导数学案完整版精心.docx
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导数学案完整版精心
选修〔1-1〕第三章导数及其应用
课题：
§3.1变化率与导数
学习目标：
1.认识函数的均匀变化率、刹时变化率的观点；
2.理解导数的观点，理解、掌握导数的几何意义
3.会利用定义求函数在某一点周边的均匀变化率及导数；
4.会利用定义求函数在某点处的切线方程.
学习过程：
一、变化率问题
[开篇思虑]：
阅读开篇语，认识课程目标
1.微积分的创办与自然科学中的哪些问题的办理直接有关？
2.导数的研究对象是什么？
[问题研究一]：
气球膨胀率
吹气球时，跟着气球内空气容量的增添，气球的半径增添得愈来愈慢。
从数学的角度如何描绘这类现象?
阅读教材P72并思虑：
〔1〕问题中波及到的两个变量分别是、，这
两个变量间的函数关系是；
（2〕“气球的半径增添得愈来愈慢〞的意思是“〞，从数学角度进行描绘就是“
适用标准文案
当空气容量从2.5L增添到4L时，气球半径r增添了，气球的均匀
膨胀率为；
能够看出，跟着气球体积渐渐变大，它的均匀膨胀率渐渐.
〔4〕思虑：
当空气容量从V1增添到V2时，气球的均匀膨胀率是
[问题研究二]：
高台跳水
在高台跳水运动中，运发动相对于水面的高度h（单位：
米）与起跳后的时间t〔单位：
秒〕存在函
数关系
）
t
2
t
10
ht
如何用运发动在某些时间段内的均匀速度大略地描绘其运动状态？
（
阅读教材P73并思虑：
h
假定用运发动在某段时间
t1,t2
内的均匀速度
v描绘其运动状态，
那么：
〔1〕v=
；
〔2〕算一算：
在0
t
0.5这段时间内，v=
o
t
在1
t
2这段时间内，v=
t1t2
在0
t
65
这段时间内，v=
49
[新知]：
〞，即气球的均匀膨胀率就是
.
〔3〕运用上述数学解说计算一些详细的值
当空气容量从
0增添到1L时，气球半径r增添了
，气球的均匀膨胀
设y
f（x），x1是数轴上的一个定点，在数轴
x上另取一点x2
，x1与x2的差记为x，即x=
率为
；
或许x2=
，x就表示从x1到x2的变化量或增量；相应地，函数的变化量或增量记为
y，
当空气容量从
1
L增添到2L时，气球半径r增添了
，气球的均匀膨胀率
即y=
；假如它们的比值
y，那么上式就表示为
，此比值就称为均匀变化率.
为
；
x
当空气容量从
2
L增添到L时，气球半径r增添了
，
均匀变化率：
_______________=______
气球的均匀膨胀率为
；
反省：
所谓均匀变化率也就是
的增量与
的增量的比值.
出色文档
适用标准文案
[试一试]：
[研究]：
计算[问题研究二]运发动在0t
65
这段时间里的均匀速度，并思虑以下问题：
例：
函数
2
，分别计算f（x）在以下区间上的均匀变化率：
49
f（x）x
〔1〕1
，
〔2〕1，2
〔1〕运发动在这段时间内使静止的吗？
〔3〕1，1x
〔2〕你以为用均匀速度描绘运发动的运动状态有什么问题吗？
研究过程：
[知识回想]：
什么是函数yf（x）的均匀变化率？
如何求均匀变化率？
[思虑]：
当x愈来愈小时，函数
f（x）在区间
1，1
x上的均匀变化率有如何的变化趋向？
[想想]：
既然用均匀速度不可以精准描绘运发动的运动状态，
那该如何求运发动在某一时辰的速度呢？
y=
回复以下问题：
[变式]：
函数f（x）x2
x的图象上一点
1，
2及周边一点
1x，2y
，那么
1．什么是刹时速度？
x
2.当t趋近于0时,均匀速度v有什么样的变化趋向？
3.运发动在某一时辰t0的刹时速度如何表示？
[学习小结]：
[认识与理解]：
求刹时速度
1.
