双容水槽的进水调节阀距入槽也有一段较长的距离。
也就是说该调节阀开度变化所引起的流入量变化也需要经过一段传输时间才能对水槽液位产生影响。
则其对应的传递函数为
（2-27）
2．无自平衡能力的双容水槽
无自平衡能力的双容水槽如图2-12所示，它与图2-10中的有自平衡能力的双容水槽只有一个区别,在水槽2的流出侧装有一只排水泵。
此时水槽1和水槽2的物料平衡方程分别为
水槽1：
（2-28）
水槽2：
（2-29）
其中，；（2-30）
将式（2-30）代入式（2-28）和式（2-29）中，整理后得
（2-31）
其中，；。
对应式（2-31）的传递函数为
（2-32）
式（2-32）对应的阶跃响应如
图2-13所示。
图2-13无自平衡能力双容水槽的阶跃响应
3．具有相互作用的双容水槽
对于如图2-14所示的双容水槽，两个水槽串联在一起，每个水槽的水位变化都会影响另一个水槽的水位变化。
另外，由于它们之间的连通管路具有一定的阻力，因此两者的水位可能是不同的。
图2-14具有相互作用的双容水槽
根据图2-14可知，水槽1和水槽2的物料平衡方程分别为
水槽1：
（2-33）
水槽2：
（2-34）
其中，；
（2-35）
将式（2-35）代入式（2-33）和式（2-34）中，消去中间变量后可得
（2-36）
其中，；；；
对应式（2-36）的传递函数为
（2-37）
（补充介绍教材的推导过程P153）
2.3测试法建模
对于某些生产过程的机理，人们往往还未充分掌握，有时也会出现模型中有些参数难以确定的情况。
这时就需要用实验测试方法把数学模型估计出来。
2.3.1对象特性的实验测定方法
许多工业对象内部的工艺过程复杂，使得按对象内部的物理、化学过程寻求对象的微分方程很困难。
工业对象通常是由高阶非线性微分方程描述的复杂对象，因此对这些方程式也较难求解。
根据加入的激励信号和结果的分析方法不同，测试对象动态特性的实验方法也不同，主要有以下几种：
（1）测定动态特性的时域方法
该方法是对被控对象施加阶跃输入，测绘出对象输出变量随时间变化的响应曲线，或施加脉冲输入测绘出输出的脉冲响应曲线。
由响应曲线的结果分析，确定出被控对象的传递函数。
这种方法测试设备简单，测试工作量小，因此应用广泛，缺点是测试精度不高。
（2）测定动态特性的频域方法
该方法是对被控对象施加不同频率的正弦波，测出输入量与输出量的幅值比和相位差，从而获得对象的频率特性，来确定被控对象的传递函数。
这种方法在原理和数据处理上都比较简单，测试精度比时域法高，但此法需要用专门的超低频测试设备，且测试工作量较大。
2.3.2测定动态特性的时域法
该方法是在被控对象上，人
为地加非周期信号后，测定被
控对象的响应曲线，然后再根
据响应曲线，求出被控对象的
传递函数，测试原理如图2-15。
1.输入信号选择及实验注意事项
对象的阶跃响应曲线比较直观地反映对象的动态特性，因此阶跃输入信号是时域法首选的输入信号。
但有时生产现场运行条件受到限制，不允许被控对象的被控参数有较大幅度变化，或无法测出一条完整的阶跃响应曲线，则可改用矩形脉冲作为输入信号，得到脉冲响应后，再将其转换成一条阶跃响应曲线。
图2-15测试过程响应
曲线的原理图
为了得到可靠的测试结果，应注意以下事项：
（l）合理选择阶跃扰动信号的幅度。
过小的阶跃扰动幅度不能保证测试结果的可靠性，而过大的扰动幅度则会使正常生产受到严重干扰甚至危及生产安全。
（2）试验开始前确保被控对象处于某一选定的稳定工况。
试验期间应设法避免发生偶然性的其它扰动。
（3）考虑到实际被控对象的非线性，应选取不同负荷，在被控变量的不同设定值下，进行多次测试。
即使在同一负荷和被控变量的同一设定值下，也要在正向和反向扰动下重复测试，以求全面掌握对象的动态特性。
2.阶跃响应的获取
测取阶跃响应的原理很简单，但在实际工业过程中进行这种测试会遇到许多实际问题，例如不能因测试使正常生产受到严重干扰，还要尽量设法减少其它随机扰动的影响以及系统中非线性因素的考虑等。
为了能够施加比较大的扰动幅度而又不致于严重干扰正常生产，可以用矩形脉冲输入代替通常的阶跃输入，即大幅度的阶跃扰动施加一小段时间后立即将它切除。
这样得到的矩形脉冲响应当然不同于正规的阶跃响应，但两者之间有密切关系，可以利用矩形脉冲响应求取所需的阶跃响应，如图2-16所示。
矩形脉冲响应的测试及曲线转换方法如下：
首先在对象上加一阶跃
扰动，待被控参数继续上
升（或下降）到将要超过
允许变化范围时，立即去
掉扰动，即将调节阀恢复
到原来的位置上，这就变
成了矩形脉冲扰动形式，
如图2-16所示。
图2-16由矩形脉冲响应确定阶跃响应
从图2-16中可看出，矩形脉冲输入u（t）可视为两个阶跃扰动u1（t）和u2（t）的叠加，它们的幅度相等但方向相反且开始作用的时间不同，即
（2-38）
其中，。
而阶跃扰动u1（t）和u2（t），所产生的阶跃响应分别为y1（t）和y2（t），且
（2-39）
则矩形脉冲响应y（t）就是两个阶跃响应y1（t），y2（t）之和，即
（2-40）
所需的阶跃响应为（2-41）
