数学实验线性方程组的J迭代GS迭代SOR迭代解法实验研究报告内含matlab程序代码Word格式文档下载.docx
《数学实验线性方程组的J迭代GS迭代SOR迭代解法实验研究报告内含matlab程序代码Word格式文档下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学实验线性方程组的J迭代GS迭代SOR迭代解法实验研究报告内含matlab程序代码Word格式文档下载.docx(7页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成。
实验内容
线性方程组的J-迭代;
线性方程组的GS-迭代;
线性方程组的SOR-迭代。
成绩
教师
实验四实验报告
1、实验名称:
线性方程组的J-迭代,GS-迭代,SOR-迭代。
2、实验目的:
熟悉线性方程组的J-迭代,GS-迭代,SOR-迭代,SSOR-迭代方法,编程实现雅可比方法和高斯-赛德尔方法求解非线性方程组
的根,提高matlab编程能力。
3、实验要求:
已知线性方程矩阵,利用迭代思想编程求解线性方程组的解。
4、实验原理:
1、雅可比迭代法(J-迭代法):
线性方程组
,可以转变为:
迭代公式
其中
,称
为求解
的雅可比迭代法的迭代矩阵。
以下给出雅可比迭代的分量计算公式,令
,由雅可比迭代公式有
,既有
,于是,解
的雅可比迭代法的计算公式为
2、高斯-赛德尔迭代法(GS-迭代法):
GS-迭代法可以看作是雅可比迭代法的一种改进,给出了迭代公式:
其余部分与雅克比迭代类似。
3、逐次超松弛迭代法(SOR-迭代法):
选取矩阵A的下三角矩阵分量并赋予参数w,将之作为分裂矩阵M,
,其中,w>
0,为可选择的松弛因子,又
(1)公式构造一个迭代法,其迭代矩阵为
从而得到解
的逐次超松弛迭代法。
其中:
由此,解
的SOR-迭代法的计算公式为
(2)
观察
(2)式,可得结论:
(1)、当w=1时,SOR-迭代法为J-迭代法。
(2)、当w>
1时,称为超松弛迭代法,当w<
1时,称为低松弛迭代法。
5、实验内容:
%1.J-迭代
functionx1=jacobi(A,b,y);
m=input('
请输入迭代次数m:
'
);
eps=input('
请输入精度eps:
D=diag(diag(A));
L=triu(A)-A;
U=tril(A)-A;
M=D\(L+U);
g=D\b;
a=1;
k=0;
whilea>
eps
x2=M*x1+g;
a=norm(x2-x1,inf);
x1=x2;
k=k+1;
end
%输出方程组的近似解、精确值及误差
disp('
近似解:
disp(x1);
x2=x1-y;
a=norm(x2,inf);
fprintf('
误差:
%.6f;
迭代次数:
%d\n'
a,k);
%2.GS-迭代
functionx1=G_S(A,b,y)
n=100;
%生成矩阵M,向量g
M=(D-L)\U;
g=(D-L)\b;
%迭代首项
x1=eye(n-1,1);
x2=eye(n-1,1);
fori=1:
n-1
x1(i)=1;
x2(i)=0;
);
%.4f;
%3.SOR-迭代
functiona=p(A)
[n,n]=size(A);
x=eig(A);
a=0;
n
b=abs(x(i));
ifb>
a
a=x(i);
end
a=abs(a);
functionx1=SOR(A,b,y)%y为精确解
%超松弛迭代
%求最佳松弛因子w
w=p(M);
w=2/(1+sqrt(1-w^2));
ifw<
0||w>
2
disp('
迭代不收敛'
return;
M=(D-w*L)\((1-w)*D+w*U);
g=(D-w*L)\b*w;
%进行迭代
w=1;
%x1=eye(n,1);
whilew>
1e-6
w=norm(x2-x1,inf);
w=norm(x2,inf);
误差:
disp(w);
disp(k);
6、实验结果:
A=[520;
641;
125];
b=[1018-14]'
;
X1=G_S(A,b,[000]'
)
X1=
-0.8750
7.1874
-5.5000