函数f（x）的均匀变化率是
一物体的运动方程是s3
t2，那么在t
2时辰的刹时速度是
2.
求函数f（x）的均匀变化率的步骤：
〔1〕求函数值的增量
；〔2〕计算均匀变化率
.
[作业]：
形成练习P41-42练习21函数的均匀变化率
[新知]：
[再思虑]：
计算[问题研究二]中运发动在0t
65
1.函数y
f（x）的刹时变化率如何表示？
这段时间里的均匀速度，思虑以下问题：
49
（1〕运发动在这段时间内使静止的吗？
（2〕你以为用均匀速度描绘运发动的运动状态有什么问题吗？
二、导数的观点
2.什么是函数
y
f（x）在x
x0处的导数？
如何表示？
其实质是什么？
出色文档
适用标准文案
[思虑与研究一]：
曲线的切线及切线的斜率
如图，当Pn（xn,f（xn））（n1,2,3,4）沿着曲线f（x）趋近于点P（x0,f（x0））时，割线PPn的
变化趋向是什么？
[试一试]：
例1．〔1〕用定义求函数y3x2在x1处的导数.
〔2〕求函数f（x）=x2x在x1周边的均匀变化率，并求出在该点处的导数．
图
当点Pn沿着曲线无穷靠近点
P即
x→0时，割线PPn趋近于确立的地点，这个确立地点的直线
例2．阅读教材P75例1,计算第3h时和第5h时,原油温度的刹时变化率
PT称为曲线在点
P处的
.
并说明它们的意义.
[想想]：
〔1〕割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？
〔2〕切线PT的斜率k为多少？
[学习小结]：
1．刹时速度、刹时变化率的观点
〔3〕此处切线的定义与从前学过的切线的定义有什么不一样？
2．函数y
f（x）在xx0处的导数及其实质
[作业]：
形成练习
P43-44练习22导数的观点
三、导数的几何意义〔阅读教材P74-75〕[新知1]：
导数的几何意义：
出色文档
1.
函数y
f（x）在x
x0
处的导数等于
即
f（x0）
lim
f（x0x）
f（x0）
x
k
x0
2.
函数y
f（x）在x
x0
处的切线方程是
.
3.求曲线在某点P处的切线方程的根本步骤:
①求出点的坐标P（x0,f（x0））；
②求出函数在点
xx0
处的变化率f（x0）lim
0
f（x0x）f（x0）
k，
x
x
获得曲线在点
P（x0,f（x0））的切线的斜率；
③利用点斜式求切线方程.
[新知2]：
导函数：
1.什么是函数yf（x）的导函数？
2.函数f（x）在点x0处的导数f（x0）、导函数f（x）、导数之间的差别与联系？
[试一试]：
例1:
〔1〕求曲线yf（x）x21在点P（1,2）处的切线方程.
例2：
在曲线yx2上过哪一点的切线平行于直线y4x5？
适用标准文案
例3：
〔1〕试描绘函数f（x）在x5,4,2,0,1周边的的变化状况.
〔2〕函数f（x）的图象,试画出其导函数f（x）图象的大概形状.
[练一练]：
〔1〕求函数f（x）3x2在点x1处的切线方程.
〔2〕设曲线f（x）x2在点P0处的切线斜率是3，那么点P0的坐标是
[学习小结]：
1.导数的几何意义是什么？
2.函数f（x）在点x0处的导数f（x0）、导函数f（x）、导数之间的差别与联系？
3.求曲线在某点
P处的切线方程的根本步骤:
[作业]：
1.形成练习P44-45练习23导数的几何意义；
2.
学探诊测试十一
[课后思虑]：
1.
本节知识内容有哪些？
你学会了什么？
2.
你还有哪些疑惑？
快快去解决.
课题：
§导数的计算
出色文档
学习目标：
1．会利用导数的定义推导函数
yc、yx、yx2、y
1
的导数公式；
x
2．掌握根本初等函数的求导公式及导数的运算法那么，会求简单函数的导数
.
