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4数学建模作业题

数学模型课程期末大作业题

要求:

1）选题方式：

共53题，每个同学做一题，你要做的题目编号是你的学号mod53所得的值+1。

（例如：

你的学号为119084157，则你要做的题为mod（119084157,53）+1=48）。

2）该类题目基本为优划问题，要求提交一篇完整格式的建模论文，文字使用小四号宋体，公式用word的公式编辑器编写，正文中不得出现程序以及程序冗长的输出结果，程序以附录形式附在论文的后面，若为规划求解必须用lingo集合形式编程，其它可用Matlab或Mathmatica编写。

3）论文以纸质文档提交，同时要交一份文章和程序电子文档，由班长统一收上来，我要验证程序。

1、生产安排问题

某厂拥有4台磨床，2台立式钻床，3台卧式钻床，一台镗床和一台刨床，用以生产7种产品，记作p1至p7。

工厂收益规定作产品售价减去原材料费用之余。

每种产品单件的收益及所需各机床的加工工时（以小时计）列于下表（表1）：

表1

产品

收益

磨

0.5

0.7

0.3

0.2

0.5

垂直钻孔

0.1

0.2

0.3

0.6

水平钻孔

0.2

0.8

0.6

镗

0.05

0.03

0.07

0.1

0.08

刨

0.01

0.05

各种产品各月份的市场容量如下表（表2）：

表2

产品

一月

500

1000

300

800

200

100

二月

600

500

200

400

300

150

三月

300

600

500

400

100

四月

200

300

400

500

200

100

五月

100

500

100

1000

300

六月

500

100

300

1100

500

每种产品存货最多可到100件。

存费每件每月为0.5元。

现在无存货。

要求到6月底每种产品有存货50件。

工厂每周工作6天，每天2班，每班8小时。

不需要考虑排队等待加工的问题。

在工厂计划问题中，各台机床的停工维修不是规定了月份，而是选择最合适的月份维修。

除了磨床外，每月机床在这6个月中的一个月中必须停工维修；6个月中4台磨床只有2台需要维修。

扩展工厂计划模型，以使可作上述灵活安排维修时间的决策。

停工时间的这种灵活性价值若何？

注意，可假设每月仅有24个工作日。

2、安排问题：

在某给定区域内均匀分布若干个几何形状相同的小区域（小区域为边长a的正三角形）。

在每个区域中心安排一个寻呼台，管理部门将拿出一贯频域区间由于安排这些寻呼台，这个频域区间被规则地分成若干频域区间，分别被依次标号为：

1、2、3、……，每一个寻呼台被分配给一个具有标号的频率小区间，只要不相互干扰，标号相同的频域小区间可以被分配多个寻呼台使用，为了避免干扰，在安排过程中，应满足以下要求：

1）、距离为2a以内的两个寻呼台的编号至少必须相差2，在4a以内的寻呼台编号不能相同；

2）、除1）以外并考虑三角形区域在三个方向任意延伸的情况；

3）、除条件1），2）外，但要求距离在2a以内的寻呼台编号至少相差R，此时能够得到什么结果？

请你在上述各种情况条件下建立数学模型，确立需要的频域区间的最小长度，即要求给出各种不同分配方案中所使用的最大编号达到最小。

3、电梯问题

某办公大楼有十一层高，办公室都安排在7，8，9，10，11层上．假设办公人员都乘电梯上楼，每层有60人办公．现有三台电梯A、B、C可利用，每层楼之间电梯的运行时间是3秒，最底层（一层）停留时间是20秒，其他各层若停留，则停留时间为10秒．每台电梯的最大的容量是10人，在上班前电梯只在7，8，9，10，11层停靠．为简单起见，假设早晨8∶00以前办公人员已陆续到达一层，能保证每部电梯在底层的等待时间内（20秒）能达到电梯的最大容量，电梯在各层的相应的停留时间内办公人员能完成出入电梯．当无人使用电梯时，电梯应在底层待命．请问：