根据上式可以用逐段递推的作图方法可得阶跃响应y1（t），如图2-16所示。
3.由阶跃响应确定近似传递函数
由阶跃响应曲线确定被控过程的数学模型，首先要根据曲线的形状，选定模型的结构形式。
一般来说，模型的阶数越高，参数就愈多，可以拟合得更完美，但计算工作量也愈大。
闭环控制尤其是最常用的PID控制并不要求非常准确的被控对象数学模型，因此，在满足精度要求的情况下，尽量使用低阶传递函数来拟合，所以简单的工业过程对象一般采用一、二阶惯性加纯延迟的传递函数来拟合。
下面介绍确定一阶惯性和一阶惯性加纯延迟的传递函数参数的方法。
1）一阶惯性环节传递函数的确定（按教材P21图2-18）
当t→0时，阶跃响应的曲线斜率最大，然后逐渐上升到稳态值y（∞），具备这样特点的曲线所对应的系统则视为一阶惯性环节。
设输入信号的幅值为x0，阶跃曲线确定y（∞），则
2）一阶惯性加纯迟延传递函数的确定
如果对象阶跃响应是一条
如图2-17所示的起始速度较
慢，显S形的单调曲线，就
可以用式（2-1）所示的一阶惯
性加纯延迟的传函去拟合。
（1）作图法
①计算增益K
设阶跃输入u（t）的变化幅值为，如输出y（t）的起始值和稳态值分别为和，则增益K可根据下式计算，即
（2-42）
②利用作图确定T和τ
在阶跃响应曲线的拐点p处作一切线，它与时间轴交于A点，与曲线的稳态渐近线交于B点，这样就可以根据A，B两点处的时间值确定参数τ和T，它们的具体数值如图2-17所示。
显然，这种作图法的拟合程度一般是很差的。
首先，与式（2-1）所对应的阶跃响应是一条向后平移了τ时刻的指数曲线，它不可能完美地拟合一条S形曲线。
其次，在作图中，切线的画法也有较大的随意性，这直接关系到τ和T的取值。
然而，作图法十分简单，而且实践证明它可以成功地应用于PID控制器的参数整定。
（2）计算法
所谓计算法就是利用图2-17所示阶跃响应y（t）上两个点的数据去计算式（2-1）中的参数T和τ。
①计算增益K
如阶跃输入u（t）的变化幅值为，则增益K仍根据输入/输出稳态值的变化来计算，即
（2-43）
其中，和分别为输出y（t）的起始值和稳态值。
②计算参数T和τ（利用教材P20（3）的概念）
首先需要把输出y（t）转换成它的无量纲形式y*（t），即
（2-44）
系统化为无量纲形式后，与式（2-1）所对应的传递函数可表示为（无K）
（2-45）
根据式（2-45）所示传递函数，可得其单位阶跃响应为
（2-46）
式（2-45）中有两个参数即τ和T。
为此，必须先选取两个时刻t1和t2（），然后从测试结果中读出t1和t2时刻的输出信号y*（t1）和y*（t2），并根据式（2-46）写出下述联立方程
（2-47）
由式（2-47）可以解出
（2-48）
为了计算方便，一般选取在t1和t2时刻的输出信号分别为y*（tl）=0.39，y*（t2）=0.63，此时由式（2-48）可得
T=2（t2-t1），τ=2t1-t2（2-49）
其中，t1和t2可利用图2-18进
行确定。
图2-18用两点法确
定一阶对象参数。
利用式（2-49）求取的参数
τ和T准确与否，可取另外两
个时刻进行校验。
两点法的特点是单凭两个孤立点的数据进行拟合，而不顾及整个测试曲线的形态。
此外，两个特定点的选择也具有某种随意性，因此所得到的结果其可靠性一般。
2.3.4测定动态特性的频域法
被控对象的动态特性也可用频率特性
来描述，它与传递函数及微分方程一样，同样表征了系统的运动规律。
一般动态特性测试中，幅频特性较易测得，而相角信息的精确测量比较困难。
由于一般工业控制对象的惯性都比较大，因此要测试对象的频率特性，需要持续很长时间。
而测试时，将有较长的时间使生产过程偏离正常运行状态，这在生产现场往往不允许，故用测频率的方法在线来求对象的动态特性受到一些限制。
1．正弦波方法
频率特性表达式可以通过频率特性测试的方法来得到。
其测试方法见图2-21，是在所研究对象的输入端加入某个频率的正弦波信号，同时记录输入和输出的稳定振荡波形，在所选定的各个频率重复上述测试，便可测得该被控对象的频率特性。
图2-21正弦波测定对象频率特性
2．频率特性的相关测试法
尽管可以采用随机激励信号、瞬态激励信号来迅速测定系统的动态特性，但是为了获得精确的结果，仍然广泛采用稳态正弦激励试验来测定。
稳态正弦激励试验是利用线性系统频率保持性，即在单一频率强迫振动时系统的输出也应是单一频率，且把系统的噪音干扰及非线性因素引起输出畸变的谐波分量都看作干扰。
因此，测量装置应能滤出与激励频率一致的有用信号，并显示其响应幅值，相对于参考（激励）信号的相角，或者给出其同相分量及正交分量，以便画出在该测点上系统响应的奈氏图。
一般动态特性测试中，幅频特性较易测量，而相角信息的精确测量比较困难。
本章小结
工业生产过程的数学模型有静态和动态之分。
过程控制中通常采用动态数学模型，它是过程输出变量和输入变量之间随时间变化时动态关系的数学描述。
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