A．1 B．2
C．3D．4
答案：
D
2．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．
答案：
5
3．设集合A＝{x|（x＋1）（x－2）<0}，B＝{x|0≤x≤3}，则A∩B＝________.
答案：
{x|0≤x<2}
1．认清集合元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件．
2．解题时注意区分两大关系：
一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．
3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．
4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．
5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．
[小题纠偏]
1．设全集U＝R，集合A＝{x|7－6x≤0}，集合B＝{x|y＝lg（x＋2）}，则（∁UA）∩B等于（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
选A 依题意得A＝
，∁UA＝
；B＝{x|x＋2>0}＝{x|x>－2}，因此（∁UA）∩B＝
.
2．已知集合A＝{x∈N|x2－2x≤0}，则满足A∪B＝{0,1,2}的集合B的个数为________．
解析：
由A中的不等式解得0≤x≤2，x∈N，即A＝{0,1,2}．∵A∪B＝{0,1,2}，∴B可能为{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，∅，共8个．
答案：
8
3．已知集合A＝{0,x＋1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为________．
解析：
∵－4∈A，∴x＋1＝－4或x2－5x＝－4.
∴x＝－5或x＝1或x＝4.
若x＝1，则A＝{0,2，－4}，满足条件；
若x＝4，则A＝{0,5，－4}，满足条件；
若x＝－5，则A＝{0，－4,50}，满足条件．
所以x＝1或x＝4或－5.
答案：
1或4或－5
[题组练透]
1．（易错题）已知集合A＝{1,2,4}，则集合B＝{（x，y）|x∈A，y∈A}中元素的个数为（ ）
A．3 B．6
C．8D．9
解析：
选D 集合B中元素有（1,1），（1,2），（1,4），（2,1），（2,2），（2,4），（4,1），（4,2），（4,4），共9个．
2．已知a>0，b∈R，若
＝{a－b,0，a2}，则a2＋b2的值为（ ）
A．2B．4
C．6D．8
解析：
选B 由已知得a≠0，则
＝0，所以b＝0，于是a2＝4，即a＝2或a＝－2，因为a>0，所以a＝2，故a2＋b2＝22＋02＝4.
3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a等于（ ）
A.
B.
C．0D．0或
解析：
选D 若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．
当a＝0时，x＝
，符合题意．
当a≠0时，由Δ＝（－3）2－8a＝0，得a＝
，
所以a的值为0或
.
4．（易错题）已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
解析：
由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－
，当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－
时，m＋2＝
，而2m2＋m＝3，故m＝－
.
答案：
－
[谨记通法]
与集合中的元素有关问题的求解策略
（1）确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．如“题组练透”第1题．
（2）看这些元素满足什么限制条件．
（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．如“题组练透”第4题．
[典例引领]
1．已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M且2x∉M}的子集有（ ）
A．8个 B．4个
C．3个D．2个
解析：
选B 由题意，得P＝{3,4}，所以集合P的子集有22＝4个．
2．已知集合A＝{2,3}，B＝{x|ax－6＝0}，若B⊆A，则实数a的值为（ ）
A．3B．2
C．2或3D．0或2或3
解析：
选D 由题意可得，因为B⊆A，所以B＝{2}，{3}或∅；若B＝{2}，则2∈B，所以2a－6＝0，解得a＝3；若B＝{3}，则3∈B，所以3a－6＝0，解得a＝2；若B＝∅，则a＝0.所以满足条件的实数a的值为0或2或3.
[由题悟法]
集合间基本关系的两种判定方法和一个关键
[即时应用]
1．集合{a，b，c，d，e}的真子集的个数为（ ）
A．32B．31
C．30D．29
解析：
选B 因为集合有5个元素，所以其子集的个数为25＝32个，其真子集的个数为25－1＝31个．
2．已知集合A＝{x|－1解析：
当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A.
