二阶电路的零输入响应.docx
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二阶电路的零输入响应
二阶电路的零输入呱应
§5。
6二阶电路的零输入响应
5.6.1二阶电路的初始条件
初始条件在二阶电路的分析逬程中起着决定性作用,确定初始条件时,必须注意以下几个方面。
第一,在分析电路时,要始终仔细考虑电密两端电压叱的檢性和流过电感电流务的方向9
第二,电容上的电压总是连续的,即
c(0_)
(5-31)
流过电感的电流也总是连续的,即
竝0)=兀©)
(5-32)
确定初始条件时,首先耍用(5-31)和(5—32)式确定没有突变的电路电流,电容电压和电感电流的初始值。
5o6.2RLC串联电路的零输入响应
如图5-37所示为RLC串联电路。
开关S闭合前,电容己经充电,且电容的电压%=%,电感中储存有电场能,且初始电流为当y=o时,开关s闭合,电容将通过垃放电,其中一部分被电阻消耗,另一部分被电感以磁场能的形式储存,之后磴场能有通过R转换成电场能,如此反复;同样,也有可能先是由电感储存的磁场能转换成电场能,井如此反复,当然也可能不存在能量的反复转换。
由@5-37所示参考方向,据KVL可得
一吃+叫+叫=0
且有fc=Y学,如=Ri=RC叫,妊=詔=卫警。
将其代入上端
atattudt
式(573〕是RLC早联电路放电过程以纶为变童旳微分方程,为一个线性常系数二阶微分方程。
如果以电流亍作为变量,则RLC串联电路的微分方程为
LC^+RC—+i=O卅dt
(5-34)
在此,仅以吃为变童进行分析,令Uc=A^'幷代入(5—33),得到其对应的特征方程
£3+g+i=o
求解上式,得到特征根为
(5_
35)
因此,电容电压坨用两特征根表示如下:
uc<5—
36)从式(5-35)可以看出,特征根坷、刃2仅与电路的参数和结构有关,而与激励和初始储能无关。
p、岛又称为固有频率,单位为奈培"每秒(N訂s),它与电路的自然响应函数有关.
棍据换路定则,可以确定方程(5-33)的初始条件为u^Q^=u^Oj=U0.
KOJ=t(OJ=/0?
又因为『c=—C讐,所以有C讐二一答。
将初始条件和式(5-3
6)联立可得
Al+—Uq
Aa+=~
(5-37)
首先讨论有己经充电的电容向电阻电感放电的性质,即5工0且Z0=O,有
①奈培是一个无量銅单位,以奈培(JohnNapier.英格兰数学家〉的名字命名。
j_pPq
Zli
Pl-Pl心-込P2-P1
(5—38)
将的表达式代入<5-36)式即可得到RLC早联电路的零输入响应,但特征根/V昭与电路的参数心L.C有关'根据二次方程根的判别式可知"r為只有三种可能情况,下面对这三种情况分别讨论
L过阻尼情况
在此情况下,Q为两个不相等的实数'电容电压可表示为
2怎加*)
(5—39)
根据电压电流的关系'可以求岀电路的其他响应为
i=—c如=-—穴)也Pl-Pl?
(5—40)
A急加*“)
(5-4
1)
其中利用了小巾=時的关系。
由于pl>p2.因此r>o时,尹》*且—>—^>o.所以r>o时Pi_P\Pi_P\
如一亘为正•从(5-40)可以看岀,当:
>0时M也一亘为正,但是进一步分析可知,当
UO时,xo+)=o,当(—8时,炉)=0,这袤明疋)将岀现极值,可以求一阶导数得
到,即
巩尹-=0
故t==—?
一加虽
p^~Pia
其中J为电流达到最大的时刻•吃.人妆的波形如图5-38所示。
图5-38过阻尼放电过程中叫「人叫的披形
从图5-38可以看出,电客在整个过程中一直在释放储的电能,称之为非振荡放电,有叫做过阻尼放电。
当时电感吸收能蛍建立磁场;t>im时,电感释放能莹,磁场衰减,趋向消失。
当t=tm时,电感电压过零点。
2.欠阻尼情况
二F*j3
(5
—42)
其中心花称之为振荡电路的袁减系数;
”彳舟-侥I称之为振蕩电路的衰减角频率。
屁称之为无阻尼自由窗频率,或浮振角孵。
显然有圧二疋+少2,令刃二arctan(弓,
则有a二%cosCcd—g^sulO,
如图5-39
所示。
根据欧拉公式
图5—了9a.0.%之间的关系
g"=cos0+jsin0
e西=cos0_/sin0
〈5—43)
可得
-丹jo
A=-^e,Pi=~Gke
所以有
=匕-[—*尸T十他忍U]—J2af
fL元-
=乞鱼£"sin(m十0)
Of
(5—44)
根据式(5-40),(5-41)可知
『二仏七S)
ojL
(5-45)
uL=一乞空©-叫血(曲_仍(5-
8
46)
从上述情况分析可以看出,%、八的液形呈振荡袞减状态•在衰减过程中,两种
储能元件相互交换能量'如表5—2所示。
%、J叫的波形如5-40所示。
图5-40欠阻尼情况下坨、1.叫的彼形
表5—2
007T-0电容
释戒
釋放
吸收
电感
吸收
絳放
