届浙江新高考数学一轮复习教师用书第一章1第1讲集合及其运算.docx

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届浙江新高考数学一轮复习教师用书第一章1第1讲集合及其运算

2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：

第一章-1-第1讲-集合及其运算

知识点

最新考纲

集合

了解集合、元素的含义及其关系．

理解集合的表示法．

了解集合之间的包含、相等关系．

理解全集、空集、子集的含义．

会求简单集合间的并集、交集．

理解补集的含义并会求补集.

命题及其关系、充分条件与必要条件

了解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义，及其相互之间的关系．

理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.

第1讲　集合及其运算

1．集合与元素

（1）集合元素的三个特征：

确定性、互异性、无序性．

（2）元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．

（3）集合的表示法：

列举法、描述法、图示法．

（4）常见数集的记法

集合

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

N

N*（或N＋）

Z

Q

R

2.集合间的基本关系

　表示

关系　

文字语言

符号语言

记法

基本关系

子集

集合A的所有元素都是集合B的元素

x∈A⇒

x∈B

A⊆B或

B⊇A

真子集

集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A

A⊆B，且存在x0∈B，x0∉A

AB

或BA

相等

集合A，B的元素完全相同

A⊆B，

B⊆A

A＝B

空集

不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集

任意x，x∉∅，∅⊆A

∅

3.集合的基本运算

集合的并集

集合的交集

集合的补集

图形

语言

符号

语言

A∪B＝

{x|x∈A，或x∈B}

A∩B＝

{x|x∈A，且x∈B}

∁UA＝

{x|x∈U，且x∉A}

4.集合的运算性质

（1）并集的性质：

A∪∅＝A；A∪A＝A；

A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.

（2）交集的性质：

A∩∅＝∅；A∩A＝A；

A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.

（3）补集的性质：

A∪（∁UA）＝U；A∩（∁UA）＝∅．

（4）∁U（∁UA）＝A；∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）；

∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．

[疑误辨析]

判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{（x，y）|y＝x2＋1}．（　　）

（2）若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.（　　）

（3）{x|x≤1}＝{t|t≤1}．（　　）

（4）对于任意两个集合A，B，（A∩B）⊆（A∪B）恒成立．　　（　　）

（5）若A∩B＝A∩C，则B＝C.（　　）

答案：

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）√　（5）×

[教材衍化]

1．（必修1P12A组T3改编）若集合P＝{x∈N|x≤

}，a＝2

，则（　　）

A．a∈P　　B．{a}∈P　　C．{a}⊆P　　D．a∉P

解析：

选D.因为a＝2

不是自然数，而集合P是不大于

的自然数构成的集合，所以a∉P.故选D.

2．（必修1P11例9改编）已知U＝{α|0°<α<180°}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，则∁U（A∪B）＝________．

答案：

{x|x是直角}

3．（必修1P44A组T5改编）已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________．

解析：

集合A表示以（0，0）为圆心，1为半径的单位圆，集合B表示直线y＝x，圆x2＋y2＝1与直线y＝x相交于

两点

，

，则A∩B中有两个元素．

答案：

2

[易错纠偏]

（1）忽视集合中元素的互异性致误；

（2）忽视空集的情况致误；

（3）忽视区间端点值致误．

1．已知集合A＝{1，3，

}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝________．

解析：

因为B⊆A，所以m＝3或m＝

，即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合元素的互异性可知，m≠1，所以m＝0或3.

答案：

0或3

2．已知集合M＝{x|x－2＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．

解析：

易得M＝{2}．因为M∩N＝N，所以N⊆M，所以N＝∅或N＝M，所以a＝0或a＝

.

答案：

0或

3．已知集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝________，A∪B＝________，（∁RA）∪B＝________．

解析：

由已知得A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，所以A∩B＝{x|2＜x＜3}，A∪B＝{x|1＜x＜4}，

（∁RA）∪B＝{x|x≤1或x＞2}．

答案：

（2，3）　（1，4）　（－∞，1]∪（2，＋∞）

　　　　　　集合的含义

（1）已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{（x，y）|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是（　　）

A．1　　　　　　　　　　　B．3

C．6D．9

（2）若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝（　　）

A．

B．

C．0D．0或

（3）设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝

，则b－a＝________．

【解析】　

（1）当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；当x＝2时，y＝0，1，2.

故集合B＝{（0，0），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），（2，2）}，

即集合B中有6个元素．

（2）当a＝0时，显然成立；

当a≠0时，Δ＝（－3）2－8a＝0，

即a＝

.

（3）因为{1，a＋b，a}＝

，a≠0，

所以a＋b＝0，则

＝－1，

所以a＝－1，b＝1.

所以b－a＝2.

