D．两木块加速度相同时，速度vA>vB
【答案】BD
题型二间谐振动的动力学分析
【典例4】两块质量分别为m1和m2的木块，用一根劲度系数为k的轻弹簧连在一起，现在m1上施加压力F，如图14所示．为了使撤去F后m1跳起时能带起m2，则所加压力F应多大？
解：
恰好离开地面的临界条件是弹簧比原长再伸长
，且
和
速度为零．
（1）应用简谐振动的对称性求解：
不离开地面，
做简谐振动，
则振幅：
加压力F时
（2）应用动能定理求解：
对撤去力F至
恰好离开地面全过程作用由动能定理得：
①
加压力F时
②
由①②解得：
（对称法）
【典例5】如图所示，将质量为
的平台A连结在劲度系数
的弹簧上端，弹簧下端固定在地上，形成竖直方向的弹簧振子，在A的上方放置
的物块B，使A、B一起上下振动，弹簧原子为5cm.A的厚度可忽略不计，
取10
求：
（1）当系统做小振幅简谐振动时，A的平衡位置离地面C多高？
（2）当振幅为0.5cm时，B对A的最大压力有多大？
（3）为使B在振动中始终与A接触，振幅不能超过多大？
解：
（1）振幅很小时，A、B间不会分离，将A和B整体作为振子，当它们处于平衡位置时，根据平衡条件得
得形变量
平衡位置距地面高度
（2）当A、B运动到最低点，有向上的最大加速度，此时A、B间相互作用力最大，设振幅为A
最大加速度
取B为研究对象，有
得A、B间相互作用力
由牛顿第三定律知，B对A的最大压力大小为
（1分）
（3）为使B在振动中始终与A接触，在最高点时相互作用力应满足：
取B为研究对象，
，当N=0时，B振动的加速度达到最大值，且最大值
（方向竖直向下）
因
，表明A、B仅受重力作用，此刻弹簧的弹力为零，弹簧处于原长
振幅不能大于1cm
题型三简谐运动的功能分析
【典例6】如图所示，轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。
其正上方A位置有一只小球。
小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零。
小球下降阶段下列判断中正确的是
A．在B位置小球动能最大
B．在C位置小球加速度最大
C．从A→C位置小球重力势能的减少等于小球动能的增加
D．从B→D位置小球重力势能的减少小于弹簧弹性势能的增加
解：
A→C小球受的合力一直向下，对小球做正功，动能增加；C→D小球受的合力一直向上，对小球做负功，使动能减小，因此在C位置小球动能最大。
从B到D小球的运动是简谐运动的一部分，且C为平衡位置，因此在C、D间必定有一个B´点，满足BC=B´C，小球在B´点的速度和加速度大小都和在B点时相同；从C到D位移逐渐增大，回复力逐渐增大，加速度也逐渐增大，因此小球在D点加速度最大，且大于g。
从A→C小球重力势能的减少等于小球动能的增加和弹性势能之和，因此重力势能的减少大于动能的增大。
从B→D小球重力势能减小，弹性势能增加，且B点动能大于D点动能，因此重力势能减少和动能减少之和等于弹性势能增加。
选D。
【典例7】劲度系数为k的轻弹簧两端分别连接质量都是m的木块P、Q如图所示，处于静止状态。
现用竖直向下的力F缓慢压P，最终使系统处于静止状态。
撤去F后P做简谐运动而Q恰好始终不离开地面。
求：
（1）物体P的振幅A。
（2）物体P的最大加速度am。
（3）外力F压物体p所做的功W。
思路点拨：
画出运动过程弹簧的几个典型状态，形成清晰的物理情景，运用规律求解。
状态Ⅰ：
弹簧处于原长，如图
（1）。
状态Ⅱ：
放上物体P后静止时位于C点（弹簧被压缩），如图
（2）。
状态Ⅲ：
用竖直向下的力后F缓慢压P至D点，刚撤去F时（弹簧被压缩至最短），如图（3）。
状态Ⅳ：
物体P向上运动至最高点E时（弹簧伸长至最长），如图（4）。
画出上列四个状态图后，此题的物理情境就非常清晰了。
解析：
（1）设放上物体P后，当P静止于C点时弹簧的压缩量为x1，则kx1=mg ①
C点即为P做简谐运动的平衡位置。
现用力F缓慢压P至D撤去F，C、D间的距离即为振幅A。
又Q恰好始终不离开地面，故P运动至最高点E时，地面对Q的支持力为零，即
kx2=mg ②
又因为A＝x1＋x2 ③
由①②③得A＝2mg/k ④
（2）由简谐运动的特点知，P在最高点和最低点的加速度最大，由牛顿第二定律得
kA＝mam ⑤
由④⑤得am＝2g
（3）由①②得x1＝x2
即物体在C、E两点处弹簧的弹性势能相等。
又物体P在C、E两点的动能均为零，故P从C到E的过程中，力F压P做的功
WF＝mg（x1＋x2）=2m2g2/k.
