高考数学三角函数大题综合训练文档格式.docx
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（2）若AD=1,DC=—，求BD和AC的长.
10.（2015?
湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA，且B为钝角.
（I）证明：
B-A=;
的内角，tanA,tanB是关于方程x2+_;
px-p+仁0
A,B,C的内角对边分别为a,b,c,满足（a+b+c）
（H）求sinA+sinC的取值范围.
11.（2015?
四川）已知A、B、CABC（p€R）两个实根.
（I）求C的大小
（H）若AB=3,AC=「，求p的值.
12.（2015?
河西区二模）设厶ABC的内角（a-b+c）=ac.
（I）求B.
（H）若sinAsinC=，求C.
13.（2015?
浙江）在△ABC中，内角A,
B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=4,『
22
-a=c.
（1）求tanC的值；
（2）若厶ABC的面积为3，求b的值.
14.（2015?
陕西）AABC的内角A,B,
C所对的边分别为a,b,c.向量=（a,■:
b）
与=（cosA,sinB）平行.
（I）求A；
（H）若a=匸，b=2,求厶ABC的面积.
15.（2015?
江苏）在△ABC中，已知AB=2,AC=3,A=60°
（1）求BC的长；
（2）求sin2C的值.
16.（2015?
天津）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面
积为3口，b-c=2,cosA=-—
（I）求a和sinC的值；
（H）求cos（2A+一）的值.
6
17.（2015?
怀化一模）已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，c=「asinC
-ccosA.
（I）求角A;
（2）若a=2,△ABC的面积为二，求b,c.
18.（2015?
甘肃一模）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB.
（1）求cosB的值；
（H）若•八，，且求a和c的值.
19.（2015?
衡水四模）在厶ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,函数f（x）=2cosxsin
CTT
（x-A）+sinA（x€R）在x=处取得最大值.
12
（1）当-：
——时，求函数f（x）的值域；
（2）若a=7且sinB+sinC=亠一’，求△ABC的面积.
14
20.（2015?
潍坊模拟）已知函数f（x）=2cos2x+2】sinxcosx（x€R）.
（I）当x€[0,'
]时，求函数f（x）的单调递增区间；
（H）设△ABC的内角A,B,C的对应边分别为a,b,c,且c=3,f（C）=2，若向量=
（1,sinA）与向量i'
.=（2,sinB）共线，求a,b的值.
21.（2015?
济南二模）已知向量宜=（cos（2x-—）,cosx+sinx）,片=（1,cosx-sinx）,
3
函数f（x）=..•.
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（□）在厶ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知f（A）=；
a=2,B==_，
23
求厶ABC的面积S.
22.（2015?
和平区校级三模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c,且a=3,
JT
b=4,B=—+A.
（1）求cosB的值；
（2）求sin2A+sinC的值.
（1）求角A;
（2）若a=二求bc的取值范围.
24.（2015?
河北区一模）在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且2cosAcosC+1=2sinAsinC.
（I）求B的大小；
（n）若「.一二，求△ABC的面积.
乙
25（2015?
云南一模）在厶ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，且…=（sinA+sinB+sinC,
sinC）,n=（sinB,sinB+sinC-sinA）,若it“m
（1）求A的大小；
26.（2015?
历下区校级四模）已知向量
-cost,
1），
（2）设-'
为^ABC的面积，求.’，I■.'
的最大值及此时B的值.
（I）求函数f（x）的最小正周期；
（n）已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a=3,「.-
（A为锐角），2sinC=sinB，求A、c、b的值.
27.（2015?
高安市校级模拟）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知sin
（A+一）+2cos（B+C）=0，
28.（2015?
威海一模）
△ABC中，A,B,C所对的边分别为
a,b,c,
（2）若a=6，求b+c的取值范围.
sin（B-A）=cosC.
（I）求A,B,C;
（n）若S^abc=3+「；
，求a,c.
29.（2015?
新津县校级模拟）已知向量
.1、m、....1■__y.:
.■'
//■:
■__y-.，函数f（x）=：
./
（□）在厶ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f（B）=1,b=匸,sinA=3sinC,求厶ABC的面积.
耳1
30.（2015?
和平区二模）在△ABC中，角A,B,C为三个内角，已知cosA=,cosB=,
75
BC=5.
（I）求AC的长；
（n）设D为AB的中点，求CD的长.
三角函数大题综合训练
参考答案与试题解析
1.（2016?
白山一模）在厶ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知二1=—_"
（2）若c=2,求使△ABC面积最大时a,b的值.
【考点】正弦定理；
余弦定理.