把这些人都送到相应的办公楼层，要用多少时间？

怎样调度电梯能使得办公人员到达相应楼层所需总的时间尽可能的少？

请给出一种具体实用的电梯运行方案．

4、食品加工问题

一项食品加工工业，为将几种粗油精炼，然后加以混合成为成品油。

原料油有两大类，共5种：

植物油2种，分别记为V1和V2；非植物油3种，记为O1、O2和O3。

各种原料油均从市场采购。

现在（一月份）和未来半年中，市场价格（元/吨）如下表所示：

油

月份

一

1100

1200

1300

1100

1150

二

1300

1100

900

1150

三

1100

1400

1300

1000

950

四

1200

1100

1200

1250

五

1000

1200

1500

1100

1050

六

900

1000

1400

800

1350

成品油售价1500元/吨。

植物油和非植物油要在不同的生产线精炼。

每个月最多可精练植物油200吨，非植物油250吨。

精练过程中没有重量损失。

精练费用可以忽略。

每种原料油最多可存储1000吨备用。

存贮费为每吨每月50元。

成品油和经过精练的原料油不能贮存。

对成品油限定其硬度在3与6单位之间。

各种原料油的硬度如下表所示：

油

硬度

8.8

6.1

2.0

4.2

5.0

假设硬度是线性地混合的。

为了使公司获得最大利润，应该取什么样的采购加工方案。

现存有5种原料油每种500吨。

要求在六月底仍然有这么多存货。

研究总利润和采购与加工方案适应不同的未来市场价格变化。

考虑如下的价格变化方式：

2月份植物油价上升x%，非植物油价上升2x%；3月份植物油价上升4x%；其余月份保持这种线性的上升势头。

对于不同的x值（直到20），就方案的变化及对总利润的影响，作出全面计划。

对于食品加工问题，附加下列条件：

（1）每个月最多使用3种原料油；

（2）在一个月中，一种原料油如被使用，则至少要用20吨；

（3）如果某月使用了原料油V1和V2，则必须使用O3。

扩展食品加工模型，以包含这些限制条件，并求出新的最优解。

5、生产计划

某厂有4台磨床，2台立钻，3台水平钻，1台镗床和1台刨床，用来生产7种产品，已知生产单位各种产品所需的有关设备台时以及它们的利润如表所示：

单件所需台时（表1）

产品

设备

收益

磨

0.5

0.7

0.3

0.2

0.5

垂直钻孔

0.1

0.2

0.3

0.6

水平钻孔

0.2

0.8

0.6

镗孔

0.05

0.03

0.07

0.1

0.08

刨

0.01

0.05

从1月到6月份，下列设备需进行维修：

1月—1台磨床，2月—2台水平钻，3月—1台镗床，4月—1台立钻，5月—1台磨床和1台立钻，6月—1台刨床和1台水平钻，被维修的设备在当月内不能安排生产。

又知从1月到6月份市场对上述7种产品最大需求量如表所示：

（表2）

产品

月份

一月

500

1000

300

800

200

100

二月

600

500

200

400

300

150

三月

300

600

500

400

100

四月

200

300

400

500

200

100

五月

100

500

100

1000

300

六月

500

100

300

1100

500

当月销售不了的每件每月贮存费为0.5元，但规定任何时候每种产品的贮存量均不得超过100件。

现在无库存，要求6月末各种产品各贮存50件。

若该厂每月工作24天，每天两班，每班8小时，假定不考虑产品在各种设备上的加工顺序，要求：

（a）该厂如何安排计划，使总利润最大；

（b）在什么价格的条件下，该厂可考虑租用或购买有关的设备。

6、配送问题

一公司有二厂,分处A,B两市,另外还有4间具有存贮机构的库房,分别在P,Q,R和S市.公司出售产品给6家客户

由各库房或直接由工厂向客户供货.

配送货物的费用由公司负担单价见下表:

表一:

受货者

供货者

A市厂

B市厂

P库房

Q库房

R库房

S库房

P库房

0.5

----

Q库房

0.5

0.3

R库房

1.0

0.5

S库房

0.2

客房C1

1.0

2.0

----

1.0

----

客房C2

----

1.5

0.5

1.5

----

客房C3

1.5

----

0.5

2.0

0.2

客房C4

2.0

----

1.5

1.0

----

1.5

客房C5

----

0.5

客房C6

1.0

----

1.0

----

1.5

注:

单位元/吨;划”—“表示无供货关系.