题型四受其它恒力的弹簧物体的简谐振动
【典例8】一皮带传动装置如图所示，皮带的速度v足够大。
一根质量不计、劲度系数为k的轻弹簧一端固定，另一端连一个质量为m的滑块，已知滑块与皮带间的动摩擦因数为μ，当滑块放到皮带上时，弹簧的轴线恰好水平，若滑块放到皮带上的瞬间，滑块的速度为零，且弹簧正好处于自由长度，则当弹簧第一次伸长到最长时，滑块与皮带间所产生的热量是多少？
（已知：
简谐振动周期
）
解析：
由于皮带的速度v足够大，故以皮带为参照物，滑块始终是向右运动，滑块所受到的滑动摩擦力方向始终是向左的。
滑块实际上是向左运动，只要弹簧对它的拉力小于摩擦力，滑块是加速运动。
当弹簧对它的拉力大于摩擦力，滑块做减速运动，当滑块的速度减小到零时，弹簧的伸长量最大，以后，滑块在弹簧拉力和摩擦力的作用下向右运动。
由于滑块在运动过程中所受到的摩擦力的大小和方向都不变，故此滑块在皮带上的运动类似于竖直的弹簧振子，此处的摩擦力相当于竖直弹簧振子的重力，所以滑块的运动是一个简谐运动。
其振幅为
，弹簧伸长的最大长度也就是滑块运动的位移（对地）为：
s=2A=2μmg/k，滑块在这段位移是所经历的时间为
，
滑块在皮带上的相对路径为
，
所以在这段时间内产生的热量
。
答案：
总结升华：
简谐振动的系统受到恒力的作用时仍然为简谐振动，并且其周期不发生变化。
运用类比的思维方式往往会使问题解决方便一些。
【典例9】（多选）（2018浙江温州八校联考）如图所示,把能在绝缘光滑水平面上做简谐运动的弹簧振子放在水平向右的匀强电场中,小球在O点时,弹簧处于原长,A、B为关于O对称的两个位置,现在使小球带上负电,并让小球从B点静止释放,那么下列说法不正确的是（ ）
A.小球仍然能在A、B间做简谐运动,O点是其平衡位置
B.小球从B运动到A的过程中,动能一定先增大后减小
C.小球从B点运动到A点,其动能的增加量一定等于电势能的减少量
D.小球不可能再做简谐运动
【答案】 AD
【解析】小球在匀强电场中受到水平向左的电场力,设该电场力大小为F0,小球合力为零的位置应该在O点左侧,设为O1,设O1、O点的间距为x0,弹簧劲度系数为k,则F0=kx0;取水平向右为正方向,当小球从O1点向右运动的位移为x时,回复力F=-F0+k（x0-x）=-kx,所以小球会以O1点为平衡位置做简谐运动,选项A、D错误;因为不知道A点与平衡位置O1点的位置关系,所以不能确定小球从B运动到A的过程中,动能如何变化,选项B错误;小球做简谐运动的过程中,小球的动能和电势能及弹簧的弹性势能之和守恒,小球从B点运动到A点,弹簧的弹性势能不变,所以小球动能的增加量一定等于电势能的减少量,选项C正确。
三高考真题
1.（2018全国1卷）如图，轻弹簧的下端固定在水平桌面上，上端放有物块P，系统处于静止状态．现用一竖直向上的力F作用在P上，使其向上做匀加速直线运动．以x表示P离开静止位置的位移，在弹簧恢复原长前，下列表示F和x之间关系的图像可能正确的是（ ）
图
A B C D
【答案】A
【解析】假设物块静止时弹簧的压缩量为x0，则由力的平衡条件可知kx0＝mg，在弹簧恢复原长前，当物块向上做匀加速直线运动时，由牛顿第二定律得F＋k（x0－x）－mg＝ma，由以上两式解得F＝kx＋ma，显然F和x为一次函数关系，且在F轴上有截距，则A正确，B、C、D错误．
四实践拓展
题型一变速运动过程分析
练习1-1：
匀速上升的升降机顶部悬殊有一轻质弹簧，弹簧下端挂有一小球，若升降机突然停止，在地面上的观察者看来，小球在继续上升的过程中（）
A．速度逐渐增大B．速度先增大后减小C．加速度逐渐增大D．加速度逐渐减小
【答案】C