【答案】　

（1）C　

（2）D　（3）2

与集合中的元素有关问题的求解步骤

1．（2020·温州八校联考）已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为（　　）

A．1或－1B．1或3

C．－1或3D．1，－1或3

解析：

选B.因为5∈{1，m＋2，m2＋4}，所以m＋2＝5或m2＋4＝5，即m＝3或m＝±1.当m＝3时，M＝{1，5，13}；当m＝1时，M＝{1，3，5}；当m＝－1时，不满足互异性．所以m的值为3或1.

2．已知集合A＝{x|x∈Z，且

∈Z}，则集合A中的元素个数为________．

解析：

因为

∈Z，所以2－x的取值有－3，－1，1，3，又因为x∈Z，所以x的值分别为5，3，1，－1，故集合A中的元素个数为4.

答案：

4

　　　　　　集合的基本关系

（1）（2020·浙江省绿色联盟联考）已知A⊆B，A⊆C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，则集合A可以为（　　）

A．{1，8}　　　B．{2，3}C．{0}　　　D．{9}

（2）已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．

【解析】　

（1）因为A⊆B，A⊆C，所以A⊆{B∩C}＝{1，8}，故选A.

（2）因为B⊆A，

所以①若B＝∅，则2m－1

②若B≠∅，则

解得2≤m≤3.

由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为m≤3.

【答案】　

（1）A　

（2）（－∞，3]

1．（变条件）在本例

（2）中，若A⊆B，如何求解？

解：

若A⊆B，则

即

所以m的取值范围为∅.

2．（变条件）若将本例

（2）中的集合A改为A＝{x|x<－2或x>5}，如何求解？

解：

因为B⊆A，

所以①当B＝∅时，即2m－1

②当B≠∅时，

或

解得

或

即m>4.

综上可知，实数m的取值范围为（－∞，2）∪（4，＋∞）．

1．设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则（　　）

A．P⊆QB．Q⊆P

C．∁RP⊆QD．Q⊆∁RP

解析：

选C.因为P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}＝{y|y≤1}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}，所以∁RP＝{y|y>1}，所以∁RP⊆Q，选C.

2．（2020·绍兴调研）设A＝{1，4，2x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝________．

解析：

由B⊆A，则x2＝4，或x2＝2x.当x2＝4时，x＝±2；当x2＝2x时，x＝0或x＝2.但当x＝2时，2x＝4，这与集合中元素的互异性相矛盾．故x＝－2或x＝0.

答案：

－2或0

3．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

解析：

由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1，2}．由题意知B＝{1，2，3，4}，

所以满足条件的C可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．

答案：

4

　　　　　　集合的基本运算（高频考点）

集合的基本运算是历年高考的热点，每年必考，常和不等式的解集、函数的定义域、值域等相结合命题，主要以选择题的形式出现．试题多为低档题．主要命题角度有：

（1）求集合间的交、并、补运算；

（2）已知集合的运算结果求参数．

角度一　求集合间的交、并、补运算

（1）（2018·高考浙江卷）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，则∁UA＝（　　）

A．∅B．{1，3}

C．{2，4，5}D．{1，2，3，4，5}

（2）（2019·高考浙江卷）已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，则

∩B＝（　　）

A．{－1}　　　　　　　　B．{0，1}

C．{－1，2，3}D．{－1，0，1，3}

（3）（2020·浙江高考模拟）设全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|1

【解析】　

（1）因为U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，

所以∁UA＝{2，4，5}．故选C.

（2）由题意可得∁UA＝{－1，3}，则（∁UA）∩B＝{－1}．故选A.

（3）因为A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1

B＝{x|1

所以A∪B＝{x|－1

又因为A∩B＝{x|1

所以∁U（A∩B）＝{x|x≤1或x≥2}．

【答案】　

（1）C　

（2）A　（3）（－1，3）　（－∞，1]∪[2，＋∞）

角度二　已知集合的运算结果求参数

（1）设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝（　　）

A．{1，－3}B．{1，0}

C．{1，3}D．{1，5}

（2）（2020·浙江新高考优化卷）已知A＝{x|x>1}，B＝{x|x

A．－1　　　　　　B．0

C．1D．2

【解析】　

（1）因为A∩B＝{1}，

所以1∈B，

所以1－4＋m＝0，

所以m＝3.

由x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.

所以B＝{1，3}．

经检验符合题意．故选C.

（2）因为A∪B＝R，

所以m>1.

故m的值可以是2，故选D.

【答案】　

（1）C　

（2）D

（1）集合运算的常用方法

①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解．

②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．

（2）利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法

①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．

②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解．

[提醒]　在求出参数后，注意结果的验证（满足互异性）．　

1．已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪（∁RQ）＝（　　）

A．[2，3]B．（－2，3]

C．[1，2）D．（－∞，－2]∪[1，＋∞）

解析：

选B.由于Q＝{x|x≤－2或x≥2}，

∁RQ＝{x|－2＜x＜2}，

故得P∪（∁RQ）＝{x|－2＜x≤3}．故选B.