某些客户表示喜欢由某厂或某库房供货.计有:

C1--------A市厂

C2--------P库房

C5--------Q库房

C6--------R库房或S库房

A市厂月供货量不能超过150千吨,B市厂月供货量不能超过200千吨.各库房月最大流通量千吨数为:

表二:

库房

PQRS

流通量

705010040

各客户每月所必须满足的供货量为（单位:

千吨）:

表三:

客户

C1C2C3C4C5C6

要求货量

501040356020

公司希望确定以下事项:

（1）如何配货,总费用最低?

（2）增加工厂和库房的生产能力对配送费用的影响是什么?

（3）费用单价,工厂和库房生产能力以及客户对供货量的最低要求等,各微小变化对配货方案的影响是什么?

（4）能不能满足客户对供货者的喜好选择?

如果满足,会引起配送费用提高多少?

7、牧场管理

有一块一定面积的草场放牧羊群，管理者要估计草场能放牧多少羊，每年保留多少母羊羔，夏季要储存多少草供冬季之用

为解决这些问题调查了如下背景材料：

⑴本地环境下这一品种草的日生长率为：

季节

冬

春

夏

秋

生长率（g/m2）

⑵羊的繁殖率通常母羊每年产1—3只羊羔，5岁后被卖掉。

为保持羊群的规模可以买进羊羔，或者保留一定数量的母羊。

每只母羊的平均繁殖率为

年龄

0—1

1—2

2—3

3—4

4—5

产羊羔数

1.8

2.4

2.0

1.8

⑶羊的存活率不同年龄的母羊的自然存活率（指存活一年）为

年龄

1—2

2—3

3—4

存活率

0.98

0.95

0.80

⑷草的需求量母羊和羊羔在各个季节每天需要的草的数量（kg）为：

季节

冬

春

夏

秋

母羊

2.10

2.40

1.15

1.35

羊羔

1.00

1.65

注：

只关心羊的数量，而不管它们的重量，一般在春季产羊羔，秋季将全部公羊和部分母羊卖掉，保持羊群数量不变。

8、立方填充问题

27个立方体空盒,排成3×3×3的三维阵列,如图1所示.

如果三个盒在同一条水平线上,或同一条垂直线上,或同一条对角线上,则认为是三盒一线.这样的线共有49条;水平线18条,垂直线9条,水平面对角线6条,垂直面对角线12条,对角面对角线4条.

现在有13个白球—0,14个黑球—x,每个盒中放入一球.如何投放,使有单一色球的线数最少?

对一般n×n×n的三维阵列进行讨论，并对4×4×4，求解上列类似的问题

9疏散问题

甲市一家大公司由5个部门（A、B、C、D、E）组成。

现要将它的几个部门迁出甲市，迁至乙市或丙市。

除去因政府鼓励这样做以外，还有用房便宜、招工方便等好处。

对这些好处已作出数量估价，所值每年万元数如下表：

部门

迁市

乙

丙

然而，疏散之后个部门间的通讯费用将增加。

部门间每年通讯量如表：

部门

1000

1500

1400

1200

2000

700

不同城市间单位通讯量的费用如下表（单位：

元）

市

甲

乙

丙

甲

100

130

乙

140

丙

试求各个部门应置于何市，使年费用最少？

10、农场计划

英国某农场主有81英亩土地的农场，用来饲养奶牛。

现要为五年制定生产计划。

现在他有120头母牛，其中20头为不到2岁的幼牛，100头为产奶牛。

每头幼牛需用0.27英亩土地供养，每头奶牛需用0.4英亩。

产奶牛平均每头每年生1.1头牛，其中一半为公牛，出生后不久即卖掉，平均每头卖30英镑；另一半为母牛，可以在生出后不久卖掉，平均每头40英镑，也可以留下饲养，养至2岁成为产奶牛。