【专题】解三角形.
【分析】
（1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角
和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosC的值，即可确定出C
的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，将c与cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值,
进而确定出三角形ABC面积的最大值，以及此时a与b的值即可.
•••由正弦定理化简已知等式得:
sinCcosC
整理得:
2sinAcosC+sinBcosC=
-sinCcosB，即一2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin
（B+C）
【解答】解：
（1）vA+C=n-B,即卩cos（A+C）=-cosB,
=sinA,
■/sinA旳,
•cosC=-—
•/c为三角形内角,
•C=「厂；
（n）°
.°
c=2,cosC=—,
亠22222
•••由余弦定理得：
c=a+b-2abcosC,即4=a+b+ab^2ab+ab=3ab,
•ab<
（当且仅当a=b时成立），
•••s=,absinC=严：
•••当a=b时，△ABC面积最大为，此时a=b=,
33
则当a=b=「时，△ABC的面积最大为：
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
2.（2016?
（H）若△ABC的面积S=57,b=5，求sinBsinC的值.
（I）利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简
3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cosA，得到cosA的值，即可求解A.
（II）通过三角形的面积求出b、c的值，利用余弦定理以及正弦定理求解即可.
（I）由3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cosA，得
2cosA+3cosA-2=0,（2分）
即（2cosA-1）（cosA+2）=0.
解得cosA=：
或cosA=-2（舍去）.（4分）
因为OVAVn,所以A=K.（6分）
S=JibesinA=Jibe?
，=^Jbc=5
2224
又b=5，所以c=4.（8分）
由余弦定理，得a=b+c-2bccosA=25+16-20=21，故a=.八.（10分）
又由正弦定理，得sinBsinC='
sinA?
sinA=—?
sin2A=x=.————
aaa22147
【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查转化思想以
及计算能力.
（I）求函数f（x）取得最大值时x的集合;
=-—,求sinA的
（H）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=,f（C）
5
三角函数中的恒等变换应用.
【专题】转化思想；
综合法；
解三角形.
（I）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的值域求得函数f（x）取得最大值时x的集合.
7TJT
（H）由条件求得cos（2C+——）=-—,C=—-，求出sinB的值，再根据sinA=sin（B+C）
求得它的值.
【解答】解:
l2■；
■22；
'
\2
（I）函数f（x）cosxsinxcosxsinx=cosxsinxcosx+（cosx
42424
•2、
-sinx）
l+cos2x
V311V3K
—sin2x+—cos2x=—+—cos（2x+）,
4
故函数取得最大值为
'
：
此时，—k冗时，即x的集合为
{x|x=kn-[g
4226
（H）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=「；
，f（C）=■+；
cos（2C+二）
5226
-
-，
•••cos（2C+l）=-丄二，又A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角,
6
同角三角函数的基本关系，属于中
■/cosB=,
•sinB=^
•sinA=sin
（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=・+-=—_——
525210
【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的值域,
档题.
（2）若
【考点】余弦定理；
三角形的面积公式.
（1）利用余弦定理，可求角C的值;
（2）利用三角形的面积公式，可求a的值.
I解答】解：
（1）Vc2=a2+b2-ab，-cOsC"
「；
•/0°
<
Cv180°
•C=60°
解得a=3.
【点评】本题考查余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，正确运用公式是关键.
5.（2016?
惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，/D=2/B，且AD=1,CD=3,cosB
（I）求△ACD的面积；
（n）若BC=2二，求AB的长.
J?
【考点】余弦定理的应用；
正弦定理.【专题】解三角形.
（I）利用已知条件求出D角的正弦函数值，然后求△ACD的面积;
（n）利用余弦定理求出AC,通过BC=2二，利用正弦定理求解AB的长.
【解答】
（共13分）
解:
（I）因为/D=2/B,彳—
所以.--21-2.Uz■'
-■-__••••（3分）因为/D€（0,n）,
所以1厂.•••（5分）
因为AD=1,CD=3,
-H-'
-._-.]•…（7分）
中，AC2=AD2+DC2-2AD?
DC?
cosD=12.
•••（9分）
■'
…（11分）
sinBsinZACB
所以
ac=2二,求sinA和c的值.
【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，基本知识的考查.
两角和与差的正弦函数.
【分析】①利用两角和与差的正弦函数公式以及基本关系式，解方程可得;
②利用正弦定理解之.
【解答】解：
①因为△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c已知cosB=：
sin（A+B）=^—,ac=2話.：
，所以sinB=^—,sinAcosB+cosAsinB=
A+cosA=1,
njy
所以sinA+!
cosA=〜，结合平方关系sin2
得27sin2A-6*：
「sinA-16=0,
解得sinA=——或者sinA=-^—-（舍去）;
0b?