当m>0时，
∵A＝{x|－1当B⊆A时，在数轴上标出两集合，如图，
∴
∴0综上所述m的取值范围为（－∞，1]．
答案：
（－∞，1]
[锁定考向]
集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力．
常见的命题角度有：
（1）集合的运算；
（2）利用集合运算求参数；
（3）新定义集合问题．
[题点全练]
角度一：
集合的运算
1．（2018·宁波模拟）已知全集U＝A∪B＝{x∈Z|0≤x≤6}，A∩（∁UB）＝{1,3,5}，则B＝（ ）
A．{2,4,6} B．{1,3,5}
C．{0,2,4,6}D．{x∈Z|0≤x≤6}
解析：
选C 因为U＝A∪B＝{x∈Z|0≤x≤6}＝{0,1,2,3,4,5,6}，A∩（∁UB）＝{1,3,5}，所以B＝{0,2,4,6}．
2．（2016·浙江高考）已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪（∁RQ）＝（ ）
A．[2,3]B．（－2,3]
C．[1,2）D．（－∞，－2]∪[1，＋∞）
解析：
选B ∵Q＝{x∈R|x2≥4}，
∴∁RQ＝{x∈R|x2＜4}＝{x∈R|－2＜x＜2}．
∵P＝{x∈R|1≤x≤3}，
∴P∪（∁RQ）＝{x∈R|－2＜x≤3}＝（－2,3]．
角度二：
利用集合运算求参数
3．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|xA．（－1,0）B．[－1,0）
C．（－2,2）D．[－1，＋∞）
解析：
选A 因为A∩B≠∅，所以a>－1，又因为a<0，所以－1角度三：
新定义集合问题
4．（2015·浙江高考）设A，B是有限集，定义：
d（A，B）＝card（A∪B）－card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中元素的个数，
命题①：
对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）>0”的充分必要条件；
命题②：
对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）＋d（B，C）．
A．命题①和命题②都成立
B．命题①和命题②都不成立
C．命题①成立，命题②不成立
D．命题①不成立，命题②成立
解析：
选A 命题①成立，若A≠B，则card（A∪B）＞card（A∩B），所以d（A，B）＝card（A∪B）－card（A∩B）＞0.反之可以把上述过程逆推，故“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；
命题②成立，由Venn图，知card（A∪B）＝card（A）＋card（B）－card（A∩B），
d（A，C）＝card（A）＋card（C）－2card（A∩C），
d（B，C）＝card（B）＋card（C）－2card（B∩C），
∴d（A，B）＋d（B，C）－d（A，C）
＝card（A）＋card（B）－2card（A∩B）＋card（B）＋card（C）
－2card（B∩C）－[card（A）＋card（C）－2card（A∩C）]
＝2card（B）－2card（A∩B）－2card（B∩C）＋2card（A∩C）
＝2card（B）＋2card（A∩C）－2[card（A∩B）＋card（B∩C）]
＝2card（B）＋2card（A∩C）－2[card（（A∪C）∩B）＋card（A∩B∩C）]
＝[2card（B）－2card（（A∪C）∩B）]＋[2card（A∩C）－2card（A∩B∩C）]≥0，
∴d（A，C）≤d（A，B）＋d（B，C）得证．
[通法在握]
解集合运算问题4个技巧
看元素构成
集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键
对集合化简
有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决
应用数形
常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图
创新性问题
以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以深入的创新，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决
[演练冲关]
1．（2018·台州模拟）若集合A＝{x|－1}，则A∪B＝（ ）
A．[0,1）B．（－1，＋∞）
C．（－1,1）∪[2，＋∞）D．∅
解析：
选C 因为x－2≥0，解得x≥2，所以B＝[2，＋∞），所以A∪B＝（－1,1）∪[2，＋∞）．
2．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝（ ）
A．4B．2
C．0D．0或4
解析：
选A 由题意得方程ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，当a＝0时，方程无实数解；当a≠0时，则Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4（a＝0不符合题意，舍去）．
3．（2018·吴越联盟模拟）已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{2,4,6}，P＝M∩N，则满足条件的P的子集有（ ）
A．2个B．4个
C．6个D．8个
解析：
选B 因为P＝M∩N＝{2,4}，所以集合P的子集有∅，{2}，{4}，{2,4}，共4个．
4.
如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合AB为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝
}，B＝{y|y＝3x，x>0}，则AB为（ ）
A．{x|0C．{x|0≤x≤1或x≥2}D．{x|0≤x≤1或x>2}
解析：
选D 因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>1}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|12}，故选D.
