方法与技巧:
1.因式分解法是不定方程中最基本的方法,其理论基础是整数的唯一分解定理,分解法作为解题的一种手段,没有因定的程序可循,应具体的例子中才能有深刻地体会;
2.同余法主要用于证明方程无解或导出有解的必要条件,为进一步求解或求证作准备。
同余的关键是选择适当的模,它需要经过多次尝试;
3.不等式估计法主要针对方程有整数解,则必然有实数解,当方程的实数解为一个有界集,则着眼于一个有限范围内的整数解至多有有限个,逐一检验,求出全部解;若方程的实数解是无界的,则着眼于整数,利用整数的各种性质产生适用的不等式;
4.无限递降法论证的核心是设法构造出方程的新解,使得它比已选择的解“严格地小”,由此产生矛盾。
三特殊的不定方程
1.利用分解法求不定方程ax+by=cxy(abc≠0)整数解
的基本思路:
将ax+by=cxy转化为(x-a)(cy-b)=ab后,若ab可
分解为ab=a_1b_1=a_2b_2=⋯=a_ib_i∈Z,则解的一般形式为
,
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再取舍得其整数解;
2.定义2:
形如的x^2+y^2=z^2的方程叫做勾股数方程,
这里x,y,z为正整数。
对于方程x^2+y^2=z^2,如果(x,y)=d,则d^2|z^2,从而只需讨论(x,y)=1的情形,此时易知x,y,z两两互素,这种两两互素的正整数组叫方程的本原解。
定理3.勾股数方程满足条件2|y的一切解可表示为:
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其中a>b>0,(a,b)=1,且a,b为一奇一偶。
推论:
勾股数方程的全部正整数解(x,y的顺序不加区别)可表示为:
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其中a>b>0是互质的奇偶性不同的一对正整数,d是一个整数。
勾股数不定方程的整数解的问题主要依据定理来解决。
3.定义3.方程x^2-dy^2=±1,±4(x,y∈Z,正整数d不是平方数)是x^2-dy^2=c的一种特殊情况,称为沛尔(Pell)方程。
这种二元二次方程比较复杂,它们本质上归结为双曲线方程x^2-dy^2=c的研究,其中c,d都是整数,d>0且非平方数,而c≠0。
它主要用于证明问题有无数多个整数解。
对于具体的d可用尝试法求出一组成正整数解。
如果上述pell方程有正整数解(x,y),则称使x+yd^的最小的正整数解为它的最小解。
定理方程x^2-dy^2=1(x,y∈Z,正整数d不是平方数)
必有正整数解,且若设它的最小解为(x_1,y_1),则它的全部解可以表示成:
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上面的公式也可以写成以下几种形式:
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定理方程x^2-dy^2=-1(x,y∈Z,正整数d不是平方数)
要么无正整数解,要么有无穷多组正整数解,且在后一种情况下,设它的最小解为(x_1,y_1),则它的全部解可以表示为
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定理6.(费尔马(Fermat)大定理)方程x^n+y^n=z^n(n≥3且为整数)无正整数解。
费尔马(Fermat)大定理的证明一直以来是数学界的难题,但是在1994年6月,美国普林斯顿大学的数学教授完全解决了这一难题。
至此,这一困扰了人们四百多年的数学难题终于露出了庐山真面目,脱去了其神秘面纱。
5相关介绍编辑本段
简单例题
例1求11x+15y=7的整数解.
解法1将方程变形得
因为x是整数,所以7-15y应是11的倍数.由观察得x0=2,y0=-1
是这个方程的一组整数解,所以方程的解为
解法2先考察11x+15y=1,通过观察易得
11×(-4)+15×⑶=1,
所以
11×(-4×7)+15×(3×7)=7,
可取x0=-28,y0=21.从而
可见,二元一次不定方程在无约束条件的情况下,通常有无数组整数解,由于求出的特解不同,同一个不定方程的解的形式可以不同,但它们所包含的全部解是一样的.将解中的参数t做适当代换,就可化为同一形式.
例2求方程6x+22y=90的非负整数解.
解因为(6,22)=2,所以方程两边同除以2得
3x+11y=45.①
由观察知,x1=4,y1=-1是方程
3x+11y=1②
的一组整数解,从而方程①的一组整数解为
由定理,可得方程①的一切整数解为
因为要求的是原方程的非负整数解,所以必有
由于t是整数,由③,④得15≤t≤16,所以只有t=15,t=16两种可能.