练习1-2：
一升降机在箱底装有若干个弹簧（见图）。
设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中（）
A．升降机的速度不断减小B．升降机的加速度不断变大
C．先是弹力做的负功小于重力做的正功，然后是弹力做的负功大于重力做的正功
D．到最低点时，升降机加速度的值一定大于重力加速度的值。
【答案】CD
练习1-3：
图中a、b为两带正电的小球，带电量都是q，质量分别为M和m；用一绝缘弹簧联结，弹簧的自然长度很小，可忽略不计，达到平衡时，弹簧的长度为do。
现把一匀强电场作用于两小球，场强的方向由a指向b，在两小球的加速度相等的时刻，弹簧的长度为d，（）
A．若M=m，由d=doB．若M>m，则d>do
C．若M
练习1-4：
如图所示，在静止的平板车上放置一个质量为10kg的物体A，它被拴在一个水平拉伸的弹簧一端（弹簧另一端固定），且处于静止状态，此时弹簧的拉力为5N。
若平板车从静止开始向右做加速运动，且加速度逐渐增大，但a≤1m/s2。
则（）
A．物体A相对于车仍然静止
B．物体A受到的弹簧的拉力逐渐增大
C．物体A受到的摩擦力逐渐减小
D．物体A受到的摩擦力先减小后增大
【答案】AD
【解析】
题型二简谐运动的动力学分析
练习2-1：
（多选）如图所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定，它们组成一个振动的系统。
用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动起来，若以竖直向下为正方向，下列说法正确的是（ ）
A．钢球的最低处为平衡位置
B．钢球原来静止时的位置为平衡位置
C．钢球振动到距原静止位置下方3cm处时位移为3cm
D．钢球振动到距原静止位置上方2cm处时位移为2cm
【答案】 BC
【解析】振子的平衡位置为振子静止时的位置，故A错，B对；振动中的位移为从平衡位置指向某时刻振子所在位置的有向线段，据题意可判断C对，D错。
练习2-2：
如图3所示，物体A和B用轻绳相连挂在弹簧下静止不动，A的质量为m，B的质量为M，弹簧的劲度系数为k.当连接A、B的绳突然断开后，物体A将在竖直方向上做简谐运动，则A振动的振幅为（ ）
图3
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【解析】 剪断轻绳前，弹簧伸长的长度为x1＝
.若弹簧下只挂有A，则静止时弹簧的伸长量x2＝
，此位置为A在竖直方向上做简谐运动的平衡位置，则A振动的振幅为x1－x2＝
－
＝
，故A正确．
练习2-3：
如图所示，在重力场中，将一只轻质弹簧的上端悬挂在天花板上，下端连接一个质量为M的木板，木板下面再挂一个质量为m的物体．当剪掉m后发现：
当木板的速率再次为零时，弹簧恰好能恢复到原长，（不考虑剪断后m、M间的相互作用）则M与m之间的关系必定为（）
A.M>mB.M=mC.M【答案】 B
练习2-4：
如图甲所示，一根轻弹簧竖直立在水平地面上，其下端固定；一物块从高处自由落下，落到弹簧上端，将弹簧压缩至最低点．能正确反映上述过程中物块的加速度a随下降位移x变化关系的图象可能是图乙中的（A）
【答案】A
【解析】小球开始下落时，做自由落体运动，加速度不变，当小球和弹簧接触时，根据牛顿第二定律得：
mg-kx=ma，所以：
a=g-
，根据数学知识可知，a与x是线性关系，CD错误，当压缩到最低点时，加速度大于g，B错误，A正确。
考点：
本题考查牛顿第二定律。
练习2-5：