（A+B）=sinC=.,sinA=—：
J
②由正弦定理，「.由①可知sin
sinAsinC
所以a=21c,又ac=2£
所以c=1.
【点评】本题考查了利用三角函数知识解三角形，用到了两角和与差的正弦函数、同角三角
函数的基本关系式、正弦定理等知识.
（I）若a=b,求cosB;
（H）设B=90°
且a=匚，求△ABC的面积.
（I）sinb=2sinAsinC，由正弦定理可得：
b=2ac，再利用余弦定理即可得出.
（II）利用（I）及勾股定理可得c,再利用三角形面积计算公式即可得出.
（I）：
sinB=2sinAsinC,
由正弦定理可得：
二；
>
0,
sinAsinBsinCk
代入可得（bk）2=2ak?
ck,
二b2=2ac,
a=b,「•a=2c,
（II）由（I）可得：
b2=2ac,
■/B=90°
且a='
二a2+c2=2ac,解得a=c='
.
与计算能力，属于中档题.
写
（H）若sinC-sinAcosB=，且B为钝角，求A,B,C.
【考点】正弦定理.
（I）由正弦定理及已知可得二^=，由sinA和，即可证明sinB=cosA.
sinBcosA
（H）由两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC-sinAcosB=cosAsinB=丄，由
（1）
sinB=cosA，可得sinB=—,结合范围可求B,由sinB=cosA及A的范围可求A，由三角形
内角和定理可求C.
Ta=btanA.
•••二=tanA,
•••由正弦定理：
-又tanA=cbsinBcosA
•二二：
一
•sinB=cosA.得证.
（n）vsinC=sin[n—（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,
o
•sinC—sinAcosB=cosAsinB='
，由
（1）sinB=cosA,
•sin2B='
B:
■/0VBVn,
•-C=n—A—B=
TB为钝角,
综上，A=C=,B「：
于基础题.
9.
（1）求
二…一]；
sinzlC
（2015?
【考点】正弦定理；
三角形中的几何计算.
（1）如图，过A作AE丄BC于E,由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分
/BAC及正弦定理可得sin/B=、'
：
，：
sin/C=>
，从而得解
BDDC
sin-ZC
（2）由
（1）可求BD=匚.过D作DM丄AB于M，作DN丄AC于N,由AD平分/BAC,可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的长.
（1）如图，过A作AE丄BC于E,
c^BDXAE
…m-i：
=■=2
■^DCXAE
•BD=2DC,
•/AD平分/BAC
•/BAD=/DAC
在厶ABD中，「门=…,•sin/R=M
sinZBADsinZBBD
DC
在厶ADC中，：
，=「,•sin/C==二二
sinZDACsinZC一
•二…一［「'
J.•£
分
sinZCE・D2
（2）由
（1）知，BD=2DC=2X二匚
2过D作DM丄AB于M，作DN丄AC于N,•/AD平分/BAC,
•DM=DN,
u-7ABXDM
-■■.1-=2
SAADC
1=2，訣CXDN
•AB=2AC,
令AC=x，贝UAB=2x,•••/BAD=/DAC,
•
•••由余弦定理可得:
•x=1,
•AC=1,
•BD的长为二AC的长为1.
cos/BAD=cos/DAC,
【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查.
10.（2015?
（n）求sinA+sinC的取值范围.
（I）由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；
（n）由题意可得A€（0,—）,可得0vsinAvP^,化简可得sinA+sinC=-2（sinA-丄）
2+:
由二次函数区间的最值可得.
8
（I）由a=btanA和正弦定理可得二」丄「=二「-,
cosAbsinB
•sinB=cosA，即sinB=sin+A）
又B为钝角，•+A€（,n）,
.mJTA.mAJT
--B=—+A，…B—A=—;
（n）由（I）知C=n-（A+B）=n-
•A€（0,—）,•sinA+sinC=sinA+sin
（A+一+A）='
-2A>
（"
-2A）
2J
+—
:
=sinA+cos2A=sinA+1-2sinA
=-2（sinA-）
•/A€（0,__
）,
•0vsinAvi,
•••由二次函数可知
—v-2（sinA-）
24
•sinA+sinC的取值范围为（一二，'
]
28
【点评】本题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，属基础题.
四川）已知A、B、CABC的内角，tanA,tanB是关于方程x2+■:
（p€R）两个实根.
（n）若AB=3,AC=二，
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