幼牛年损失5%；产奶牛年损失2%。

产奶牛养到满12岁就要卖掉，平均每头卖120英镑。

现有的20头幼牛中，0岁和1岁各10头；100头奶牛中，从2岁至11岁各有10头。

应该卖掉的小牛都已卖掉。

所有20头要饲养成奶牛。

一头牛所产的奶提供年收入370英镑。

现在最多只能养130头牛，超过此数每多养一头，每年要多花费200英镑。

每头产奶牛每年消耗0.6吨粮食和0.7吨甜菜。

粮食和甜菜可以由农场种植出来。

每英亩产甜菜1.5吨。

只有32.4英亩的土地适合于种粮食，且产量不同。

按产量可分作4组：

第一组8.1英亩，亩产2.7吨；第二组12.1英亩，亩产2.2吨；第三组8.1英亩，亩产2吨；第四组4.1英亩，亩产1.6吨。

从市场购粮食每吨90英镑，卖粮食每吨75英镑；买甜菜每吨70英镑，卖甜菜每吨50英镑。

养牛和种植所需劳动量为：

每头牛每年10小时；每头产奶牛每年42小时；种一英亩粮食每年须10小时；种一英亩甜菜每年须35小时。

其他费用：

每头幼牛每年50英镑；产奶牛每头每年100英镑；种粮食每亩每年37.1英镑；种甜菜每亩每年24.7英镑；劳动费用现在每年为4000英镑，提供5500小时的劳动量。

超过此数的劳动量每小时费用为1.20英镑。

任何投资支出都从10年期贷款得到。

贷款年利率15%，每年偿还本息总和的1/10，十年还清。

每年货币的收支之差不能为负植。

此外，农场主不希望产奶牛的数目在五年末较现在减少超过50%，也不希望增加超过75%。

应如何安排5年的生产，使收益最大？

11、销售问题

一家大公司有二个分部D1和D2。

该公司的业务是向零售商供应石油产品和酒精。

现在要将零售商划分给二个分部，由分部向属于它的零售商供货。

这种划分要尽可能地使分部D1占有40%的市场，D2占有60%。

零售商共23家，记作M1到M23。

其中M1至M8在1区，M9至M18在2区，M19至M23在3区。

有好的发展前途的零售商作为A类，其余为B类。

各零售商目前估计占有的销售额，及所据有的货点数给出在表1（见附表）中。

要求对分部D1和D2的这一划分。

在下述七个方面，都接近于

比例，具体说，在每个方面，D1所占份额在

至

之间，当然D2所占份额在

至

之间。

这七个方面是：

（1）货点总数；

（2）酒精市场占有份额；

（3）区1的油品市场占有份额；

（4）区2的油品市场占有份额；

（5）区3的油品市场占有份额；

（6）A类零售商数；

（7）B类零售商数。

第一步目标是根据七个方面都接近于

比例的要求找一个可行解，也就是说看这种划分法是否存在，如果存在，找出一种分法。

进一步，如果存在多种划分法的话，按下列两种目标分别求最优解：

目标（i）划分的七个方面的百分数对

的偏差总和最小；

目标（ii）最大偏差为最小。

附表：

区

零售商

油品市场（

加仑）

货点

酒精市场（

加仑）

分类

411

157

183

215

M10

M11

M12

M13

M14

M15

M16

M17

M18

105

100

102

118

112

535

M19

M20

M21

M22

M23

12、农产品定价

某国政府要为其牛奶、奶油和奶酪等奶制品定价。

所有这些产品都直接或间接国家的原奶生产。

原奶首先要分离成脂肪和奶粉两种组份，去掉供生产出口产品和农场消费的产品的部分后，余下的共有60万吨脂肪和70万吨奶粉，可用于生产牛奶、奶油和两种奶酪，供国内全年消费。