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．（2016·全国卷Ⅱ）已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|（x＋1）（x－2）<0，x∈Z}，则A∪B＝（ ）
A．{1} B．{1,2}
C．{0,1,2,3}D．{－1,0,1,2,3}
解析：
选C 因为B＝{x|（x＋1）（x－2）<0，x∈Z}＝{x|－12．（2018·浙江三地联考）已知集合P＝{x|
<2}，Q＝{x|－1≤x≤3}，则P∩Q＝（ ）
A．[－1,2）B．（－2,2）
C．（－2,3]D．[－1,3]
解析：
选A 由|x|<2，可得－23．（2017·全国卷Ⅰ）已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则（ ）
A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝R
C．A∪B＝{x|x>1}D．A∩B＝∅
解析：
选A ∵集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x<0}，
∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}，故选A.
4．设集合A＝{3，m}，B＝{3m,3}，且A＝B，则实数m的值是________．
解析：
由集合A＝{3，m}＝B＝{3m,3}，得3m＝m，则m＝0.
答案：
0
5．已知A＝{x|x2－3x＋2<0}，B＝{x|1解析：
因为A＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1所以a≥2.
答案：
[2，＋∞）
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知集合A＝
，则集合A中的元素个数为（ ）
A．2B．3
C．4D．5
解析：
选C ∵
∈Z，
∴2－x的取值有－3，－1,1,3，
又∵x∈Z，∴x值分别为5,3,1，－1，
故集合A中的元素个数为4.
2．（2018·杭州名校联考）已知全集为R，集合A＝
，B＝{x|y＝log2（－x2＋6x－8）}，则A∩（∁RB）＝（ ）
A．{x|0C．{x|04}D．{x|x≤0}
解析：
选A 由y＝
x，得y>0，即A＝{y|y>0}，由－x2＋6x－8>0，解得23．（2018·永康模拟）设集合M＝{x|x2－2x－3≥0}，N＝{x|－3A．M⊆NB．N⊆M
C．M∪N＝RD．M∩N＝∅
解析：
选C 由x2－2x－3≥0，解得x≥3或x≤－1，所以M＝{x|x≤－1或x≥3}，所以M∪N＝R.
4．（2018·河南六市第一次联考）已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0,3）B．（0,1）∪（1,3）
C．（0,1）D．（－∞，1）∪（3，＋∞）
解析：
选B ∵A∩B有4个子集，∴A∩B中有2个不同的元素，∴a∈A，∴a2－3a<0，解得05．已知集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|2x<1}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．{x|2C．{x|0≤x<6}D．{x|x<－1}
解析：
选C 由x2－5x－6<0，解得－16．设集合A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝{x|x<1，且x∈Z}，则A∩B＝________.
解析：
依题意得A＝{x|（x＋1）（x－2）≤0}＝{x|－1≤x≤2}，因此A∩B＝{x|－1≤x<1，x∈Z}＝{－1,0}．
答案：
{－1,0}
7．（2017·嘉兴二模）已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x2－4x≤0}，则A∪B＝________，A∩（∁RB）＝________.
解析：
因为B＝{x|x2－4x≤0}＝{x|0≤x≤4}，所以A∪B＝{x|－1≤x≤4}；因为∁RB＝{x|x<0或x>4}，所以A∩（∁RB）＝{x|－1≤x<0}．
答案：
{x|－1≤x≤4} {x|－1≤x<0}
8．设集合A＝{（x，y）|y≥|x－2|，x≥0}，B＝{（x，y）|y≤－x＋b}，A∩B≠∅.
（1）b的取值范围是________；
（2）若（x，y）∈A∩B，且x＋2y的最大值为9，则b的值是________．
解析：
由图可知，当y＝－x往右移动到阴影区域时，才满足条件，所以b≥2；要使z＝x＋2y取得最大值，则过点（0，b），有0＋2b＝9⇒b＝
.
答案：
（1）[2，＋∞）
（2）
9．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________．
解析：
集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2,4]，因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是（－∞，－2]．
答案：
（－∞，－2]
10．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．
（1）若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；
（2）若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．
解：
由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，
B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
（1）因为A∩B＝[0,3]，
所以
所以m＝2.