当t=15时,x=15,y=0;当t=16时,x=4,y=3.所以原方程的非负整数解是
例3求方程7x+19y=213的所有正整数解.
分析这个方程的系数较大,用观察法去求其特殊解比较困难,碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小,最后再用观察法求得其解.
解用方程
7x+19y=213①
的最小系数7除方程①的各项,并移项得
因为x,y是整数,故3-5y/7=u也是整数,于是5y+7u=3.T儆*5除此式的两边得
2u+5v=3.④
由观察知u=-1,v=1是方程④的一组解.将u=-1,v=1代入③得y=2.y=2代入②得x=25.于是方程①有一组解x0=25,y0=2,所以它的一切解为
由于要求方程的正整数解,所以
解不等式,得t只能取0,1.因此得原方程的正整数解为当方程的系数较大时,我们还可以用辗转相除法求其特解,其解法结合例题说明.
例4求方程37x+107y=25的整数解.
解107=2×37+33,
37=1×33+4,
33=8×4+1.
为用37和107表示1,我们把上述辗转相除过程回代,得
1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4
=37-9×(37-33)=9×33-8×37
=9×(107-2×37)8×37=9×107-26×37
=37×(-26)+107×9.
由此可知x1=-26,y1=9是方程37x+107y=1的一组整数解.于是
x0=25×(-26)=-650,y0=25×9=225
是方程37x+107y=25的一组整数解.
所以原方程的一切整数解为
例5某国硬币有5分和7分两种,问用这两种硬币支付142分货款,有多少种不同的方法
解设需x枚7分,y枚5分恰好支付142分,于是
7x+5y=142.①
所以
由于7x≤142,所以x≤20,并且由上式知5|2(x-1).因为(5,
2)=1,所以5|x-1,从而x=1,6,11,16,①的非负整数解为
所以,共有4种不同的支付方式.
说明当方程的系数较小时,而且是求非负整数解或者是实际问题时,这时候的解的组数往往较少,可以用整除的性质加上枚举,也能较容易地解出方程.
多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程.
例6求方程9x+24y-5z=1000的整数解.
解设9x+24y=3t,即3x+8y=t,于是3t-5z=1000.于是原方程可化为
用前面的方法可以求得①的解为
②的解为
消去t,得
大约1500年以前,中国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里,曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题,通俗地讲就是下例.
例7今有公鸡每只五个钱,母鸡每只三个钱,小鸡每个钱三只.用
100个钱买100只鸡,问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只
解设公鸡、母鸡、小鸡各买x,y,z只,由题意列方程组
①化简得15x+9y+z=300.③
③-②得14x+8y=200,
即7x+4y=100.
解7x+4y=1得
于是7x+4y=100的一个特解为
由定理知7x+4y=100的所有整数解为
由题意知,0由于t是整数,故t只能取26,27,28,而且x,y,z还应满足
x+y+z=100.
txyz
2641878
2781181
2812484
即可能有三种情况:
4只公鸡,18只母鸡,78只小鸡;或8只公鸡,11只母鸡,81只小鸡;或12只公鸡,4只母鸡,84只小鸡.
不定方程与代数几何
对于多项式不定方程,我们相当于求解某个代数簇上的有理点或整点等等。
这样,一个数论问题就转化为某种几何问题。
这种观点将数论与代数几何联系起来,是一种重要的数学思想。
对于代数曲线来说,相应的不定方程是否有解的以及是否有无限个解,都与曲线的亏格密切相关。
这就是著名的莫代尔猜想(由法尔廷斯证明)所包含的内容。
亏格零的曲线就是直线和二次曲线,他们就对应了上述的一次和二次不定方程。
亏格1的是椭圆曲线,它的算术性质和代数几何性质极为丰富。
它将数论、复分析、代数几何、表示论等等都联系起来,是当代数学最重要的研究对象之一。
与此相关的是千禧年七大数学难题之一的BSD猜想。
著名的费马大定理的证明也与此相关。
进展与学科联系
近年来,这个领域更有重要进展。
但从整体上来说,对于高于二次的多元不定方程,人们知道得不多。
另一方面,不定方程与数学的其他分支如代数数论、代数几何、组合数学等有着紧密的联系,在有
限群论和最优设计中也常常提出不定方程的问题,
这就使得不定方程
这一古老的分支继续吸引着许多数学家的注意,
成为数论中重要的研
究课题之一。