各种产品的百分数组成分见下表：

成分

产品

脂肪

奶粉

水

奶粉

奶油

奶酪1

奶酪2

往年的国内消费和价格如下表：

产品

奶粉

奶油

奶酪1

奶酪2

消费量（千吨）

4820

320

210

价格（元/吨）

297

720

1050

815

价格的变化会影响消费要求。

为表现这方面的规律性，定义需求的价格伸缩性E：

各种产品的E值，可以根据往年的价格和需求变化情况的统计数据，用数理统计方法求出。

另外，两种奶酪的需求，随它们价格的相对变化，在某种程度上可以相互替代。

表现这一规律要用需求关于价格的交叉伸缩性概念。

从产品A到B的交叉伸缩性E12定义作

E12

奶酪1到奶酪2的E12值和奶酪2到奶酪1的E21值，同样可以凭数据用统计方法求出。

已经求出牛奶、奶油、奶酪1和奶酪2的E值依次为0.4，2.7，1.1和0.4，以及E12=0.1，E21=0.4。

试求4种产品的价格，使所导致的需求使销售总收入为最大。

然而，政策不允许某种价格指标上升。

这使得新的价格必须使消费的总费用较上一年度不增加。

因此，对问题的一个特别重要的附加要求，是对这一政策限制的经济代价，给出数量表示。

13、采矿问题

某地区有4个矿区，产同一种矿石。

某采矿公司获得了这些矿在未来连续5年中的开采权。

但在每年度中，该公司最多有能力开3个矿，而有一矿闲置。

对于闲置的矿，如果这5年期内随后的某年还要开采，则不能关闭；如果从闲置起在这5年内不再开采，就关闭。

对开采和保持不关闭的矿，公司应交付土地使用费。

各矿每年土地使用额见表1第2行。

各矿每年矿砂产量上限如表1第3行。

不同矿所产矿砂质量不同。

矿砂质量同一质量指数表示，见表1第4行。

将不同矿的矿砂混合所成的矿砂，其质量指数为各组份的线性组合，组合系数为各组份在混成矿砂中所占的重量百分数。

例如，等量的二矿砂混合，混成矿砂的质量指数为二组份指数的平均值。

每年公司将各矿全年产出的矿砂混合，要生成具有约定质量指数的矿砂。

不同年度的约定质量指数如表2所示。

各年度成品矿砂售价每吨10元。

年度总收入和费用开支，为扣除物价上涨价因素，以逐年9折计入5年总收入和费用中。

表1

矿

土地使用费（万元）

500

400

500

产量上限（万吨）

200

250

130

300

质量指数

1.0

0.7

1.5

0.5

表2

年度

质量指标

0.9

0.8

1.2

0.6

1.0

试问各年度应开采哪几个矿？

产量应各为多少？

14、电价问题

几个发电站负责满足下述电力负荷要求。

在一天中

0点至6点15000（MW，兆瓦）

6点至9点30000（MW，兆瓦）

9点至15点25000（MW，兆瓦）

15点至18点40000（MW，兆瓦）

18点至24点27000（MW，兆瓦）

有三种类型的发电机可投入运输。

1型12台，2型10台，3型5台，

表一给出了有关的数据。

类型

最低水平

最高水平

最低水平每小时费用

最高水平以上每兆瓦每小时费用

开动费用

850MW

2000MW

1000

2000

1250MW

1750MW

2600

1.30

1000

1500MW

4000MW

2000

500

表中第2，3列分别给出各类发电机运转的最低水平和最高水平。

各发电机运转的水平不能超出这一范围。

第4列给出在最低水平运转的每小时费用。

第5列为在高于最低水平运转时，每超出一兆瓦，每小时的费用。

另外，每开动一发电机也需要费用，这给出在第6列。

在满足估计的负载要求之外，在每开动一发电机应足够多，使得当负载增加不超过15%时，能够通调高运转着的发电机的输出（在最高水平界定的范围内）满足增载的要求。

试求在一天中的各段时间应使那些发电机运转，使总费用最低？

在一天中的每段时间，电力生产的边际费用各为多少？

也就是说应当为电定什么价？

将后备输出保证的指标15%加以降低，费用节省情况如何？

也就是说这一供电保险性的费用如何？

15、人力计划问题

某公司正经历一系列的变化，这要影响到它在未来几年的人力需求。

由于装备了新机器，对不熟练工人的需求相对减少，对熟练和不熟练工人的需求相对增加；同时，预期下一年度的贸易量将下降，从而减少对各类岗位人力的需求。

据估计，当前及以后三年需要的人员数如表1：

表1人数需求（单位：

人）

分类

不熟练

半熟练

熟练

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