釋放:
电阻
消耗
消耗
梢耗
从欠阴尼情况下叫、I.叫的液达式还能得到以下結论:
(1)皿=后,无=0丄23........为电流『的过零点,即昨的极值点。
(2)曲二b+0,*=0,1,23为电感电压叫的过零点,即电流r的极值点。
(3)at=k7c-0,A:
=0X23••……为电客电压坯的过零点。
奁上述阻尼的情况中,有一种特殊情况,疋=0,此时/V马为一对共砲虚数,
P2=一j%
Pi=/®o
代入到(5-44),(5-45)t炉46)式可得
叱二%sin(砒+空)
i=U叫耳sin(fiV)
(5-47)
(5-48)
7C
=Z70sm(cV+-)
(5-49)
由此可见,叫、人竝各量都是正弦函数,戯时推移其振幅并不衰减•其波形如图5—
41所示
5-41LCW入电路无阻尼时九"八盘乙波形
3。
R=2总,临界阻尼惰况
Pl=P1=
在此条件下,特征方程具有垂根,即
全微分方程(5—33)的通解为
%=(A+勾)戶
根拯初始条件可得
A=2^0
所以,很容易得到
%二IToQ+oO*逐
(5-50)
(5-51)
(5_52)
显然,uc.i.if’不作振荡变化,疏着时间的推移逐渐袞减,其衰减过程的波形与图
5-38类似。
此种状态是振荡过程与非振荡过程的分界线,所以将"2洁的过程称为临
界非振荡过程,具电阻也披称之为临界电阻。
§5.7二阶电路的零状态响应
如果二阶电路中动态元件的储能(电容储存电场能与电感储存的磁场能)均为零时,其响应仅由外施激励产生,称为二阶电路的零输入响应.
5.7.1RLC串联电路的零状态响应
电路如图5-47所示,开关S闭合前,电容和电感电流均为零・f=0时,开关S闭合。
图5-47RLC串联电路的零状杰响应
以如为电路的变BWVCR和KV「有
(5—63)方程(5£4)为二阶常系数非齐次微分方程,其解由两部分组成,一部分为非齐次方程的特解u另一師分为对应齐次方程的通解述二*巴即处=血十血。
方程(5-63)对应的齐次微分方程
(5-64)
方程〔5-64)与方程〔5—33)気全相同,其对应的特征方程的根也有三种情况。
将结论分别表示如下
1.尺>2(吕,非振荡充电过程
电路响应表示为
Us
其中ZV卫2为特征根,表达式与(5-35)式相同・!
£“■和%的波形如^5-4人生的磨难是很多的’所以我们不可对于每一件轻黴的饬害都过于敏感。
在生活磨难面前,精補轴1197坚膨吠动于衷是我们抵抗罪恶和人生意外的最好武器。
8所示,
图5-48%、F和冷的波形图
其中F=一1一luflf,是电感电压过零点,也是电流F达到最大值的时刻.
TTTT
”2—PlPl
2.,振荡充电过程
电路响应表示为
坨二叱(1+2/上勺+%
宀厂
L
叫二叫严Q—«0
其中a=2L,此情况下的充电过程也为耳左扼荡充电.
5.7.2RLC并联电路的零状态响应
二阶RLC并联电路如图5-49所示,wc(0)=0,^(0)=0.r>0时,开关S断
开。
根摇KCL有
k+h+h=4
图5-49ELC并联电路的零我态响应
如果以兀为待求变量,贝悄
為I皿
di1Rdt
(5-65)方程以(5-65)是二阶线性非齐次常微分方程,与(5-63)式的求解过程相同,其通解由特解兀和对应吝次微分方程通解兀两部分组成。
如果豪为直流激励或正弦激励,则取稳态解为恃解而通解乙与零输入响应形式相同,其积分常数有初始条件来确定。
§5。
8二阶电路的全响应
在前两节中所讨论的二阶电路中,旻么只有初始储能,旻么只有外施激励。
分别得到二阶微分方程求昶的方法非當相似°如果二阶电路既有初始储能又接入了外施激励,则电路的响应称为二阶电路的全响应.分析一阶电路的全响应的方法在二阶电路中同样适用,一般用零输入响应与零状态响应叠加来计算全响应.
例电路如图5—51所示,己知叫(。
_)二0,二0.5/,f=0时开关S闭合,求
开关闭合后电感中的电流iL(i).
图5-51例5—12图
解:
开关S闭合前,电惑中的电流iL(0_)=0^,具有初始储能;开关S闭合后:
直流激
励源作用于电路,故为二阶电路的全响应。
(1)列出开关闭合后的电路微分方程,列结点①KVL方程有
RLC令+碍+咫二10
将参数代入得
+普+戾“
设电路全响应为4(0=4+?
(4〕全响应为
又因为初始条件为
所以有
求解得
所以电流壮的全响应为
(2>根据强制分量计算出特解为
⑶为确定通解,首先列岀特征方程为31
p+_卫+_=0
52
特征根为,
p2=-G.l-j0.7
特征根Pi,p是一对共觇复根,所以换路后暂态过程的性质为欠阻尼性质,即
^=Ae^usin(Q.7t+ff)
加)=屮
=2+Ae^Atsin((}.7t+ff)
2+Asine=0.5(A)
4
O.7Xcos0—0.L"1.52
0=26L9°
iL(i)=[2+L52e^lfsin(0.7r+261.9^)]CA)