学习过程：
一、几个常用函数的导数
[开篇语]：
我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时辰
的刹时速度．那么，对于函数yf（x），如何求它的导数呢？
由导数定义自己，给出了求导数的最根本的方法，但因为导数是用极限来定义的，因此求导
数老是归纳到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快求出某些函数的导数，
这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下边我们先来求几个常用的函数的导数．
[
思虑与研究
]
：
阅读教材
81-82，利用导数的定义，试试自己推导函数
yc、y
x、
yx
2
、
P
1
y的导数
x
[练一练1]：
利用导数的定义函数yx3的导数
适用标准文案
〔1〕
yx
3
〔2〕
yxx
〔3〕
y
1
x2
〔4〕y2sinxcosx
〔5〕y
1
22
x
例2：
〔1〕求y
1
在点（2,1）处的切线方程
x
2
〔2〕求ylnx在xe2处的切线方程
〔3〕求ysinx在点A（,1）处的切线方程
62
〔4〕设曲线f（x）2x2在点P0处的切线斜率是3，那么点P0的坐标是
二、根本初等函数的导数公式及导数运算法那么
[记一记1]：
根本初等函数的导数公式
（c）
〔5〕在曲线
1.
_________
2.
（x）
________
〔
为有理数〕
（1）
_________
x
3.
（ex）
_________
（ax）
_________（a0,a1）
〔6〕求过点
4.
（lnx）
__________
（logax）
________（a0,a1）
5.
（sinx）
_________
（cosx）
_________
yx2上过哪一点的切线平行于直线y4x5？
P2,8所作的yx3的切线方程___________.
[练一练2]
例1：
求以下函数的导数[记一记2]：
导数运算法那么：
设函数f（x）,g（x）是可导函数，
出色文档
1.
（f（x）
g（x））
_________________.
2.
（f（x）
g（x））
_________________.
3.
（f（x））
_________________.
g（x）
[练一练3]：
练1.求以下函数的导数：
〔1〕y
1
x；
〔2〕y
log3
x
〔3〕y2x53x25x4；〔4〕y
练2.求以下函数的导数：
〔1〕yx3
log2x；
〔2〕y
xnex；
cf（x）_____________.
2ex；
3cosx4sinx.
x31
〔3〕y
sinx
适用标准文案
[提升篇]
1.〔旭日一模〕函数fx
x2
a2xalnx，此中a
R，求曲线y
fx在点
2,f2
处的切线的斜率为
1
的值.〔如改为切线方程〕
，求a
2.〔2021北京〕函数fxax2
1a
0，gx
x3
bx.假定曲线y
fx与曲线ygx
在它们的交点1,c处拥有公共切线，求
a,b的值.
练3.〔1〕设曲线y
x
1在点（3,2）处的切线与直线ax
y10垂直，那么a的值.
x
1
〔2〕〔2021年江西〕假定曲线
yx1（α∈R）在点（1,2）处的切线经过坐标原点
那么
α
的值.
[学习小结]：
1．对于简单的函数均可利用求导法那么与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类
简单函数的导数.
2．对于函数求导，一般要按照先化简，再求导的根来源那么。
求导时，不只要重视求导法那么
的应用，并且要特别注意求导法那么对求导的限制作用.在实行化简时，第一要注意化简的等价性，防备不用要的运算失误.
[作业]：
1.形成练习P45-48练习24、常有函数的导数；练习25导数的四那么运算
2.学探诊测试十二、十三
[课后思虑]：
1.本节知识内容有哪些？
你学会了什么？
2.你还有哪些疑惑？
快快去解决.
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课题：
§3.3导数在研究函数中的应用
学习目标：
1.能利用导数研究函数的单一性，会求函数的单一区间；
2．理解极大值、极小值的观点；能够运用鉴别极大值、极小值的方法来求函数的极
值；掌握求可导函数的极值的步骤；
3.理解函数的最大值和最小值的观点；掌握用导数求函数最值的方法和步骤.
学习过程：
一、函数的单一性与导数
[知识回想]
1.从前，我们用定义来判断函数的单一性.