如图5所示，轻弹簧的一端固定在地面上，另一端与木块B相连，木块A放在木块B上，两木块质量均为m，在木块A上施有竖直向下的力F，整个装置处于静止状态．
（1）突然将力F撤去，若运动中A、B不分离，则A、B共同运动到最高点时，B对A的弹力有多大？
（2）要使A、B不分离，力F应满足什么条件？
【分析】力F撤去后，系统作简谐运动，该运动具有明显的对称性，该题利用最高点与最低点的对称性来求解，会简单的多．简谐运动在对称的位置上，位移以及与位移成正比的回复力、回复加速度大小相等方向相反，其余的物理量其方向不一定相反；回复力是物体在振动方向上的合力，不是某一个力。
【解析】
（1）最高点与最低点有相同大小的回复力，只有方向相反，这里回复力是合外力．在最低点，即原来平衡的系统在撤去力F的瞬间，受到的合外力应为F/2，方向竖直向上；当到达最高点时，A受到的合外力也为F/2，但方向向下，考虑到重力的存在，所以B对A的弹力为
．
（2）力F越大越容易分离，讨论临界情况，也利用最高点与最低点回复力的对称性．最高点时，A、B间虽接触但无弹力，A只受重力，故此时恢复力向下，大小位mg．那么，在最低点时，即刚撤去力F时，A受的回复力也应等于mg，但根据前一小题的分析，此时回复力为F/2，这就是说F/2=mg．则F=2mg．因此，使A、B不分离的条件是F≤2mg．
题型三简谐运动的功能分析
O
P
B
C
练习3-1：
如图所示，木块P和轻弹簧组成的弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，O为平衡位置，B、C为木块到达的最左端和最右端。
有一颗子弹竖直向下射入P并立即留在P中和P共同振动。
下列判断正确的是
A．若子弹是在C位置射入木块的，则射入后振幅不变，周期不变
B．若子弹是在B位置射入木块的，则射入后振幅不变，周期变小
C．若子弹是在O位置射入木块的，则射入后振幅不变，周期不变
D．若子弹是在O位置射入木块的，则射入后振幅减小，周期变大
【答案】D
【解析】振动能量等于振子在最远点处时弹簧的弹性势能。
在B或C射入，不改变最大弹性势能，因此不改变振动能量，也不改变振幅；但由于振子质量增大，加速度减小，因此周期增大。
振动能量还等于振子在平衡位置时的动能。
在O点射入，射入过程子弹和木块水平动量守恒，相当于完全非弹性碰撞，动能有损失，继续振动的最大动能减小，振动能量减小，振幅减小；简谐运动周期与振幅无关，但与弹簧的劲度和振子的质量有关。
子弹射入后，振子质量增大，因此周期变大。
选D。
练习3-2：
如图所示，轻质弹簧竖直放置在水平地面上，它的正上方有一金属球从高处自由下落，从金属球自由下落到第一次速度为零的过程中（）
A．重力先做正功，后做负功
B．弹力没有做正功
C．金属块的动能最大时，弹力与重力相平衡
D．金属块的动能为零时，弹簧的弹性势能最大
【答案】 BCD
练习3-3：
竖直立在水平地面上的轻弹簧，下端与地面固定，将一个金属球放置在弹簧顶端（球与弹簧不粘连），并用力向下按球，使弹簧做弹性压缩，稳定后用细线把弹簧拴牢，如图（a）所示。
烧断细线，球将被弹起，用脱离弹簧后继续向上运动，如图（b）所示，那么该球从细线被烧断到刚脱离弹簧的运动过程中（）
A．球刚脱离弹簧时弹簧的弹性势能最小
B．球刚脱离弹簧时的动能最大
C．球所受合力的最大值不一定大于重力
D．在某一阶段内，球的动能减少而它的机械能增大
【答案】 AD
练习3-4：
（多选）如图3所示，一轻质弹簧上端固定在天花板上，下端连接一物块，物块沿竖直方向以O点为中心点，在C、D两点之间做周期为T的简谐运动。
已知在t1时刻物块的速度大小为v、方向向下，动能为Ek。