（2）∁RB＝{x|xm＋2}，
因为A⊆∁RB，
所以m－2>3或m＋2<－1，
即m>5或m<－3.
因此实数m的取值范围是（－∞，－3）∪（5，＋∞）．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．（2018·杭州名校联考）设集合A＝{y|y＝sinx，x∈R}，集合B＝{x|y＝lgx}，则（∁RA）∩B＝（ ）
A．（－∞，－1）∪（1，＋∞）B．[－1,1]
C．（1，＋∞）D．[1，＋∞）
解析：
选C 由题可得，A＝[－1,1]，所以∁RA＝（－∞，－1）∪（1，＋∞）．又B＝（0，＋∞），所以（∁RA）∩B＝（1，＋∞）．
2．对于集合M，N，定义M－N＝{x|x∈M，且x∉N}，M⊕N＝（M－N）∪（N－M），设A＝
，B＝{x|x<0，x∈R}，则A⊕B＝（ ）
A.
B.
C.
∪[0，＋∞）D.
∪（0，＋∞）
解析：
选C 依题意得A－B＝{x|x≥0，x∈R}，B－A＝
，故A⊕B＝
∪[0，＋∞）．故选C.
3．设全集U＝R，且集合A＝{x|x2－2x－8≤0}，集合B＝{x|x2＋2x－3>0}，C＝{x|x2－3ax＋2a2<0}．
（1）求A∩B；
（2）试求实数a的取值范围，使得C⊆A∪（∁UB）．
解：
（1）因为A＝{x|x2－2x－8≤0}＝[－2,4]，
B＝{x|x2＋2x－3>0}＝（－∞，－3）∪（1，＋∞），
所以A∩B＝（1,4]．
（2）由题可得，∁UB＝[－3,1]，
所以A∪（∁UB）＝[－3,4]．
因为C＝{x|x2－3ax＋2a2<0}＝{x|（x－a）（x－2a）<0}，
所以当a<0时，C＝（2a，a），
因为C⊆A∪（∁UB），
所以此时只需－3≤2a，解得a≥－
，所以－
≤a<0.
当a＝0时，C＝∅，满足C⊆A∪（∁UB），所以a＝0.
当a>0时，C＝（a,2a），
因为C⊆A∪（∁UB），
所以此时只需满足2a≤4，解得a≤2，所以0综上可知，要使得C⊆A∪（∁UB），只需－
≤a≤2.
故所求实数a的取值范围为
.
第二节
命题及其关系、充分条件与必要条件
1．命题
概念
使用语言、符号或者式子表达的，可以判断真假的陈述句
特点
（1）能判断真假；
（2）陈述句
分类
真命题、假命题
2．四种命题及其相互关系
（1）四种命题间的相互关系：
（2）四种命题中真假性的等价关系：
原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.
3．充要条件
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p成立的对象的集合为A，q成立的对象的集合为B
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q
p
A是B的真子集
集合与
充要条件
p是q的必要不充分条件
p
q且q⇒p
B是A的真子集
p是q的充要条件
p⇔q
A＝B
p是q的既不充分也不必要条件
p
q且q
p
A，B互不包含
[小题体验]
1．下列命题是真命题的是（ ）
A．若log2a>0，则函数f（x）＝logax（a>0，a≠1）在其定义域上是减函数
B．命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题
C．“m＝3”是“直线（m＋3）x＋my－2＝0与mx－6y＋5＝0垂直”的充要条件
D．命题“若cosx＝cosy，则x＝y”的逆否命题
答案：
B
2．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的______条件．
答案：
充要
3．设a，b是向量，则命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆否命题为：
________.
答案：
若|a|≠|b|，则a≠－b
1．易混淆否命题与命题的否定：
否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．
2．易忽视A是B的充分不必要条件（A⇒B且B
A）与A的充分不必要条件是B（B⇒A且A
B）两者的不同．
[小题纠偏]
1．（2018·杭州模拟）“x<0”是“ln（x＋1）<0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：
B
2．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：
________________.
解析：
原命题的条件：
在△ABC中，∠C＝90°，
结论：
∠A，∠B都是锐角．
否命题是否定条件和结论．
即“在△ABC中，若∠C≠90°，
则∠A，∠B不都是锐角”．
答案：
在△ABC中，若∠C≠90
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