函数f（x），对于随意的两个数x1,x2D〔D为函数f（x）定义域内的某个区间〕，假定
当x1x2时，有，那么函数f（x）就是区间D上的增函数，D是；假定
当x1x2时，有，那么函数f（x）就是区间D上的减函数，D是.
2．C'；（x）；（sixn）'；（coxs）'；
（lnx）'；（logax）'；（ex）；（ax）_________
y
[问题研究一]：
函数的导数与函数单一性的关系
fx=x2-4x+3
1.阅读教材P89-90后，你有了哪些新的认识？
还有哪些迷惑？
适用标准文案
一般地，设函数yf（x）在某个区间内有导数，假定在这个区间内f（x），那么函数
yf（x）在这个区间内单一递加；假定在这个区间内f（x），那么函yf（x）在这个区间内
单一递减.
［想想］：
判断函数的的单一性，求函数单一区间的步骤应是如何的？
［试一试］：
例1：
判断以下函数的单一性，并求出单一区间．
〔1〕f（x）x22x4；〔2〕f（x）3xx3；
〔3〕f（x）exx〔4〕f（x）2x2lnx
2.自己再研究一下以下问题
B
问题：
我们知道，曲线
y
f（x）的切线的斜率就是函数
y
f（x）
O12
3
x
A
的导数.经过函数y
x2
4x
3的图像来察看：
在区间〔
2，
〕内，
图像上每一点处的切线斜率都为
，也就是f
（x）
0，此时函数y
f（x）的值随x的增大
而
.即f（x）
0时，函数y
f（x）在区间〔2，
〕内为
函数；在区间〔
，2〕内，
图像上每一点处的切线斜率都为
，也就是f（x）
0，此时函数
y
f（x）的值随x的增大
而
，即f（x）
0时，函数
y
f（x）在区间〔
，2〕内为
函数
y
x2
4x3
切线的斜率
f
（x）
（2，+∞）
（－∞，2）
[新知]：
[问题研究二]：
假如f（x）在某个区间内恒有f（x）0，那么函数f（x）有什么特征？
［练一练］：
1.
导函数的以下信息，试画出函数
f（x）图象的大概形状.
当1
x4时，f（x）0；
当x
4，或x
1时，f（x）0；
当x
4，或x
1时，f（x）0.
2.
函数y
f（x）的图象以下列图，试画出导函数
f（x）图象的大概形状.
出色文档
适用标准文案
2x3
6x2
3.设f（x）是函数f（x）的导函数,y
f（x）的图象如右图所示，那么
y
3.求证：
函数f（x）
7在（0,2）内是减函数.
yf（x）的图象最有可能的是〔
〕
O12x
y
y
y
y
xO12
2
O1
［学习小结］：
1.用导数求函数单一区间的步骤；
2.函数图像的增减与导数图像的关系
O12
x
O1
x
2
x
A
B
C
D
4.
如右图所示是某一容
器的三视图，现向容器中匀速灌水，容器中水
面的高度h随时间t变化的可能图象是〔
〕
正视图
侧视图
［知识拓展］：
导数绝对值的大小与函数图象变化的关系〔阅读教材
P〕
93
h
h
h
h
俯视图
O
tO
t
O
tO
t
（A）
（B）
（C）
（D）
［作业］：
1.形成性练习P50-51
练习26导数与函数的单一性
2.学探诊测试十四
5.
假定函数y
f（x）的图象如右图，那么导函数y
f（x）的图象可能是（
）
［牢固练习］：
1.
函数f（x）的定义域为开区间
（3,3），导函数f（x）在
yf（x）
2
区间（3,3）内的图象以下列图，那么函数
f（x）的单一增
2
区间是___________单一增区间是_
2.
假定函数f（x）x2
bx
c的图象的极点在第四象限，那么
6.
设f'（x）
是函数f（x）的导函数，将
y
f（x）和y
f'（x）的图像画在同一个直角坐标系中，不行
其导函数f'（x）的图象是〔
〕
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适用标准文案
能正确的选项是〔
〕
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