下列说法正确的是（ ）
图3
A.如果在t2时刻物块的速度大小也为v，方向向下，则t2－t1的最小值小于
B.如果在t2时刻物块的动能也为Ek，则t2－t1的最小值为T
C.物块通过O点时动能最大
D.当物块通过O点时，其加速度最小
【答案】 ACD
【解析】 如果在t2时刻物块的速度大小也为v、方向也向下，则t2－t1的最小值小于
，选项A正确；如果在t2时刻物块的动能也为Ek，则t2－t1的最小值小于
，选项B错误；当物块通过O点时，其加速度最小，速度最大，动能最大，选项C、D正确；物块运动至C点时，其加速度最大，速度为零。
练习3-5：
如图所示，弹簧下面挂一质量为m的物体，物体在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好处于原长，弹簧在弹性限度内，则物体在振动过程中（ ）
A．弹簧的最大弹性势能等于2mgA
B．弹簧的弹性势能和物体动能总和不变
C．物体在最低点时的加速度大小应为2g
D．物体在最低点时所受弹簧的弹力大小应为mg
【答案】 A
【解析】 因物体振动到最高点时，弹簧正好处于原长，此时弹簧弹力等于零，物体的重力mg＝F回＝kA，当物体在最低点时，弹簧的弹性势能最大等于2mgA，A对；在最低点，由F回＝mg＝ma知，C错；由F弹－mg＝F回得F弹＝2mg，D错；由能量守恒知，弹簧的弹性势能和物体的动能、重力势能三者的总和不变，B错。
练习3-6：
如图2—12所示，一质量不计的轻质弹簧竖立在地面上，弹簧的上端与盒子A连接在一起，下端固定在地面上，盒子A内腔为正方体，一直径略小于此正方体边长的金属圆球恰好能放在盒内，已知弹簧的劲度系数为k=4OON/m，盒子A与金属球B的质量均为2kg，将盒子A向上提高，使弹簧从自由长度伸长1Ocm，由静止释放，不计阻力，盒子A和金属球B一起做竖直方向的简谐振动，g取
，已知弹簧处在弹性限度内，对于同弹簧，其弹性势能只决定于形变的大小，试求：
（1）盒子A做简谐振动的振幅；
（2）盒子A运动到最高点时，盒子A对金属小球B的作用力方向；
（3）金属小球B的最大速度。
【解析】
（1）系统处于平衡位置时，弹簧压缩
由
，得
盒子的振幅为：
（2）方向向下
（3）小球B运动到平衡位置时速度最大，从最高点到平衡位置的过程中，弹力做的正功与负功相等，总功为零，由动能定理得：
练习3-7：
A、B两木块叠放在竖直轻弹簧上，如图9-6所示，已知木块A、B质量分别为0.42kg和0.40kg，弹簧的劲度系数k=100N/m，若在木块A上作用一个竖直向上的力F，使A由静止开始以0.5m/s2的加速度竖直向上做匀加速运动（g=10m/s2）.
（1）使木块A竖直做匀加速运动的过程中，力F的最大值；
（2）若木块由静止开始做匀加速运动，直到A、B分离的过程中，弹簧的弹性势能减少了0.248J，求这一过程F对木块做的功.
【分析】考查对物理过程、状态的综合分析能力.错解分析：
此题难点和失分点在于能否通过对此物理过程的分析后，确定两物体分离的临界点，即当弹簧作用下的两物体加速度、速度相同且相互作用的弹力N=0时,恰好分离.
【解析】 当F=0（即不加竖直向上F力时），设A、B叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为x，有
kx=（mA+mB）g
x=（mA+mB）g/k①
对A施加F力，分析A、B受力如图9-7
对AF+N-mAg=mAa②
对Bkx′-N-mBg=mBa′
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