二维波动方程的有限差分法电子教案文档格式.docx
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曾芳
成绩
是
一．实验目的
通过该实验，要求学生掌握求解二维波动方程的有限差分法，并能通过计算机语言编程实现。
二．实验内容
考虑如下的初值问题：
（1）
1．在第三部分写出问题
（1）三层显格式。
2．根据你写出的差分格式，编写有限差分法程序。
将所写程序放到第四部分。
3．取
，分别将
时刻的数值解画图显示。
4.该问题的解析解为
，将四个时刻的数值解的误差画图显示，对数值结果进行简单的讨论。
三．实验原理、方法（算法）、步骤
网格划分
，故
，
。
在内网点
，利用二阶中心差商，对
（1）建立差分格式：
（2）
整理得到：
（3）
其中，
，网比
，局部截断误差为
考虑边界条件
，差分格式为：
（4）
考虑初始条件
（5）
，利用二阶差商近似：
（6）
设
时刻的点为内点，则满足差分格式
（2），代入上式得到：
（7）
将（6）得到的结果
代入（7）中，整理得到：
（8）
综上
（2）、（4）、（5）、（8）得到三层显格式的差分格式为：
（9）
其中
四．实验环境（所用软件、硬件等）及实验数据文件
Matlab
%二维波动方程数值计算（关键：
怎么运用i,j,k三个指标建立循环）
clc;
%可以将代码换成函数m文件
h=0.1;
tau=0.1*h;
%定义步长
r=tau/h;
%网比
[x,y,t]=meshgrid（0:
h:
1,0:
tau:
1.4）;
%空间网格剖分
uu=cos（sqrt
（2）*pi*t）.*sin（pi*x）.*sin（pi*y）;
%精确解计算
%第一层网点计算
u=sin（pi*x）.*sin（pi*y）;
%初始条件
u1=u（:
:
1）;
%因为此时得到的u为11x11x141，故只取第一层
%第二层网点计算
fori=2:
10
forj=2:
u（i,j,2）=0.5*r^2*（u（i+1,j,1）+u（i-1,j,1）+u（i,j+1,1）+u（i,j-1,1））+（1-2*r^2）*u（i,j,1）;
u（11,:
2）=0;
u（:
11,2）=0;
end
end
u2=u（:
2）;
%第3-141层网点计算
fork=2:
140
fori=2:
u（i,j,k+1）=r^2*（u（i+1,j,k）+u（i-1,j,k）+u（i,j+1,k）+u（i,j-1,k））+（2-4*r^2）*u（i,j,k）-u（i,j,k-1）;
k+1）=0;
11,k+1）=0;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%结果分析与作图%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
wucha=abs（u-uu）;
%求绝对误差矩阵11x11x141
wucha1=wucha（:
11）;
%计算t=0.1时刻的绝对误差矩阵11x11
wucha2=wucha（:
51）;
%计算t=0.5时刻的绝对误差矩阵11x11
wucha3=wucha（:
101）;
%计算t=1.0时刻的绝对误差矩阵11x11
wucha4=wucha（:
141）;
%计算t=1.4时刻的绝对误差矩阵11x11
x0=0:
1;
y0=0:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%误差分析%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%作t=0.1时刻的绝对误差图
subplot（2,2,1）;
mesh（x0,y0,wucha1）;
title（'
t=0.1时刻的绝对误差'
）;
xlabel（'
x变量'
ylabel（'
y变量'
zlabel（'
绝对误差值'
%作t=0.5时刻的绝对误差图
subplot（2,2,2）;
mesh（x0,y0,wucha2）;
t=0.5时刻的绝对误差'
%作t=1.0时刻的绝对误差图
subplot（2,2,3）;
mesh（x0,y0,wucha3）;
t=1.0时刻的绝对误差'
%作t=1.4时刻的绝对误差图
subplot（2,2,4）;
mesh（x0,y0,wucha4）;
t=1.4时刻的绝对误差'
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%四个时刻数值解、精确解%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%作t=0.1、0.5时刻的数值解与精确解
mesh（x0,y0,u（:
11））;
%作t=0.1时刻的数值解
t=0.1时刻的数值解'
u值'
mesh（x0,y0,uu（:
%作t=0.1时刻的精确解
t=0.1时刻的精确解'
%%作t=0.5时刻的数值解与精确解
51））;
%作t=0.5时刻的数值解
t=0.5时刻的数值解'
%作t=0.5时刻的精确解
t=0.5时刻的精确解'
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%分别复制粘贴运行%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%作t=1.0、1.4时刻的数值解与精确解
101））;
%作t=1.0时刻的数值解
t=1.0时刻的数值解'
%作t=1.0时刻的精确解
t=1.0时刻的精确解'
%%作t=1.4时刻的数值解与精确解
141））;
%作t=1.4时刻的数值解
t=1.4时刻的数值解'
%作t=1.4时刻的精确解
t=1.4时刻的精确解'
五．实验结果及实例分析
1、
时刻的数值解与精确解图
图1t=0.1、0.5时刻的数值解、精确解
图2t=1.0、1.4时刻的数值解、精确解
注：
上两图为四个时刻的数值解与精确解，
，三层显格式达二阶收敛，不难看出，收敛效果很好，符合理论。
下图是四个时刻的绝对误差图像，从图中看出，绝对误差较小，且经过计算得到，收敛阶近似于2，正好符合理论值。
2、
时刻的绝对误差图
图3四个时刻的绝对误差
3、四个时刻（t=0.1、0.5、1.0、1.4）的绝对误差表
t=0.1时刻的绝对误差
0.0000
0.0001
0.0002
0.0003
0.0004
0.0005
0.0006
0.0007
0.0008
t=0.5时刻的绝对误差
0.0013
0.0018
0.0021
0.0022
0.0025
0.0034
0.0040
0.0042
0.0047
0.0055
0.0058
0.0065
0.0068
0.0071
t=1.0时刻的绝对误差
0.0016
0.0031
0.0043
0.0051
0.0053
0.0059
0.0082
0.0096
0.0101
0.0113
0.0132
0.0139
0.0156
0.0164
0.0172
t=1.4时刻的绝对误差
0.0009
0.0011
0.0012
0.0015
0.0017
0.0019
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