2．设全集S＝{1，2，3，4}，且A＝{x∈S|x2－5x＋m＝0}，若∁SA＝{2，3}，则m＝________．

解析：

因为S＝{1，2，3，4}，∁SA＝{2，3}，所以A＝{1，4}，即1，4是方程x2－5x＋m＝0的两根，由根与系数的关系可得m＝1×4＝4.

答案：

4

核心素养系列1　数学抽象——集合的新定义问题

以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．

对于E＝{a1，a2，…，a100}的子集X＝{ai1，ai2，…，aik}，定义X的“特征数列”为x1，x2，…，x100，其中xi1＝xi2＝…＝xik＝1，其余项均为0.例如：

子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0.

（1）子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于________；

（2）若E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100满足p1＝1，pi＋pi＋1＝1，1≤i≤99，E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100满足q1＝1，qj＋qj＋1＋qj＋2＝1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为________．

【解析】　

（1）由已知可得子集{a1，a3，a5}的“特征数列”为1，0，1，0，1，0，…，0，故其前3项和为2.

（2）由已知可得子集P为{a1，a3，…，a99}，子集Q为{a1，a4，a7，…，a100}，则两个子集的公共元素为a1到a100以内项数被6除余1的数对应的项，即a1，a7，…，a97，共17项．

【答案】　

（1）2　

（2）17

解决集合新定义问题的方法

（1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．　

（2）用好集合的性质．集合的性质（概念、元素的性质、运算性质等）是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．

　设数集M＝{x|m≤x≤m＋

}，N＝{x|n－

≤x≤n}，且M，N都是集合U＝{x|0≤x≤1}的子集，定义b－a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”，则集合M∩N的长度的最小值为________．

解析：

在数轴上表示出集合M与N（图略），

可知当m＝0且n＝1或n－

＝0且m＋

＝1时，M∩N的“长度”最小．

当m＝0且n＝1时，M∩N＝{x|

≤x≤

}，

长度为

－

＝

；

当n＝

且m＝

时，M∩N＝{x|

≤x≤

}，

长度为

－

＝

.

综上，M∩N的长度的最小值为

.

答案：

[基础题组练]

1．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

解析：

选B.因为集合A和集合B有共同元素2，4，所以A∩B＝{2，4}，所以A∩B中元素的个数为2.

2．（2020·温州十五校联合体联考）已知集合A＝

，B＝

，则A∪B＝（　　）

A．（－∞，1]B．（0，1]

C．[1，e]D．（0，e]

解析：

选A.因为A＝

＝

，

B＝

＝

，

所以A∪B＝（－∞，1]，故选A.

3．（2020·宁波高考模拟）已知全集U＝A∪B＝{x∈Z|0≤x≤6}，A∩（∁UB）＝{1，3，5}，则B＝（　　）

A．{2，4，6}　　　　　　　　B．{1，3，5}

C．{0，2，4，6}D．{x∈Z|0≤x≤6}

解析：

选C.因为全集U＝A∪B＝{x∈Z|0≤x≤6}＝{0，1，2，3，4，5，6}，A∩（∁UB）＝{1，3，5}，所以B＝{0，2，4，6}，故选C.

4．设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则（A∪B）∩C＝（　　）

A．{2}B．{1，2，4}

C．{1，2，4，6}D．{x∈R|－1≤x≤5}

解析：

选B.因为A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，所以A∪B＝{1，2，4，6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，所以（A∪B）∩C＝{1，2，4}．故选B.

5．（2020·宜春中学、新余一中联考）

已知全集为R，集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|2x<1}，则图中阴影部分表示的集合是（　　）

A．{x|2

C．{x|0≤x<6}D．{x|x<－1}

解析：

选C.由x2－5x－6<0，

解得－1

由2x<1，解得x<0，所以B＝{x|x<0}．

又图中阴影部分表示的集合为（∁RB）∩A，

因为∁RB＝{x|x≥0}，

所以（∁RB）∩A＝{x|0≤x<6}，故选C.

6．已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是（　　）

A．（0，3）B．（0，1）∪（1，3）

C．（0，1）D．（－∞，1）∪（3，＋∞）

解析：

选B.因为A∩B有4个子集，

所以A∩B中有2个不同的元素，

所以a∈A，所以a2－3a<0，

解得0

即实数a的取值范围是（0，1）∪（1，3），故选B.

7．设U＝{x∈N*|x＜9}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，则（∁UA）∩B＝（　　）

A．{1，2，3}B．{4，5，6}

C．{6，7，8}D．{4，5，6，7，8}

解析：

选B.因为U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，

所以∁UA＝{4，5，6，7，8}，

所以（∁UA）∩B＝{4，5，6，7，8}∩{3，4，5，6}＝{4，5，6}．故选B.

8．设集合A＝

，B＝{b，a＋b，－1}，若A∩B＝{2，－1}，则A∪B＝（　　）

A．{－1，2，3，5}B．{－1，2，3}

C．{5，－1，2}D．{2，3，5}

解析：

选A.由A∩B＝{2，－1}，可得

或

当

时，

此时B＝{2，3，－1}，所以A∪B＝{－1，2，3，5}；当

时，

此时不符合题意，舍去．

9．已知集合P＝{n|n＝2k－1，k∈N*，k≤50}，Q＝{2，3，5}，则集合T＝{xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为（　　）

A．147B．140

C．130D．117

解析：

选B.由题意得，y的取值一共有3种情况，当y＝2时，xy是偶数，不与y＝3，y＝5有相同的元素，当y＝3，x＝5，15，25，…，95时，与y＝5，x＝3，9，15，…，57时有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3×50－10＝140，故选B.

10．（2020·温州质检）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x＋2>0}，B＝{x|x－a≤0}，若∁UB⊆A，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，1）B．（－∞，2]

C．[1，＋∞）D．[2，＋∞）

解析：

选D.因为x2－3x＋2>0，所以x>2或x<1.

所以A＝{x|x>2或x<1}，因为B＝{x|x≤a}，

所以∁UB＝{x|x>a}．

因为∁UB⊆A，借助数轴可知a≥2，故选D.

11．集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为________．

解析：

根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故只能是a＝4.

答案：

4

12．（2020·宁波效实中学模拟）已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x|log2（x－2）<1}，则A∪B＝________；A∩（∁UB）＝________．

解析：

log2（x－2）<1⇒0

答案：

[－1，4）　[－1，2]

13．设集合A＝{n|n＝3k－1，k∈Z}，B＝{x||x－1|>3}，则B＝________，A∩（∁RB）＝________．

解析：

当k＝－1时，n＝－4；当k＝0时，n＝－1；当k＝1时，n＝2；当k＝2时，n＝5.由|x－1|>3，得x－1>3或x－1<－3，即x>4或x<－2，所以B＝{x|x<－2或x>4}，∁RB＝{x|－2≤x≤4}，A∩（∁RB）＝{－1，2}．

答案：

{x|x<－2或x>4}　{－1，2}

14．（2020·浙江省杭州二中高三年级模拟）设全集为R，集合M＝{x∈R|x2－4x＋3>0}，集合N＝{x∈R|2x>4}，则M∩N＝________；∁R（M∩N）＝________．

解析：

M＝{x∈R|x2－4x＋3>0}＝{x|x<1或x>3}，N＝{x∈R|2x>4}＝{x|x>2}，所以M∩N＝（3，＋∞），所以∁R（M∩N）＝（－∞，3]．

答案：

（3，＋∞）　（－∞，3]

15．已知集合M＝{x|x2－4x<0}，N＝{x|m＜x＜5}，若M∩N＝{x|3

解析：

由x2－4x<0得0

答案：

3　4

16．设全集U＝{x∈N*|x≤9}，∁U（A∪B）＝{1，3}，A∩（∁UB）＝{2，4}，则B＝________．

解析：

因为全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，

由∁U（A∪B）＝{1，3}，

得A∪B＝{2，4，5，6，7，8，9}，

由A∩（∁UB）＝{2，4}知，{2，4}⊆A，{2，4}⊆∁UB.

所以B＝{5，6，7，8，9}．

答案：

{5，6，7，8，9}

17．已知集合A＝{x|1≤x<5}，C＝{x|－a

解析：

因为C∩A＝C，所以C⊆A.

①当C＝∅时，满足C⊆A，此时－a≥a＋3，得a≤－

；

②当C≠∅时，要使C⊆A，则

解得－

综上，可得a的取值范围是（－∞，－1]．

答案：

（－∞，－1]

[综合题组练]

1．（2020·金华东阳二中高三调研）已知全集U为R，集合A＝{x|x2<16}，B＝{x|y＝log3（x－4）}，则下列关系正确的是（　　）

A．A∪B＝RB．A∪（∁UB）＝R

C．（∁UA）∪B＝RD．A∩（∁UB）＝A

解析：

选D.因为A＝{x|－44}，

所以∁UB＝{x|x≤4}，所以A∩（∁UB）＝A，故选D.

2．集合A＝{x|y＝ln（1－x）}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，全集U＝A∪B，则∁U（A∩B）＝（　　）

A．{x|x＜－1或x≥1}B．{x|1≤x≤3或x＜－1}

C．{x|x≤－1或x＞1}D．{